對(duì)回旋加速器模型的深度剖

◇ 安徽 喬 軍 方 林

回旋加速器是利用相互正交的電磁場(chǎng)使帶電粒子在電場(chǎng)中加速,在磁場(chǎng)中回旋,通過(guò)多次往復(fù)最終使粒子得到加速的裝置.它是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的重要實(shí)例,也是現(xiàn)代科技在物理中的重要應(yīng)用,是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題.本文對(duì)回旋加速器模型進(jìn)行深度剖析,對(duì)涉及的重要規(guī)律和疑難問(wèn)題進(jìn)行全面梳理和總結(jié),以供師生參考.

以下討論均不計(jì)粒子注入時(shí)的初速度,粒子最終離開(kāi)加速器的速度遠(yuǎn)小于光速.

問(wèn)題1 粒子注入初始位置在哪兒?

因被加速的粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)經(jīng)高頻電場(chǎng)反復(fù)多次加速,每加速一次后緊接著在磁場(chǎng)中做半周勻速圓周運(yùn)動(dòng),然后不斷重復(fù)這一過(guò)程,直至粒子最終離開(kāi)D形盒,故粒子剛開(kāi)始注入位置應(yīng)該在D形盒的中心位置附近,而并非D形盒邊緣(道理很簡(jiǎn)單,如在邊緣注入,粒子加速后半徑再次增大,就會(huì)撞到D形盒上).

問(wèn)題2 回旋加速器實(shí)現(xiàn)的條件與交變電場(chǎng)的變化周期是什么?

高頻電場(chǎng)加在兩D形盒之間,由于D形金屬盒的靜電屏蔽作用,盒內(nèi)空間的電場(chǎng)極弱,故帶電粒子在盒內(nèi)僅受洛倫茲力作用而做勻速圓周運(yùn)動(dòng).因粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與運(yùn)動(dòng)速率和半徑均無(wú)關(guān),所以盡管粒子的速率和半徑一次次增大,運(yùn)動(dòng)周期T卻始終不變.如圖1所示,如果在直線AB、A′B′間加上一交變電場(chǎng),使之以相同的周期變化,就可以保證粒子每經(jīng)過(guò)直線AB和A′B′時(shí)都正好趕上適合的電場(chǎng)方向(電場(chǎng)力方向與速度方向相同)而被繼續(xù)加速(不考慮加速時(shí)間).

圖1

然而,一方面,由于D形盒所占空間有限,另一方面,隨著粒子速度的增加,當(dāng)其接近光速時(shí),由狹義相對(duì)論可知,粒子的質(zhì)量會(huì)明顯增加,回旋周期T＝會(huì)變大,與交變電壓的周期不再一致,也就無(wú)法保證粒子每次出磁場(chǎng)后就立即被加速,從而導(dǎo)致加速器無(wú)法正常工作,因此回旋加速器不能無(wú)限地對(duì)帶電粒子加速.

問(wèn)題3 最大動(dòng)能是多少?

設(shè)粒子從D形盒邊緣離開(kāi)時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為rm,D形盒半徑為R,速度為vm,則rm＝R,粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng),由洛倫茲力提供向心力,有則粒子獲得的最大動(dòng)能

即對(duì)于某一粒子,其最大動(dòng)能取決于D形盒的半徑R及磁感應(yīng)強(qiáng)度B,與加速電壓無(wú)關(guān).當(dāng)然,最大動(dòng)能是要靠電場(chǎng)的多次加速才獲得的,因?yàn)槁鍌惼澚τ啦蛔龉?

問(wèn)題4 可以同時(shí)加速不同粒子嗎?

問(wèn)題5 粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間怎么求?

帶電粒子在回旋加速器中經(jīng)過(guò)多次加速和勻速圓周運(yùn)動(dòng).設(shè)粒子在磁場(chǎng)中的加速次數(shù)為n,加速電壓為U.因每加速一次粒子獲得的能量為qU,且加速一次就會(huì)接著回旋半周,即在每個(gè)周期內(nèi),帶電粒子兩次進(jìn)入D形盒的縫隙間被加速兩次.結(jié)合Ekm＝故帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

雖然粒子的加速運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)是間隔開(kāi)來(lái)的,但只要剔除圓周運(yùn)動(dòng),粒子的加速運(yùn)動(dòng)就是一個(gè)連續(xù)的勻加速運(yùn)動(dòng)了(等效看作同一直線上的加速運(yùn)動(dòng)),則粒子在狹縫中經(jīng)n次加速的總時(shí)間由牛頓第二定律有,故電場(chǎng)對(duì)粒子加速的時(shí)間

換一種思路求兩種時(shí)間.

因粒子經(jīng)n次加速的位移大小為nd,在電場(chǎng)中加速的總時(shí)間為而粒子在D形盒中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期不變,且最后半周的時(shí)間則圓周運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間即當(dāng)R?d時(shí),電場(chǎng)加速時(shí)間可以忽略不計(jì),故求粒子在回旋加速器中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間,通常僅考慮在磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

問(wèn)題6 回旋半徑怎樣變化?

粒子被加速一次所增加的動(dòng)能為qU,粒子被n次和n＋1次加速后的動(dòng)能分別為

例11930年勞倫斯制成了世界上第一臺(tái)回旋加速器,其原理如圖2所示,這臺(tái)加速器由兩個(gè)銅質(zhì)D形盒D1、D2構(gòu)成,其間留有空隙,下列說(shuō)法正確的是( ).

A.離子由加速器的中心附近進(jìn)入加速器

圖2

B.離子由加速器的邊緣進(jìn)入加速器

C.離子從磁場(chǎng)中獲得能量

D.離子從電場(chǎng)中獲得能量

解析

根據(jù)回旋加速器的原理可知,離子由加速器的中心附近進(jìn)入加速器,A正確,B錯(cuò)誤;離子從電場(chǎng)中獲得能量,C錯(cuò)誤,D正確.

點(diǎn)評(píng)

題中離子每次加速進(jìn)入磁場(chǎng)中,軌道半徑會(huì)較上半圈變大,如果注入位置在邊緣,則加速一次或幾次就會(huì)撞到回旋加速器上.另一方面,只要抓住洛倫茲力永不做功的特點(diǎn),即可明白離子的動(dòng)能必然是通過(guò)電場(chǎng)加速而來(lái)的.值得一提的是,教材中的插圖和“問(wèn)題與練習(xí)”“做一做”“思考與討論”等易忽視之處均可能成為高考命題的素材,應(yīng)引起大家注意.如教材中給出了回旋加速器工作原理示意圖,細(xì)心的同學(xué)會(huì)注意到圖中粒子注入的位置在加速器中心位置附近.

例2圖3-甲為EarnestO.Lawrence設(shè)計(jì)的回旋加速器的示意圖.它由兩個(gè)鋁制D形金屬扁盒組成,兩個(gè)D形盒正中間開(kāi)有一條狹縫;兩個(gè)D形盒處在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中并接有高頻交變電壓.圖3-乙為俯視圖,在D形盒上半面中心S處有一正離子源,它發(fā)出的正離子,經(jīng)狹縫電壓加速后,進(jìn)入D形盒中.在磁場(chǎng)力的作用下運(yùn)動(dòng)半周,再經(jīng)狹縫電壓加速;為保證粒子每次經(jīng)過(guò)狹縫都被加速,應(yīng)設(shè)法使交變電壓的周期與粒子在狹縫及磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期一致.如此周而復(fù)始,最后到達(dá)D形盒的邊緣,獲得最大速度后被束流提取裝置提取出.已知正離子的電荷量為q,質(zhì)量為m,加速時(shí)電極間電壓大小恒為U,磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,D形盒的半徑為R,狹縫之間的距離為d.設(shè)正離子從離子源出發(fā)時(shí)的初速度為零.

(1)試計(jì)算上述正離子從離子源出發(fā)被第一次加速后進(jìn)入下半盒中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑.

(2)盡管粒子在狹縫中每次加速的時(shí)間很短但也不可忽略.試計(jì)算上述正離子在某次加速過(guò)程中從離開(kāi)離子源到第n次被加速結(jié)束時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間.

(3)不考慮相對(duì)論效應(yīng),試分析要提高某一離子被半徑為R的回旋加速器加速后的最大動(dòng)能可采用的措施.

圖3

解析

(1)設(shè)正離子經(jīng)過(guò)窄縫被第一次加速后的速度為v1,由動(dòng)能定理得,正離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),半徑為r1,由牛頓第二定律得由以上兩式解得.

(2)設(shè)正離子經(jīng)過(guò)窄縫第n次被加速后的速度為vn,由動(dòng)能定理得粒子在狹縫中經(jīng)n次加速的總時(shí)間由牛頓第二定律得ma,解得電場(chǎng)對(duì)粒子加速的時(shí)間.

點(diǎn)評(píng)

本題中第(1)問(wèn)很常規(guī),只需采取離子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的處理思路——分段研究,抓住銜接點(diǎn)的速度即可求解,即先根據(jù)前文分析,對(duì)離子分別列出牛頓運(yùn)動(dòng)定律或動(dòng)能定理,再根據(jù)前文分析列出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑方程,然后消去速度便可得出半徑的大小.第(3)問(wèn)突破難點(diǎn)的關(guān)鍵在于抓住最大動(dòng)能的離子對(duì)應(yīng)半徑應(yīng)等于D形盒半徑,再由動(dòng)能表達(dá)式求出即可,這也是回旋加速器問(wèn)題?？嫉囊粋€(gè)知識(shí)點(diǎn).而第(2)問(wèn)可以直接運(yùn)用問(wèn)題5的分析方法,即將離子每次在磁場(chǎng)中的時(shí)間求出來(lái)(為便于找出通項(xiàng),一般要求出前3次的時(shí)間),然后再累加求和.要注意的是,本題要求解的是從離開(kāi)離子源到第n次被加速結(jié)束時(shí)所經(jīng)歷的時(shí)間而非最終引出D形盒的時(shí)間(第n次加速后,并不一定獲得最大速度).此外,本題強(qiáng)調(diào)不可忽略電場(chǎng)中的加速時(shí)間,計(jì)算總時(shí)間時(shí)必須考慮.

例3回旋加速器的原理如圖4所示,D1和D2是兩個(gè)中空的半徑為R的半圓金屬盒,它們接在電壓一定的交流電源上,位于D1圓心處的粒子源A能不斷產(chǎn)生粒子(初速度可以忽略,重力不計(jì)),它們?cè)趦珊兄g被電場(chǎng)加速,粒子的比荷為置于與盒面垂直的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中.

圖4

試推理說(shuō)明:粒子在回旋加速器中運(yùn)動(dòng)時(shí)隨著軌道半徑r的增大,同一盒中相鄰軌道的半徑之差Δr是增大、減小還是不變?

解析

設(shè)k(k∈N?)為同一盒子中粒子運(yùn)動(dòng)軌道半徑的序數(shù),相鄰的軌道半徑分別為rk,rk＋1(rk＜rk＋1),Δrk＝rk＋1－rk,在相應(yīng)軌道上粒子對(duì)應(yīng)的速度大小分別為vk,vk＋1,D1、D2之間的電壓為U.

因U、q、m、B均為定值,令由上式得,相鄰軌道半徑rk＋1,rk＋2之差

點(diǎn)評(píng)

求解本題的關(guān)鍵之處在于找到相鄰軌道的半徑之差Δr的變化規(guī)律,而相鄰軌道的半徑大小又跟粒子的運(yùn)動(dòng)速度有關(guān),可以通過(guò)研究粒子的加速次數(shù),再根據(jù)動(dòng)能定理求出.因此,我們可以在問(wèn)題6的基礎(chǔ)上,因洛倫茲力不做功,且每加速一次電場(chǎng)力做功相同,均為qU,由此求出每次進(jìn)磁場(chǎng)時(shí)的初速度,進(jìn)一步將Δr的通項(xiàng)表示出來(lái),然后利用數(shù)學(xué)知識(shí)判斷Δr的大小變化情況.根據(jù)問(wèn)題6的分析,還可推知相鄰軌道的間距按規(guī)律變化,由此可知,隨著加速次數(shù)的增加,相鄰軌道的間距會(huì)不斷縮小,而并非等距變化.

圖5

變式同步加速器在粒子物理研究中有重要的應(yīng)用,其基本原理可簡(jiǎn)化為如圖5所示的模型.M、N為兩塊中心開(kāi)有小孔的平行金屬板,質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子A(不計(jì)重力)從M板小孔飄入板間,初速度可視為零.每當(dāng)A進(jìn)入板間,兩板的電勢(shì)差變?yōu)閁,粒子得到加速,當(dāng)A離開(kāi)N板時(shí),兩板的電荷量均立即變?yōu)榱?兩板外部存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),A在磁場(chǎng)作用下做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng),R遠(yuǎn)大于板間距離.A經(jīng)電場(chǎng)多次加速,動(dòng)能不斷增大,為使R保持不變,磁場(chǎng)必須相應(yīng)地變化.不計(jì)粒子加速時(shí)間及其做圓周運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的電磁輻射,不考慮磁場(chǎng)變化對(duì)粒子速度的影響及相對(duì)論效應(yīng).求:

(1)A運(yùn)動(dòng)第1周時(shí)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B1的大小;

(2)粒子繞行n周所需總時(shí)間tn;

(3)在A運(yùn)動(dòng)第n周的時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力做功的平均功率

解析

(1)設(shè)A經(jīng)電場(chǎng)第1次加速后速度為v1,由動(dòng)能定理得

A在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),所受洛倫茲力充當(dāng)向心力,有

由式①②得

(2)粒子做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng),每一周所用時(shí)間為.

由于每一周速度不同,所以每一周所需時(shí)間也不同.

由此可以推知,第n周的速度.

故繞行n周所需總時(shí)間

(3)設(shè)A經(jīng)n次加速后的速度為vn,由動(dòng)能定理得

設(shè)粒子做第n次圓周運(yùn)動(dòng)的周期為Tn,有

設(shè)在A運(yùn)動(dòng)第n周的時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力做功為Wn,則

在該段時(shí)間內(nèi)電場(chǎng)力做功的平均功率為

點(diǎn)評(píng)

變式題中的加速器模型與常見(jiàn)的回旋加速器的最大區(qū)別在于保障了粒子的回旋半徑不變,這也是解決本題的關(guān)鍵之處.兩題情境相似之處是:磁場(chǎng)(洛倫茲力)改變粒子的速度方向,電場(chǎng)(電場(chǎng)力)改變粒子速度.因?yàn)椴挥?jì)粒子的加速時(shí)間,所以將每周的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)間加起來(lái)即為總時(shí)間,這一點(diǎn)與問(wèn)題5的分析思路相同.從知識(shí)結(jié)構(gòu)來(lái)看,變式題與原題均考查帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng),解決問(wèn)題需要分段分析電場(chǎng)與磁場(chǎng)中的兩類典型運(yùn)動(dòng),分析電場(chǎng)中的加速運(yùn)動(dòng)時(shí)仍可以將其等效為連續(xù)的勻加速運(yùn)動(dòng).而變式題中由于R不變,則粒子每周回旋的時(shí)間會(huì)隨加速次數(shù)的增大而減小,因此不能用第一周的時(shí)間乘加速次數(shù)來(lái)求總時(shí)間,這也是易錯(cuò)之處.之所以作如此變化,是給學(xué)生一定警示:看到熟悉情境,不進(jìn)行具體問(wèn)題具體分析,而只知道硬套照搬規(guī)律結(jié)論,就會(huì)因思維定式而出錯(cuò).將變式題與原題進(jìn)行對(duì)比分析,可以起到拓寬學(xué)生視野、破除定式思維的作用.

綜上,分析回旋加速器問(wèn)題,需要我們掌握其工作原理,理解一些重要特點(diǎn),靈活運(yùn)用一些重要推論,抓住分析該類問(wèn)題的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):分段處理(方法)、銜接速度(聯(lián)系)、周期性.