談如何破解非常規(guī)邊界磁場問題
———緣起2020年全國高考理綜卷Ⅰ第180題

◇ 河北 李春亞

2020年教育部考試中心發(fā)布《中國高考評價(jià)體系》,在評價(jià)理念上實(shí)現(xiàn)了由傳統(tǒng)的“知識立意”“能力立意”評價(jià)向“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識為基”綜合評價(jià)的轉(zhuǎn)變.高考評價(jià)體系主要由“一核”“四層”“四翼”構(gòu)成,“四層”中“學(xué)科素養(yǎng)”的二級指標(biāo)“科學(xué)思維”要求:采用嚴(yán)謹(jǐn)求真的、實(shí)證性的邏輯思維方式應(yīng)對各種問題.能夠根據(jù)對問題情境的分析,運(yùn)用實(shí)證數(shù)據(jù)分析事物的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和問題的內(nèi)在聯(lián)系,以抽象的概念來反映客觀事物的本質(zhì)特征和內(nèi)在聯(lián)系.運(yùn)用抽象與聯(lián)想、歸納與概括、推演與計(jì)算、模型與建模等思維方法來組織、調(diào)動(dòng)相關(guān)的知識與能力,解決生活實(shí)踐或?qū)W習(xí)探索情境中的各種問題.2020年高考恰恰是深化課程改革,落實(shí)《中國高考評價(jià)體系》的有益探索.

帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)問題歷來是各類考試的重點(diǎn).該問題很好地考查了帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律、數(shù)學(xué)三角函數(shù)和幾何知識在物理中的應(yīng)用能力、分析抽象能力.該問題經(jīng)常與臨界極值問題聯(lián)系,常以選擇題或壓軸題的形式出現(xiàn).學(xué)生不僅要掌握常規(guī)邊界磁場問題,還要了解非常規(guī)邊界問題.

常規(guī)邊界磁場包括單直線邊界、平行線邊界、圓形邊界、三角形邊界、平行四邊形邊界等.

非常規(guī)邊界磁場包括不平行兩射線邊界、扇形邊界、多邊形邊界、組合邊界、未知邊界等.

2020年高考全國卷Ⅰ的第18題,就是非常規(guī)邊界磁場問題的典型代表題目.

例1(2020年全國卷Ⅰ)一勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直于紙面向外,其邊界如圖1中虛線所示為半圓,ac、bd與直徑ab共線,ac間的距離等于半圓的半徑.一束質(zhì)量為m、電荷量為q(q＞0)的粒子,在紙面內(nèi)從c點(diǎn)垂直于ac射入磁場,這些粒子具有各種速率.不計(jì)粒子之間的相互作用.在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長的粒子,其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為( ).

圖1

解析

則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間與速度無關(guān),軌跡對應(yīng)的圓心角越大,運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長.粒子垂直ac射入磁場,則軌跡圓心必在ac直線上,將粒子的軌跡半徑由零逐漸放大.(對應(yīng)圖2中①②③軌跡)

圖2

設(shè)半圓磁場半徑為R,則當(dāng)半徑r≤0.5R和r≥1.5R時(shí),粒子分別從ac、bd區(qū)域射出,磁場中的軌跡為半圓,運(yùn)動(dòng)時(shí)間等于半個(gè)周期(圖2中軌跡①③).

當(dāng)0.5R＜r＜1.5R時(shí),粒子從半圓邊界射出.將軌跡半徑從0.5R逐漸放大,粒子射出位置從半圓頂端向下移動(dòng),軌跡圓心角從π逐漸增大,當(dāng)軌跡半徑為R時(shí),軌跡圓心角最大(圖2中軌跡②ce恰與eO′垂直).然后再增大軌跡半徑,軌跡圓心角減小,因此當(dāng)軌跡半徑等于R時(shí)軌跡圓心角最大,即軌跡對應(yīng)的最大圓心角粒子運(yùn)動(dòng)最長時(shí)間為故選C.

點(diǎn)評

這道題難度適中,重視對基本概念、基本規(guī)律的考查.主要考查了洛倫茲力、圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律等基本知識和基本方法,引導(dǎo)學(xué)生重視基礎(chǔ)、回歸教材,體現(xiàn)了從知識能力目標(biāo)向“核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識”四位一體綜合考查的轉(zhuǎn)變,對物理教學(xué)具有很好的導(dǎo)向作用.要特別注意的是,如果粒子周期相同,那么無論軌跡圓大小,運(yùn)動(dòng)時(shí)間的大小都取決于偏向角.

高考結(jié)束后,筆者通過與學(xué)生交流,得知造成一部分學(xué)生失分的原因是本題屬于“圓?。珕沃本€邊界類”的非常規(guī)問題,而學(xué)生只熟悉常規(guī)邊界問題,他們在平時(shí)練習(xí)時(shí)忽視挖掘解題規(guī)律方法,單純機(jī)械地“刷題”,導(dǎo)致解題水平不能逐步提高.為了使教學(xué)更加有效,筆者整理了近幾年試題中常見的非常規(guī)邊界磁場問題,總結(jié)了相應(yīng)的解題策略,以供參考.

1 非常規(guī)邊界磁場

1.1 不平行兩射線邊界

圖3

例2如圖3所示,邊界OA與OC之間分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場,邊界OA上有一粒子源S.某一時(shí)刻,從S平行于紙面向各個(gè)方向發(fā)射出大量帶正電的同種粒子(不計(jì)粒子的重力及粒子間的相互作用),所有粒子的初速度大小相同,經(jīng)過一段時(shí)間有大量粒子從邊界OC射出磁場.已知∠AOC＝60°,從邊界OC射出的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間等于為粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期),則從邊界OC射出的粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可能為( ).

解析

粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng),出射點(diǎn)和入射點(diǎn)的連線即為軌跡的弦,初速度大小相同,軌跡半徑R相同,可用動(dòng)態(tài)定圓法.

圖4中,設(shè)OS＝d,當(dāng)出射點(diǎn)D與S點(diǎn)的連線垂直于OA時(shí),DS弦為直徑是最長弦,軌跡所對的圓心角最大,周期一定,則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長.由此得到,軌跡半徑當(dāng)出射點(diǎn)E與S點(diǎn)的連線垂直于OC時(shí),弦ES最短,軌跡所對的圓心角最小,則粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最短.則,由幾何知識得θ＝60°,最短時(shí)間.

圖4

點(diǎn)評

面對此類問題時(shí),要認(rèn)真審題,提取條件,考慮比較軌跡半徑大小,究竟是使用“動(dòng)態(tài)定圓法”還是“放縮圓法”;還要選擇時(shí)間的表達(dá)式,本題用弦長的變化來觀察、比較時(shí)間的變化,更加直觀,臨界條件是DS弦為直徑并且是最長弦,更易得出.

1.2 扇形邊界

圖5

例3如圖5所示,紙面內(nèi)有寬為L,水平向右飛行的帶電粒子流,粒子質(zhì)量為m、電荷量為－q、速率為v0,不考慮粒子的重力及相互間的作用,要使粒子都匯聚到一點(diǎn),可以在粒子流的右側(cè)虛線框內(nèi)設(shè)計(jì)一勻強(qiáng)磁場區(qū)域,則磁場區(qū)域的形狀及對應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以是哪一種(其中選項(xiàng)中曲線均為半徑是L的圓弧,B選項(xiàng)中曲線為半徑是的圓)( ).

解析

本題中,軌跡圓半徑等于磁場圓半徑,根據(jù)磁匯聚結(jié)論:平行射入圓形有界磁場的相同帶電粒子,如果圓形磁場的半徑與圓軌跡半徑相等,則所有粒子都從磁場邊界上的同一點(diǎn)射出,并且出射點(diǎn)的切線與入射速度方向平行,可知選項(xiàng)A正確.

1.3 多邊形邊界

圖6

例4如圖6所示,在一個(gè)邊長為a的正六邊形區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場.3個(gè)相同的帶正電粒子,比荷先后從A點(diǎn)沿AD方向以大小不等的速度射入勻強(qiáng)磁場區(qū)域,粒子在運(yùn)動(dòng)過程中只受磁場力作用.已知編號為①的粒子恰好從F點(diǎn)飛出磁場區(qū)域,編號為②的粒子恰好從E點(diǎn)飛出磁場區(qū)域,編號為③的粒子從ED邊上某一點(diǎn)垂直邊界飛出磁場區(qū)域.則( ).

C.三個(gè)粒子進(jìn)入磁場的速度依次減小

D.三個(gè)粒子在磁場內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間依次增加

圖7

解析

由圖7可知,粒子運(yùn)動(dòng)半徑逐漸增大,故速度增大.結(jié)合可知三個(gè)粒子在磁場內(nèi)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間依次減小故選項(xiàng)B正確.

1.4 組合邊界

例5如圖8所示,半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于圓平面向里的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,O為圓心,∠AOC＝90°,D為AC的中點(diǎn),DO為一塊很薄的粒子吸收板,一束質(zhì)量為m、電荷量為e的電子以相同速度在AD間平行于DO方向垂直射入磁場,不考慮電子的重力及相互作用,電子打在吸收板上即被板吸收,則電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間可能為( ).

圖8

解析

本題重在利用動(dòng)態(tài)定圓法進(jìn)行觀察分析.由電子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期畫出電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖9所示.可知從AO邊射出磁場的電子在磁場中運(yùn)動(dòng)圓周,其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為從CO邊射出磁場的電子在磁場中運(yùn)動(dòng)等于或大于圓周,其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為其中沿DO方向從O點(diǎn)射入磁場的電子在磁場中運(yùn)動(dòng)圓周,恰好軌跡與磁場圓相切,其運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長,最長時(shí)間故選項(xiàng)A、C正確.

圖9

點(diǎn)評

此類組合邊界可能有扇形＋扇形、直角＋扇形、多個(gè)扇形＋無磁場扇形等.例如2016年浙江卷第25題“扇形聚焦回旋加速器”,就是多個(gè)扇形＋無磁場扇形類型(圖10).

圖10

1.5 未知邊界

例6如圖11所示,質(zhì)量為m＝8.0×10－25kg、電荷量為q＝1.6×10－15C的帶正電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿xOy平面射入第一象限內(nèi),且與x方向夾角大于等于30°的范圍內(nèi),粒子射入時(shí)的速度方向不同,但大小均為v＝2.0×107m·s－1.現(xiàn)在某一區(qū)域內(nèi)加一方向向里且垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B＝0.1T,若這些粒子穿過磁場后都能射到與y軸平行的熒光屏MN上,并且當(dāng)把熒光屏MN向左移動(dòng)時(shí),屏上光斑長度和位置保持不變.畫出所加磁場的最小范圍(用斜線表示).

圖11

解析

由題意得,軌跡半徑R＝0.1m.當(dāng)把熒光屏MN向左移動(dòng)時(shí),屏上光斑長度和位置保持不變,說明電子出射方向平行,都沿x軸負(fù)方向,逆向使用磁發(fā)散的規(guī)律,所加磁場若為整個(gè)圓形,則半徑為R＝0.1m.問最小磁場范圍就是所有粒子運(yùn)動(dòng)的范圍即邊界OB和OC弧與磁場圓所夾范圍,如圖12陰影部分.

圖12

例7如圖13所示,虛線MO與水平線PQ相交于O,二者夾角θ＝30°,在MO左側(cè)存在電場強(qiáng)度為E、方向豎直向下的勻強(qiáng)電場,MO右側(cè)某個(gè)區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場,O點(diǎn)處在磁場的邊界上.現(xiàn)有一群質(zhì)量為m、電荷量為＋q的帶電粒子在紙面內(nèi)以一定范圍的速度垂直于MO從O點(diǎn)射入磁場,所有粒子通過直線MO時(shí),速度方向均平行于PQ向左.不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用力,求磁場區(qū)域的最小面積.

圖13

解析

由“速度大小不同的粒子均要水平通過MO”可知粒子飛出磁場的位置均應(yīng)在ON的連線上(如圖14),故磁場范圍的最小面積S是速度最大的粒子在磁場中的軌跡與ON所圍成圖形的面積.

圖14

答案.

2 解題策略

策略1嚴(yán)格規(guī)范作圖步驟,定圓心—定半徑—定軌跡—定圓心角(回旋角).

那么,如何確定“圓心角與時(shí)間”呢?注意以下問題破解規(guī)律:

1)速度的偏向角φ既等于軌跡圓弧所對應(yīng)的圓心角(回旋角)θ,又等于2倍的弦切角α(當(dāng)偏向角為鈍角時(shí)為π＋2α),如圖15所示.

2)時(shí)間的計(jì)算方法.

a)由圓心角求.由知,如果粒子周期相同,那么無論軌跡圓大小,t的大小都取決于偏向角.另外,有.

圖15

b)由弧長求.此方法多用于v相同時(shí),弧長s便于觀察長短的情況.

c)同一軌跡,劣弧下,弦長越長,粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長,優(yōu)弧則相反.

策略2觀察幾何圖形,找邊角關(guān)系,尤其要注意磁匯聚、磁發(fā)散二級結(jié)論條件是否滿足.

當(dāng)圓形磁場的半徑與圓軌跡半徑相等時(shí),存在兩條特殊規(guī)律:

1)(磁發(fā)散)如圖16-甲圖所示.

2)(磁匯聚)如圖16-乙圖所示.

圖16

策略3從軌跡入手找準(zhǔn)臨界條件.

1)當(dāng)粒子的入射方向不變而速度大小可變時(shí),由于半徑不確定,可從軌跡圓的縮放中發(fā)現(xiàn)臨界點(diǎn).

2)當(dāng)粒子的入射速度大小確定而方向不確定時(shí),軌跡圓大小不變,只是位置關(guān)于入射點(diǎn)發(fā)生了旋轉(zhuǎn),可從定圓的動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)臨界點(diǎn).

策略4梯度性習(xí)題的訓(xùn)練.

只有教師“跳入題?！?找出合適的梯度性習(xí)題,才能讓學(xué)生“題海上泛輕舟”.所以,教師一定要關(guān)注各級考試試題,把其中有代表性的試題歸類總結(jié),整理成專題,注意專題的訓(xùn)練難度應(yīng)由易到難、由舊到新,這樣才能讓學(xué)生在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)高效的學(xué)習(xí).