離散等級種群系統(tǒng)的能控性與最優(yōu)控制

何澤榮,王晶晶

(杭州電子科技大學(xué)運(yùn)籌與控制研究所,浙江杭州310018)

§1 引 言

與連續(xù)時間模型相比較,離散時間模型在描述生物種群的演化進(jìn)程方面具有獨(dú)到的優(yōu)越性.一是因為數(shù)據(jù)采集過程通常都是離散的;二是因為計算方便.即使應(yīng)用連續(xù)模型進(jìn)行模擬,第一步也要進(jìn)行離散化處理.相關(guān)研究工作可參見文獻(xiàn)[1-3].

絕大多數(shù)生物種群內(nèi)部的個體之間存在等級地位差異,已是不爭的事實.盡管其生態(tài)學(xué)研究已經(jīng)趨于完善(見綜述性論文[4]),但其定量化的數(shù)學(xué)模型研究仍處于起步階段,參見文[5-21].在現(xiàn)存的工作中,以離散模型為基礎(chǔ)的研究報道很少,參見文[6].該文主要關(guān)注種群內(nèi)部搶奪競爭(Scramble competition)與對抗競爭(Contest competition)之間的比較.

本文的研究以高維非線性差分方程組描述種群演化進(jìn)程,主要關(guān)注種群狀態(tài)調(diào)控,以及種群(作為一種可再生資源)的最優(yōu)收獲問題.前者希望通過對種群幼體的數(shù)量調(diào)節(jié)達(dá)到調(diào)控整個種群分布的目的;后者在確保種群持續(xù)生存的前提下,對資源實施科學(xué)開發(fā),實現(xiàn)最大收益.

§2 狀態(tài)系統(tǒng)

假設(shè):種群中的所有個體按照等級分為m個組,在第n個時間段結(jié)束時第i組的個體數(shù)記為xi(n).第1組中的個體為幼體,無繁殖能力.第i組個體的繁殖率依賴于等級不超過i的個體總數(shù)(i≥2).一個單位時間段后,個體結(jié)局有三:進(jìn)入下一個等級,留在原組,或者死亡.由此可得如下種群控制系統(tǒng)

其中a1i,i≥2表示第i組個體繁殖系數(shù),β表示新生個體的存活率,表示第n時間段內(nèi)第i組個體的繁殖率;ai,i?1,i≥2表征單位時間段內(nèi)第i?1組個體進(jìn)入第i組的概率,aii(i≥1)是單位時間內(nèi)第i組個體仍屬該組的概率.控制變量u(n)表示對幼體的遷移,滿足|u(n)|≤ˉu,希望通過調(diào)節(jié)幼體數(shù)量達(dá)到調(diào)控種群分布的目的.對于魚類(樹林)而言,u(n)>0表示魚(樹)苗的投放(種植),u(n)<0表示移出.

§3 近似能控性

本節(jié)分析系統(tǒng)(1)的能控性,其定義如下.

其中#表示正數(shù).于是,rank(W)=m,線性系統(tǒng)精確能控.根據(jù)引理3.1即知:非線性系統(tǒng)(1)近似能控.

§4 最優(yōu)收獲策略

本節(jié)分析種群資源的最優(yōu)收獲問題.

§5 數(shù)值實驗

本節(jié)利用LINGO軟件對于最優(yōu)收獲問題進(jìn)行數(shù)值模擬.主要目的是探索模型參數(shù)(經(jīng)濟(jì)價值σi,等級變化率aii)對最優(yōu)策略和最優(yōu)收益的影響.

例5.1選取參數(shù)m=5,a11=a14=a55=0.5,β=2,a12=0.7,a13=0.8,a15=a21=a33=a43=0.4,a22=0.2,a32=a44=0.6,a54=0.3.

給定初始值x1(0)=25,x2(0)=x3(0)=20,x4(0)=x5(0)=15.

1)固定σ2=σ3=5,σ4=6,σ5=1.隨著σ1取值變化可得下列計算結(jié)果.

表5.1 σ1=0.01

表5.2 σ1=0.1

表5.3 σ1=1

表5.4 σ1=10

表5.5 σ1=20

由上述數(shù)據(jù)可見:隨著σ1的增大,第一小組的收獲強(qiáng)度隨之增大,經(jīng)濟(jì)效益也增大.但最優(yōu)收獲總是為aii或為0.

此外模擬實驗表明:其它σi的變化會導(dǎo)致類似現(xiàn)象.

2)固定σ=(1,5,5,6,1),考察a11增大時對最優(yōu)收獲策略和最優(yōu)收益的影響.

表5.6 a11=0.01

表5.7 a11=0.1

表5.8 a11=0.3

表5.9 a11=0.5

由上述數(shù)據(jù)可得:隨著a11的增大,經(jīng)濟(jì)收益逐漸增大;當(dāng)a11較小時,最優(yōu)收獲策略為全部收獲;隨著a11的增大,最優(yōu)收獲策略為第一小組第一時刻不收獲,其余時刻和剩余小組全部收獲.最優(yōu)收獲為aii或0.

其它aii,i=2,···,5的變化也會產(chǎn)生類似現(xiàn)象.

特別說明:上述結(jié)論是從數(shù)值實驗導(dǎo)出的,直觀上并不明顯.因為模型參數(shù)、最優(yōu)收獲比例、最優(yōu)種群分布和最優(yōu)收益之間由復(fù)雜關(guān)系式(4)-(7)確定,嚴(yán)格的理論分析很困難.是否作為普遍法則,還有待深入研究.