隨機觀察時間對偶風險模型中的期望折現(xiàn)罰函數(shù)

江五元,黃 俊

(湖南理工學院數(shù)學學院,湖南岳陽414006)

§1 引 言

在保險數(shù)學文獻中,許多研究者研究了經(jīng)典風險模型的對偶模型.如[1]研究了帶紅利界策略的對偶模型中的期望折現(xiàn)紅利支付,當收益為指數(shù)分布或混合指數(shù)分布時得到了明確的計算公式,并證明了在對偶模型中,最優(yōu)紅利界獨立于初始資本.[2]考慮了擴散干擾對偶模型,分析了紅利界的最優(yōu)問題.[3]將經(jīng)典對偶風險模型推廣到廣義Erlang(n)對偶模型,得到了破產(chǎn)時間的明確表達式.[4]研究了帶利率的復合資產(chǎn)模型,得到了生存概率與破產(chǎn)概率的積分-微分方程.[5]討論了負風險和的更新風險模型的破產(chǎn)概率.

考慮對偶風險模型

其中u>0為初始資本,c>0表示單位時間的消費支出,{S(t):t≥0}為到時間t的總收入.該模型可以模擬以研究和開發(fā)為主營業(yè)務的公司的資金流,同時也可以應用于人壽保險公司.對對偶模型的進一步了解,讀者可以參考相關文獻,如[6-8].

已有文獻對對偶模型的研究都假設公司盈余是連續(xù)觀察的,實際上公司財務狀況應是每隔一定的時間段才進行觀察,如財務報表每年或每季度發(fā)布一次.基于此,本文研究文獻[9]的對偶情形,考慮了財務觀察時間間距分別服從指數(shù)分布和Erlang(n)分布的對偶風險模型中的期望折現(xiàn)罰函數(shù).同時也將[10]的指數(shù)分布觀察時間間距推廣到Erlang(n)分布的情形.

U(k)=U(k?1)?cιk+[S(?k)?S(?k?1)],k=1,2,···,

其中,U(0)=R(0)=u.破產(chǎn)時間記為T=?k?,k?=inf{k≥1:U(k)<0},即當盈余為負時的首次觀察時間.因此在模型(1.1)中,當盈余為負時,如果沒被觀察到破產(chǎn)仍然沒有發(fā)生.

若破產(chǎn)發(fā)生,在最近一次觀察時間的破產(chǎn)前盈余為U(k??1),破產(chǎn)赤字為|U(k?)|.破產(chǎn)概率為

ψ(u)=Pr(T<∞|R(0)=u)=E{I(T<∞)|U(0)=u},

其中I(A)表示集A的示性函數(shù).設δ≥0為折現(xiàn)系數(shù),期望折現(xiàn)罰函數(shù)為

其中懲罰函數(shù)w(x1,x2)為破產(chǎn)前盈余U(k??1)和破產(chǎn)時赤字|U(k?)|的二元函數(shù).

§2 觀察時間間距服從指數(shù)分布

本節(jié)假設懲罰函數(shù)僅僅依賴破產(chǎn)前赤字,即w(x1,x2)=w2(x2),且觀察時間間距服從參數(shù)為γ的指數(shù)分布.

2.1 期望折現(xiàn)罰函數(shù)的積分-微分方程

在充分小的時間區(qū)間(0,?)內(nèi),有且僅有下列四種情形發(fā)生:(1)沒有觀察和收入到達;(2)有一次觀察發(fā)生但沒有收入到達;(3)有一次收入到達但沒有觀察發(fā)生;(4)兩個或以上事件發(fā)生.利用全概率公式,有

因為當盈余小于0時,可能沒被觀察到,故函數(shù)m(u)的自變量范圍u∈R.對(2.1)關于?求導,令?→0,得

2.2 指數(shù)收入時的顯式解

§3 觀察時間間距服從Erlang(n)分布

本節(jié)假設收入量為任意分布,觀察時間間距ι服從Erlang(n)分布,密度函數(shù)

3.1 兩次觀察之間的折現(xiàn)增量

3.2 期望折現(xiàn)罰函數(shù)的顯式解

將(3.17)與[9]中的Lundberg方程(3.25)進行比較,則關于變量μi的方程(3.17)恰有nh個非負實部的根和n個負實部的根.假設limu→∞m(u)=0,當μi≥0時,有Ci=0,i=1,2,···,n(h+1),利用(3.18)可以決定Ci,i=1,2,···,n(h+1).因此m(u)可以通過(3.13)計算.

例1(觀察時間間距服從指數(shù)分布時的破產(chǎn)概率)考慮對偶風險模型(1.1),假設觀察時間間距ι與收入量X均服從指數(shù)分布,期望分別為1/γ,1/μ.設定μ=1,λ=2和c=1,顯然正的安全負荷條件滿足.

在(2.17)中,取δ=0,可計算破產(chǎn)概率ψ(u).圖1顯示γ取不同值時的ψ(u).最上邊的實線表示連續(xù)觀察時的破產(chǎn)概率,u=0為其不連續(xù)點.圖1表明對于固定的u,破產(chǎn)概率隨γ的增加而增加.顯然γ越大表示觀察時間間距越短,導致觀察到破產(chǎn)的機會越大.

圖1 γ取不同值時的ψ(u)

例2(觀察時間間距服從Erlang(n)分布時的破產(chǎn)概率)假設對偶模型(1.1)的觀察時間間距服從Erlang(n)分布.收入量服從指數(shù)分布,密度函數(shù)為f(x)=μe?μx,拉普拉斯變換為.取μ=1,λ=2,γ=2和c=1.當n=3,5時,圖2表明對固定的u和γ,破產(chǎn)概率隨n減小而增加.因為n越小表示觀察次數(shù)越多,從而觀察到破產(chǎn)的機會越多.

圖2 n取不同值時的ψ(u)

本文研究了隨機觀察時間的對偶風險模型中的期望折現(xiàn)罰函數(shù),當隨機觀察時間分別為指數(shù)分布和Erlang(n)分布時,建立了期望折現(xiàn)罰函數(shù)所滿足的積分-微分方程.假設懲罰函數(shù)僅依賴于破產(chǎn)赤字,即w(x1,x2)=w2(x2),收入分布具有有理形式Laplace變換時,得到了期望折現(xiàn)罰函數(shù)的顯式解.本文研究的是文獻[9]中風險模型的對偶模型,并將文獻[10]研究的指數(shù)分布隨機觀察時間推廣到Erlang(n)分布情形.值得提出的是,為了得到期望折現(xiàn)罰函數(shù)的顯式解,假設懲罰函數(shù)僅依賴于破產(chǎn)赤字,對于懲罰函數(shù)同時依賴于破產(chǎn)前盈余和破產(chǎn)時赤字的情形則有待進一步研究.