波導(dǎo)中多極子聲源低頻聲場(chǎng)特性衰減規(guī)律

孟春霞，馬忠成

(1. 水下測(cè)控技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，遼寧 大連 116013；2. 大連測(cè)控技術(shù)研究所，遼寧 大連 116013)

為了描述水下聲源并研究其輻射的聲場(chǎng)，經(jīng)常使用全向點(diǎn)輻射器模型，稱其為單極子模型。但實(shí)際上聲源在一定程度上都具有指向性，即聲源在介質(zhì)中產(chǎn)生的聲壓幅度和相位與觀測(cè)點(diǎn)的位置有關(guān)。在同一水平面內(nèi)，沿船一周測(cè)得的輻射噪聲分布曲線，明顯是不均勻的，船艏和船艉方向上要小一些，前者是因?yàn)榇w對(duì)螺旋槳噪聲的屏蔽，后者則因?yàn)槲擦鞯钠帘嗡斐蒣1]。因此，采用單極子模型難以對(duì)聲場(chǎng)特性準(zhǔn)確描述。近年來，研究者提出了一些輻射噪聲模型和聲場(chǎng)計(jì)算方法。Бреховских等[2]利用簡(jiǎn)正波展開研究了不同波導(dǎo)和不同邊界條件下單極子輻射器的聲場(chǎng)。Хауга等[3]研究了平行分層波導(dǎo)中有限尺寸的指向性聲源的簡(jiǎn)正波理論。Кулакова等[4-6]的工作中研究了含有指向性和無指向性聲源的波導(dǎo)中各種局部情況下利用簡(jiǎn)正波展開的特點(diǎn)。被積函數(shù)在積分區(qū)域內(nèi)不僅有極點(diǎn)還有分支點(diǎn)，在近場(chǎng)除了考慮簡(jiǎn)正波離散譜外，還必須考慮旁側(cè)波形式的連續(xù)譜[7-8]。Кузнецов等[9-10]對(duì)水下指向性聲源聲場(chǎng)特性進(jìn)行了持續(xù)的研究，對(duì)指向性聲源聲場(chǎng)特性的數(shù)學(xué)物理問題進(jìn)行了細(xì)致闡述。孟春霞[11]研究了在船舶的艏部、舯后部和艉部，用不同權(quán)系數(shù)的多極子來描述船舶的水下輻射噪聲場(chǎng)，并利用漁政船水下輻射噪聲數(shù)據(jù)對(duì)多極子模型的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證。羅建[12]把艦船作為具有主機(jī)、輔機(jī)和螺旋槳3個(gè)輻射噪聲亮點(diǎn)的體積目標(biāo)，研究了其輻射噪聲的空間指向性的重構(gòu)方法。

本文推導(dǎo)出多極子聲源聲場(chǎng)勢(shì)函數(shù)，并針對(duì)能夠遠(yuǎn)距離傳輸?shù)牡皖l段，深入探討波導(dǎo)中不同階次多極子聲特性的衰減規(guī)律。

1 多極子聲場(chǎng)勢(shì)函數(shù)的數(shù)學(xué)表示

令有限尺寸并且具有任意形狀的單頻聲源位于均勻無限空間中。在聲源的內(nèi)部選擇任意一點(diǎn)O，這點(diǎn)是半徑為r0的球面S0的中心，使得聲源完全處于球面內(nèi)，如圖1所示。

圖1 多極子聲源模型概念的基礎(chǔ)Fig.1 Basis of the model concept for multi-pole sources

(1)

Δψ(M)+k2ψ(M)=0,M∈Ω

(2)

在邊界上具有確定的值：

(3)

式中：Δ是拉普拉斯算子；k=ω/c是波數(shù)；c是介質(zhì)的聲速；M是研究的區(qū)域Ω或它的邊界S0上的點(diǎn)。在無窮遠(yuǎn)處所求的勢(shì)函數(shù)ψ滿足索莫菲爾德條件。

在利用指向性點(diǎn)狀多極子輻射器模型時(shí)，省略時(shí)間因子e-iωt，無界均勻空間中聲場(chǎng)勢(shì)函數(shù)為：

(4)

式(4)是與有限尺寸的實(shí)際聲源等效的指向性點(diǎn)狀輻射器的聲場(chǎng)勢(shì)函數(shù)。在包含原始聲源的任意球面以外，這種點(diǎn)狀輻射器的聲場(chǎng)與有限尺寸的原始聲源的聲場(chǎng)處處吻合。模型輻射器的方向特性完全由系數(shù)Cnm確定，Cnm為復(fù)數(shù)，-n≤m≤n，該參數(shù)的物理意義是構(gòu)成展開式的初級(jí)球面多極子的力矩。對(duì)于式(4)來說，利用特殊函數(shù)的積分表達(dá)式，可以得到多極子聲源聲場(chǎng)的積分表達(dá)式為平面波之和的展開形式：

(5)

當(dāng)L=0時(shí)，這個(gè)表達(dá)式實(shí)際上是無指向性單極子輻射器的勢(shì)函數(shù)；當(dāng)L=2時(shí)，相當(dāng)于研究到四極子，其中單極子有1種形式，偶極子有3種形式，四極子有5種形式，這時(shí)，指向性點(diǎn)狀輻射器是包含18個(gè)未知參數(shù)的模型。在聲學(xué)正問題中，在研究各個(gè)多極子非相干分量的特性時(shí)，為簡(jiǎn)便起見假設(shè)它們的多極子矩等于1，即Cnm=1。求解聲學(xué)逆問題，實(shí)際上就是根據(jù)實(shí)測(cè)的輻射聲壓值，對(duì)等效源模型中的各個(gè)多極子系數(shù)Cnm進(jìn)行求解。

1.1 多極子勢(shì)函數(shù)的簡(jiǎn)正波近似

考慮海底和海面的聲學(xué)邊界條件，經(jīng)過推導(dǎo)，可得到Pekeris波導(dǎo)中多極子聲源聲場(chǎng)勢(shì)函數(shù)的簡(jiǎn)正波近似形式的表達(dá)式：

(6)

(7)

聲場(chǎng)勢(shì)函數(shù)可以表示成非相干分量和相干分量之和的形式，非相干分量確定聲場(chǎng)的平均聲級(jí)，相干分量確定聲場(chǎng)在平均聲級(jí)附近的振蕩。多極子聲場(chǎng)勢(shì)函數(shù)幅度平方非相干分量的表達(dá)式為：

(8)

(xl/kh))2exp(-δrl2)

(9)

式(9)是單個(gè)選取的多極子聲場(chǎng)勢(shì)函數(shù)的幅度平方的非相干分量。

近場(chǎng)δr<<1時(shí)，所有號(hào)數(shù)為l的簡(jiǎn)正波，exp(-δrl2)≈1，在中等距離exp(-δrl2)不為1；在遠(yuǎn)距離δr>1時(shí)，聲場(chǎng)中的指數(shù)項(xiàng)迅速衰減。利用不同的近似條件可以得到不同區(qū)域聲場(chǎng)的近似表達(dá)式，針對(duì)實(shí)際需求，能夠方便地對(duì)不同區(qū)域的聲傳播規(guī)律進(jìn)行估計(jì)。

1.2 多極子勢(shì)函數(shù)的圍線積分表示

圍線積分方法直接進(jìn)行數(shù)值積分，能給出聲場(chǎng)的精確解。利用圍線積分的方法將式(1)表示為：

(10)

式中：ψH(R,θ,φ)為無界空間中的聲場(chǎng)勢(shì)函數(shù)，由式(1)確定；ψF(R,θ,φ)為波導(dǎo)中來自絕對(duì)軟上邊界的聲波對(duì)總聲場(chǎng)的貢獻(xiàn)。

(11)

2 聲場(chǎng)近似解適用條件仿真

淺海波導(dǎo)通?？梢钥醋魇撬骄鶆虿▽?dǎo)，能夠用Pekeris波導(dǎo)來描述。仿真計(jì)算條件如下：海水深度60 m，水中聲速1 500 m/s，水體下方為液態(tài)半無限空間，海底聲速1 800 m/s，海底密度2 700 kg/m3,海底無量綱的吸收系數(shù)為0.1。圖2為對(duì)聲源位于海面和接收器位于海底的情況，以及聲源和接收器都位于海水中部的情況進(jìn)行仿真。

圖2 單極子勢(shì)函數(shù)非相干分量及其近場(chǎng)近似解Fig.2 Regular components of monopole potential function and its approximate solutions at near field

波導(dǎo)的聲學(xué)參數(shù)不變，設(shè)聲源深度5 m、接收器深度55 m，圖3給出單極子聲源頻率60 Hz和100 Hz時(shí)勢(shì)函數(shù)非相干分量與中等距離近似解及遠(yuǎn)場(chǎng)近似解的對(duì)比。

圖3 非相干分量精確解與近似解對(duì)比Fig.3 Exact solutions of regular components of monopole potential function and its approximate solutions

從圖3可以看出：對(duì)于水深60 m的情況來說，勢(shì)函數(shù)遠(yuǎn)場(chǎng)近似解適用距離大于5 km，而且頻率越高，適用距離越大?？梢娭械染嚯x近似解的適用條件很寬泛。

3 多極子衰減規(guī)律仿真

3.1 中遠(yuǎn)距離聲場(chǎng)勢(shì)函數(shù)衰減規(guī)律仿真

在中遠(yuǎn)距離上，與簡(jiǎn)正波相比旁側(cè)波對(duì)聲場(chǎng)的貢獻(xiàn)可以忽略，聲場(chǎng)表現(xiàn)為簡(jiǎn)正波疊加的形式。在式(1)中，n=1,m=-1為y偶極子；n=2，m=-2為有2個(gè)水平軸的yy四極子；n=1，m=1為有1個(gè)水平軸1個(gè)垂直軸的yz四極子，n=1，m=0為z偶極子；n=2，m=0為有2個(gè)垂直軸的zz四極子。其他類型的多極子在聲信號(hào)觀測(cè)角度上勢(shì)函數(shù)為0。

在研究聲學(xué)逆問題時(shí)，利用聲場(chǎng)勢(shì)函數(shù)與聲壓之間的關(guān)系：

(12)

并進(jìn)一步與實(shí)測(cè)的聲壓值進(jìn)行比對(duì)。

波導(dǎo)的聲學(xué)參數(shù)不變，圖4(a)為聲源深度5 m，接收器深度6 m頻率100 Hz不同類型多極子聲場(chǎng)勢(shì)函數(shù)非相干分量衰減曲線。圖4(b)為聲源深度5 m，接收器深度28 m，頻率100 Hz時(shí)不同類型多極子勢(shì)函數(shù)非相干分量衰減曲線。為了便于比較，將圖中曲線沿著垂直軸進(jìn)行了平移。

圖4 頻率100 Hz時(shí)多極子勢(shì)函數(shù)衰減曲線Fig.4 Attenuation curves of multi-poles source potential function f=100 Hz

從圖4可以看出：在中遠(yuǎn)距離上，根據(jù)聲場(chǎng)勢(shì)函數(shù)衰減規(guī)律，多極子可以分為2組，第1組包括：?jiǎn)螛O子、水平偶極子、具有2個(gè)水平軸的四極子、具有2個(gè)垂直軸的四極子;第2組包括：垂直偶極子與具有一個(gè)水平軸一個(gè)垂直軸的四極子。這樣，在遠(yuǎn)場(chǎng)分析實(shí)際聲源的指向性時(shí)，可以忽略垂直面上的指向性，并且遠(yuǎn)場(chǎng)條件下，實(shí)際水下聲場(chǎng)的多極子模型可以簡(jiǎn)化。

3.2 近場(chǎng)衰減規(guī)律仿真

在聲源特性精細(xì)研究和觀測(cè)的近場(chǎng)，接收器與聲源之間的距離在300～400 m到1～2 km。在這個(gè)距離上旁側(cè)波對(duì)聲場(chǎng)的作用不能忽視，此時(shí)簡(jiǎn)正波形式的聲場(chǎng)近似解無法給出聲場(chǎng)在空間上的細(xì)致結(jié)構(gòu)，因此采用圍線積分方法研究多極子的聲場(chǎng)分布。聲壓接收方向?yàn)檠刂鴛軸方向，此時(shí)y軸水平偶極子的聲場(chǎng)為0，因此只研究x軸水平偶極子的聲場(chǎng)衰減規(guī)律。

聲源深度36 m，接收器深度98 m，波導(dǎo)厚度為100 m。海底聲學(xué)參數(shù)與前述相同。圖5分別給出了聲源頻率100 Hz和50 Hz時(shí)單極子與水平偶極子和垂直偶極子聲場(chǎng)特性的對(duì)比結(jié)果。

在圖5中，聲信號(hào)觀測(cè)方向?yàn)樗脚紭O子極大值方向，因此聲場(chǎng)看不出方位的變化。從圖5可以看出：相同波導(dǎo)條件下，在近距離上，水平偶極子與單極子的衰減規(guī)律相同，垂直偶極子比單極子和水平偶極子都衰減的快，傳播損失較大。對(duì)于同一種多極子來說，頻率越高，聲信號(hào)衰減速度越快。

圖5 單極子與及垂直偶極子聲場(chǎng)特性對(duì)比Fig.5 Comparison of sound field characteristics between monopole and horizontal dipole and vertical dipole

水平偶極子聲源是最常見的多極子聲源，設(shè)波導(dǎo)的聲學(xué)參數(shù)不變，水平偶極子聲源沿著直線運(yùn)動(dòng)，研究聲源與接收器之間正橫距離分別為50、100和200 m時(shí)，不同頻率水平偶極子聲源聲場(chǎng)衰減規(guī)律，仿真結(jié)果如圖6所示。

從圖6可以看出：水平偶極子的聲場(chǎng)具有指向性，但是在海洋信道濾波器的作用下水平偶極子聲場(chǎng)的8字型指向性發(fā)生了畸變。在水平距離較小的情況下，接收器與聲源之間的正橫距離對(duì)聲場(chǎng)的指向性非常明顯；隨著水平距離的增大，接收器與聲源之間正橫距離對(duì)聲場(chǎng)的影響減弱。相同頻率不同接收深度的聲場(chǎng)也存在差異，這是由于在波導(dǎo)中到達(dá)不同接收位置的聲線能量不同。

圖6 水平偶極子不同正橫距離時(shí)聲場(chǎng)對(duì)比Fig.6 Comparison of sound field characteristics between cross section for horizontal dipole

4 結(jié)論

1)在不同的傳播距離上，可以采用不同的近似公式來描述多極子勢(shì)函數(shù)非相干分量的衰減規(guī)律。

2)在中遠(yuǎn)距離上，按照勢(shì)函數(shù)衰減規(guī)律分類，多極子可以分為2類：?jiǎn)螛O子、水平偶極子、具有2個(gè)水平軸的四極子和具有2個(gè)垂直軸的四極子；垂直偶極子及具有1個(gè)水平軸和1個(gè)垂直軸的四極子。

3)在近場(chǎng)水平方向上，單極子與水平偶極子傳播規(guī)律相同，垂直偶極子比單極子衰減速度快。海洋波導(dǎo)中隨著傳播距離的增大，多極子的指向性減弱。

4)本文的研究工作為描述水下聲源的聲場(chǎng)提供了精確的理論模型，利用該模型，能夠有效地預(yù)報(bào)海洋波導(dǎo)中低頻水下聲源輻射聲信號(hào)在不同區(qū)域的傳輸規(guī)律，具有重要的實(shí)用價(jià)值。