談?wù)劯呖贾杏谩案叩葦?shù)學(xué)知識(shí)”和“二級(jí)結(jié)論”答題的那些事

◇ 江西 張金生(特級(jí)教師)

(作者單位:江西省南昌三中)

在高考中能否用“洛必達(dá)法則”“拉格朗日中值定理”等高等數(shù)學(xué)知識(shí)答題? 能否直接用常用的二級(jí)結(jié)論,會(huì)不會(huì)扣分? 這些一直是我們同學(xué)關(guān)心的問題.筆者多年參與高考試卷閱卷工作,現(xiàn)就這個(gè)問題來跟同學(xué)們聊聊.在高考中用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解答一般不扣分,但不加證明直接使用二級(jí)結(jié)論扣不扣分要視具體情況具體分析.比如,新課改以來,導(dǎo)數(shù)模塊成為高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容,高等數(shù)學(xué)中的泰勒展開式、麥克勞林(Maclaurin)公式等是導(dǎo)數(shù)試題命制的一個(gè)重要題源.這些年在高考中使用“洛必達(dá)法則”“拉格朗日中值定理”等均未扣分.這里,我們來談?wù)勥@兩年高考閱卷中的幾個(gè)典型案例.

例1(2020年全國卷Ⅰ理17)設(shè){an}是公比不為1的等比數(shù)列,a1為a2,a3的等差中項(xiàng).

(1)求{an}的公比;

(2)若a1＝1,求數(shù)列{nan}的前n 項(xiàng)和.

(1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得2a1＝a2＋a3,即2a1＝a1q＋a1q2,所以q2＋q－2＝0,解得q＝1(舍去),q＝－2,故{an}的公比為－2.

(2)設(shè)Sn為{nan}的前n 項(xiàng)和,由(1)及題設(shè)可得an＝(－2)n－1.所以

在試評(píng)中發(fā)現(xiàn),有考生用二級(jí)結(jié)論:若cn＝(an＋b)qn－1,則{cn}的前n 項(xiàng)和Sn＝(An＋B)qn－B,其中本題cn＝n(－2)n－1直接套公式得所以

該解法沒有錯(cuò)位相減的過程,直接套用課外二級(jí)結(jié)論.經(jīng)過試評(píng)組全體成員討論,最后決定扣1分,除非證明了所用的二級(jí)結(jié)論.

例2(2018 年全國卷Ⅰ文18)如圖1所示,在平行四邊形ABCM 中,AB ＝AC ＝3,∠ACM ＝90°,以AC為折痕將△ACM 折起,使點(diǎn)M 到達(dá)點(diǎn)D 的位置,且AB⊥DA.

圖1

(1)證明:平面ACD⊥平面ABC;

(2)Q 為線段AD 上一點(diǎn),P 為線段BC 上一點(diǎn),且求三棱錐Q-ABP 的體積.

大綱對(duì)文科生只要求了解空間直角坐標(biāo)系(《必修2》),對(duì)空間向量應(yīng)用不作要求,但在2018年閱卷過程中發(fā)現(xiàn)有幾個(gè)文科考生用高等數(shù)學(xué)里的向量的混合積來解答,請(qǐng)看第(2)問解答過程:以C 為坐標(biāo)原點(diǎn)的方向?yàn)閥 軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,則A(0,3,0),B(－3,3,0),D(0,0,3),由1),

閱卷過程中發(fā)現(xiàn)這種應(yīng)用高等數(shù)學(xué)空間解析幾何的解法,解答過程完整,還是給予了肯定,沒有扣分.

例3(2020年全國卷Ⅰ理20文21)已知A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),G 為E 的上 頂 點(diǎn)為直線x＝6上的動(dòng)點(diǎn),PA 與E 另一交點(diǎn)為C,PB 與E 另一交點(diǎn)為D.

(1)求E 的方程;

(2)證明:直線CD 過定點(diǎn).

該題看似常規(guī),但考生普遍反映很難算.根據(jù)試評(píng)結(jié)果,本題試評(píng)組給出了8種解法,常規(guī)解法之外,下面兩種解法用了兩個(gè)二級(jí)結(jié)論,即“橢圓上動(dòng)點(diǎn)與長軸兩端點(diǎn)連線斜率之積為定值”“橢圓上動(dòng)點(diǎn)與中心對(duì)稱兩點(diǎn)連線斜率之積為定值”,開拓了解題思路,簡化了運(yùn)算.

一些對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚興趣的同學(xué),自學(xué)了高等數(shù)學(xué)知識(shí),碰巧在高考時(shí)用上了,這是值得肯定的.在解答步驟多的計(jì)算題中穿插了“二級(jí)結(jié)論”通常也不扣分.掌握一定的典型的課外二級(jí)結(jié)論,結(jié)合解題技巧是解題靈活性的表現(xiàn),也直接影響著運(yùn)算的快捷程度.在學(xué)習(xí)過程中不斷地對(duì)典型試題尋本探源、總結(jié)反思、積累經(jīng)驗(yàn),總結(jié)出“二級(jí)結(jié)論”和一點(diǎn)解題小竅門、小技巧是必要的.但過于熱衷 “秒殺”,死記太多 “二級(jí)結(jié)論”,把數(shù)學(xué)思維活動(dòng)變成死記硬背,這不可取.