函數(shù)綜合應(yīng)用三要求

◇ 湖北 徐 濤

(作者單位:湖北省谷城縣第一高級(jí)中學(xué))

函數(shù)的綜合運(yùn)用主要是指運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)、思想和方法綜合分析、解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題.學(xué)習(xí)了函數(shù),同學(xué)們?cè)诤瘮?shù)的綜合運(yùn)用方面應(yīng)達(dá)到哪些要求呢?

1 準(zhǔn)確理解、熟練運(yùn)用,深化函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)

函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)也是每年高考考查的基本知識(shí),而且往往可與其他許多知識(shí)點(diǎn)交會(huì)在一起綜合考查.因此,關(guān)于函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)我們一定要引起高度重視,真正做到準(zhǔn)確理解、熟練掌握.

例1已知y＝f(x)是偶函數(shù),在[1,2]上單調(diào)遞減,在[2,3]上單調(diào)遞增,且當(dāng)x＞0時(shí),f(x)＝x＋若當(dāng)x∈[－3,－1]時(shí),n≤f(x)≤m 恒成立,求m－n的最小值.

又由題設(shè)及偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱,易知函數(shù)f(x)在[－3,－2]上單調(diào)遞減,在[－2,－1]上單調(diào)遞增.于是,當(dāng)x∈[－3,－1]時(shí),

從而,在[－3,－1]上函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇4,5].故由“當(dāng)x∈[－3,－1]時(shí),n≤f(x)≤m 恒成立”得[4,5]?[n,m],(m－n)min＝5－4＝1.

求解本題的關(guān)鍵在于將題設(shè)所給奇偶性、單調(diào)性加以靈活運(yùn)用.

2 掌握研究函數(shù)的方法,提高解題能力

高中數(shù)學(xué)對(duì)函數(shù)的研究理論性加強(qiáng)了,對(duì)一些典型問題的研究十分重視,如求函數(shù)的定義域、確定函數(shù)的解析式、判斷函數(shù)的奇偶性、判斷或證明函數(shù)在指定區(qū)間的單調(diào)性等.

例2已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:

① 對(duì)任意x,y∈R都有

② 當(dāng)x＜0時(shí),f(x)＞0,f(1)＝－2.求f(x)在[－8,8]上的最小值和最大值.

任取x1,x2∈R,且設(shè)x1＜x2,則因?yàn)閤1－x2＜0,所以由條件②得f(x1－x2)＞0.

于是,由條件①可得

則f(x)在R上為減函數(shù),從而必有f(x)在[－8,8]上也為減函數(shù).

在條件①中,取x＝y(tǒng)＝0,則有f(0)＝f(0)＋f(0)?f(0)＝0;取y＝－x,則有f(0)＝f(x－x)＝f(x)＋f(－x),于是,f(x)＋f(－x)＝0?f(－x)＝－f(x)?f(x)為奇函數(shù).故函數(shù)f(x)在[－8,8]上的最大值為f(－8)＝－f(8)＝－8f(1)＝－8×(－2)＝16,最小值為f(8)＝－16.

若不明確抽象函數(shù)的性質(zhì),則應(yīng)先根據(jù)題設(shè)充分挖掘隱蔽的抽象函數(shù)的性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性等),然后再加以靈活運(yùn)用.

3 抓住函數(shù)、方程、不等式之間的相互聯(lián)系

函數(shù)、方程、不等式是相互聯(lián)系的.對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x),令f(x)＝g(x),f(x)＞g(x)或f(x)＜g(x),則分別構(gòu)成方程和不等式,因此對(duì)于某些方程、不等式問題用函數(shù)觀點(diǎn)分析是十分有益的.

例3若方程2a·9x＋4a·3x＋a－8＝0 在[－1,1]上有實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a 的取值范圍.

“方程有實(shí)數(shù)解,求參數(shù)的取值范圍”問題,往往可通過分離參數(shù)法將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)函數(shù)的值域問題.