判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)的幾種方法

◇ 甘肅 石剛雷

(作者單位:甘肅省寧縣第四中學(xué))

導(dǎo)數(shù)法是判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間的重要工具,即利用定義域內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來判斷原函數(shù)的增減性,求導(dǎo)后若導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)易求,則其正負(fù)也易于判斷.但某些問題中導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不易求,甚至不可求.本文就給出處理這類問題的幾種方法.

1 局部分析

對于整體上無法判斷導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的問題,可將其分成幾個(gè)部分,逐一分析,化整為零,各個(gè)擊破.

例1已知函數(shù)判斷f(x)在(－∞,－1),(－1,0)內(nèi)的單調(diào)性.

2 二次求導(dǎo)

二次求導(dǎo)是對導(dǎo)函數(shù)或?qū)Ш瘮?shù)中決定導(dǎo)數(shù)正負(fù)的局部函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),判斷其單調(diào)區(qū)間,求其最值,從而得出導(dǎo)函數(shù)的正負(fù).

例2求函數(shù)f(x)＝xe2－x＋ex 的單調(diào)區(qū)間.

函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,求導(dǎo)得f′(x)＝(1－x)e2－x＋e＝e2－x(1－x＋ex－1).

設(shè)g(x)＝1－x＋ex－1,求導(dǎo)得g′(x)＝ex－1－1,令g′(x)＝0得x＝1,且在區(qū)間(－∞,1)內(nèi),g′(x)＜0,則g(x)單調(diào)遞減;在區(qū)間(1,＋∞)內(nèi),g′(x)＞0,則g(x)單調(diào)遞增.所以gmin(x)＝g(1)＝1,所以g(x)＞0,即f′(x)＞0.

綜上,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞,＋∞).

3 零點(diǎn)觀察

對于導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不易求,但可直觀觀察出零點(diǎn),再對零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行判定,即可解決問題.

例3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

易知當(dāng)x＝1,f′(x)＝0.令g(x)＝1－lnx－x2,則所以g(x)在(0,＋∞)內(nèi),單調(diào)遞減,所以f′(x)有唯一零點(diǎn)x＝1,且在(0,1)內(nèi),f′(x)＞0,則f(x)單調(diào)遞增;在(1,＋∞)內(nèi),f′(x)＜0,則f(x)單調(diào)遞減.

綜上,函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(1,＋∞).

4 設(shè)而不求

若導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)無法求解,但利用零點(diǎn)存在定理可判斷其存在零點(diǎn),此時(shí)可利用“設(shè)而不求”法,設(shè)出零點(diǎn),進(jìn)而判斷零點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負(fù).

例4求函數(shù)f(x)＝(2x－1)lnx＋x 的單調(diào)區(qū)間.

所以g(x)在(0,＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

綜上,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,x0),單調(diào)遞增區(qū)間為(x0,＋∞),其中x0∈(1,e).

綜上,本文主要針對求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí),導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)不易求的問題.對于不等式證明或不等式恒成立問題,需要我們構(gòu)造新函數(shù),再求其最值.構(gòu)造函數(shù)的方式不同,導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)求解的難度也不同,需要同學(xué)們仔細(xì)分析,靈活運(yùn)用上述方法.