“以想代算”在統(tǒng)計(jì)問題中的應(yīng)用

◇ 福建 林紅紅

(作者單位:福建省龍巖市第二中學(xué))

利用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體的數(shù)字特征是統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要應(yīng)用.數(shù)字特征主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差等,這些數(shù)字特征雖然都有相應(yīng)的計(jì)算方法,但有些問題的求解中只要求我們比較某兩個(gè)量的大小,或其在統(tǒng)計(jì)圖表中的位置,因此這些量是不需要計(jì)算的.只要我們能把握相應(yīng)數(shù)字特征的具體含義,便可以想代算,簡捷處理.

1 準(zhǔn)確利用數(shù)字特征的含義

例1某影視公司推出了一部影片,為了解觀眾對該影片的滿意度,從甲、乙兩地分別隨機(jī)調(diào)查了100位觀眾,根據(jù)觀眾對該影片的滿意度評分,分別得到兩地觀眾滿意度評分的頻率分布直方圖(如圖1).

圖1

若甲、乙兩地觀眾滿意度評分的中位數(shù)分別為m1,m2,標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1,s2,則下面所給關(guān)系中正確的是( ).

A.m1＞m2,s1＞s2B.m1＞m2,s1＜s2

C.m1＜m2,s1＜s2D.m1＜m2,s1＞s2

首先要明確數(shù)字特征的具體含義.中位數(shù),即數(shù)據(jù)的中間數(shù),是衡量集中趨勢的一種方法.標(biāo)準(zhǔn)差,方差的平方根,能反映數(shù)據(jù)的離散程度.

本例以頻率分布直方圖為背景,中位數(shù)左、右兩側(cè)直方圖的面積相等.故觀察兩圖可知,m1在60～70之間,m2在70～80之間,所以m1＜m2.從圖容易看出,甲地區(qū)數(shù)據(jù)的離散程度大于乙地區(qū)數(shù)據(jù)的離散程度,所以s1＞s2.故選D.

2 深度挖掘數(shù)字特征的本質(zhì)

例2某網(wǎng)上商城對某時(shí)間在該網(wǎng)站購物的顧客中隨機(jī)抽取10000名進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查,將這10000名顧客按年齡分成5組,即[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60],并整理得到頻率分布直方圖(如圖2所示).

圖2

(1)求a 的值;

(2)估計(jì)該時(shí)間在該商城網(wǎng)絡(luò)購物顧客的平均年齡.

(1)a＝0.035(求解過程略).

(2)根據(jù)題意,平均年齡估計(jì)為15×0.1＋25×0.35＋35×0.3＋45×0.2＋55×0.005＝32.5(歲).

3 巧妙借助數(shù)字特征間的關(guān)系

圖3

例3據(jù)研究得出,空氣的相對濕度較大或較小時(shí),都有利于某種細(xì)菌的繁殖、傳播.經(jīng)科學(xué)測定,在相對濕度大于65%或小于40% 時(shí),該 細(xì) 菌繁殖滋生較快,當(dāng)相對濕度在45% ～ 55% 時(shí),該細(xì)菌死亡較快.現(xiàn)根據(jù)部分城市空氣月平均相對濕度的300個(gè)數(shù)據(jù),得到如圖3所示的統(tǒng)計(jì)圖(其中為了記錄方便,將空氣相對濕度在a%～b%時(shí)記為區(qū)間[a,b)).若同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,則估計(jì)樣本中空氣月平均相對濕度的平均數(shù)所在的區(qū)間為________.

求樣本的平均值時(shí),若數(shù)據(jù)中含有極端值,則平均數(shù)并不能準(zhǔn)確反映樣本的平均水平,而中位數(shù)可以起到反應(yīng)平均水平的作用.因此,為了簡化計(jì)算,可用中位數(shù)的值來代替平均值.采用這種方法可知,相對濕度的平均數(shù)所在的區(qū)間為[65,75).