例談數(shù)列常見(jiàn)問(wèn)題的解答

◇ 廣西 梁志紅

(作者單位:廣西貴港市港南中學(xué))

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn),以抽象著稱,相關(guān)習(xí)題難度較大.教學(xué)中為提高學(xué)生的解題能力,使其掌握數(shù)列常見(jiàn)問(wèn)題的解答方法,有必要為學(xué)生展示常見(jiàn)問(wèn)題的解題過(guò)程,以提高學(xué)生認(rèn)識(shí),對(duì)其解答類似問(wèn)題以啟發(fā).其中遞推問(wèn)題、最值問(wèn)題、存在性問(wèn)題是數(shù)列的常見(jiàn)問(wèn)題,本文圍繞具體例題進(jìn)行闡述.

1 遞推問(wèn)題

遞推問(wèn)題是數(shù)列的常見(jiàn)問(wèn)題,對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力要求較高.解答該類習(xí)題時(shí)應(yīng)注重遞推的嚴(yán)謹(jǐn)性、合理性,即認(rèn)真審題,深入理解題干中的已知條件,找到遞推的突破口.同時(shí),遞推的過(guò)程中應(yīng)注重靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)列知識(shí),保證每一步的推理都有理有據(jù).

例1已知{an}滿足

(1)求a1的取值范圍,使得數(shù)列{an}為常數(shù)列;

(2)求a1的取值范圍,使得an＋1＞an對(duì)任意的自然數(shù)n 均成立;

(3)若a1＝4,bn＝|an＋1－an|(n＝1,2,3,…),Sn為數(shù)列{bn}的前n 項(xiàng)和,證明

(3)由(2)可知a1＝4時(shí),an＋1＜an對(duì)任意的自然數(shù)n 均成立,即an＋1－an＜0,則

2 最值問(wèn)題

最值問(wèn)題在數(shù)列習(xí)題中較為常見(jiàn).解答該類問(wèn)題思路較多,其一,可利用數(shù)列的遞推關(guān)系,找到數(shù)列的最值;其二,因?yàn)閿?shù)列是特殊的函數(shù),所以可借助函數(shù)單調(diào)性分析出數(shù)列的最值;其三,部分習(xí)題可運(yùn)用不等式知識(shí)進(jìn)行解答.究竟采用哪一種思路,需要學(xué)生視情況而定,靈活選擇.

例2已知數(shù)列{an}中(n∈N?),數(shù)列{bn}的前n 項(xiàng)和N?).

(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

3 存在性問(wèn)題

數(shù)列的存在性問(wèn)題常和數(shù)列的性質(zhì)聯(lián)系在一起.該類問(wèn)題一般涉及多個(gè)小問(wèn),解答該類習(xí)題應(yīng)注重應(yīng)用上個(gè)小問(wèn)的結(jié)論進(jìn)行推導(dǎo),以構(gòu)建參數(shù)之間的關(guān)系.同時(shí),注重挖掘題干中的隱含條件,以做出正確的判斷,如數(shù)列中的n 為正整數(shù),解題時(shí)應(yīng)根據(jù)得出的結(jié)論合理取舍.

例3等比數(shù)列{cn}滿足cn＋1＋cn＝10·4n－1(n∈N?),數(shù)列{an}滿足cn＝2an.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)數(shù)列{bn}滿足為其前n 項(xiàng)和,求

(3)是否存在正整數(shù)m,n(1＜m ＜n),使得T1,Tm,Tn為等比數(shù)列,若存在,求出m,n 的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1)因?yàn)閏n＋1＋cn＝10·4n－1,所以c1＋c2＝10,c2＋c3＝40,易求得公比q＝4,c1＝2,則cn＝2·4n－1,又因?yàn)閏n＝2an,則an＝2n－1.

數(shù)列教學(xué)中,為使學(xué)生掌握常見(jiàn)問(wèn)題的解答思路,教師既要做好例題的篩選與講解,又要鼓勵(lì)學(xué)生多進(jìn)行總結(jié)與反思,爭(zhēng)取將各種問(wèn)題的解答思路搞清楚,將其內(nèi)化為自己的知識(shí).同時(shí),在平時(shí)的訓(xùn)練中多加應(yīng)用、不斷鞏固,爭(zhēng)取達(dá)到融會(huì)貫通、靈活應(yīng)用.