例談高中數(shù)學(xué)數(shù)列求和的教學(xué)

◇ 江蘇 常國良

(作者單位:江蘇省泰興中學(xué))

求和是數(shù)列的重點,方法多種多樣,主要包括公式法、轉(zhuǎn)化法、錯位相減法、裂項相消法等.其中公式法較為簡單,后面三種方法具有一定的技巧性,對學(xué)生的理解以及靈活應(yīng)用所學(xué)知識的能力要求較高.本文主要圍繞后三種求和方法進(jìn)行探討,以供讀者參考.

1 轉(zhuǎn)化法

高中數(shù)學(xué)部分?jǐn)?shù)列問題較為特殊,直接求和的難度較大,需要結(jié)合前n 項和的表達(dá)式進(jìn)行巧妙的轉(zhuǎn)化,化陌生為熟悉,從而使用所學(xué)求和知識進(jìn)行求解.

例1已知Sn＝3n＋1為數(shù)列{an}的前n 項和.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

(1)根據(jù)an＝Sn－Sn－1,不難求得數(shù)列{an}的通項公式為求解中需要注意的是驗證首項是否滿足推出的公式,如不滿足應(yīng)寫成如上分段函數(shù)的形式.

(2)可利用轉(zhuǎn)化法求和,通過認(rèn)真觀察,可將數(shù)列的前n 項和分解,先求出易于求和的部分,而后將其與剩余的部分相加即可.根據(jù)(1)求出的結(jié)果易得

2 錯位相減法

錯位相減法是數(shù)列求和的重要方法,是高考經(jīng)常考查的知識點.教學(xué)中為使學(xué)生掌握這一求和方法,教師應(yīng)結(jié)合經(jīng)典例題為學(xué)生講解具體的解題步驟,幫助其理解錯位相減的技巧,從而靈活應(yīng)用.

例2已知Sn為等差數(shù)列{an}前n 項和,公差d≠0,且S3＝9,a1,a3,a7成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝(an－1)·2n,求數(shù)列{bn}的前n 項和Tn.

(1)根據(jù)“a1,a3,a7成等比數(shù)列”以及d 與a1的關(guān)系,不難求出數(shù)列{an}的通項公式為an＝n＋1,具體求解過程這里不再贅述.

(2)得出數(shù)列{bn}的通項公式,采用錯位相減法便可求出Tn.因為an＝n＋1,所以bn＝(an－1)·2n＝n·2n.則

3 裂項相消法

裂項相消法求和時,裂項的形式較多、技巧性較強,故學(xué)生不易掌握.為幫助學(xué)生掌握這一數(shù)列求和的重要方法,課堂上應(yīng)注重為學(xué)生詳細(xì)地列出常見的裂項求和方法,使學(xué)生牢固記憶,深入理解,在應(yīng)用中少走彎路.

例3已知函數(shù)f(x)＝xα的圖象過點(4,2),令記數(shù)列{an}的前n 項和為Sn,則S2019＝________.

該題是函數(shù)與數(shù)列的結(jié)合題.解答時應(yīng)先認(rèn)真審題,理解題意.先根據(jù)題干條件求出函數(shù)f(x)的表達(dá)式,而后運用裂項相消求解.由已知條件可得2＝4α,則因此,

數(shù)列求和是高中數(shù)學(xué)數(shù)列部分的重要題型,為使學(xué)生牢固掌握相關(guān)知識,靈活應(yīng)用數(shù)列求和相關(guān)技巧,教師既要注重為學(xué)生講授相關(guān)理論知識,又要結(jié)合具體例題進(jìn)行講解,使學(xué)生真正掌握各種求和方法,做到舉一反三.