高中數(shù)學(xué)函數(shù)與方程綜合問題探究

◇ 安徽 應(yīng) 莉

(作者單位:安徽省阜南一中)

函數(shù)與方程是高中數(shù)學(xué)的重要知識點,尤其是一些題型常將兩者結(jié)合起來,難度較大.為提高學(xué)生解答該類問題的能力,教學(xué)中應(yīng)注重做好相關(guān)習(xí)題的匯總,與學(xué)生一起探究解題思路,使其遇到類似問題時能快速解答.

1 運用圖形,簡化解題

可將有關(guān)函數(shù)零點的問題轉(zhuǎn)化為方程問題,運用數(shù)形結(jié)合法求解,大大簡化解題步驟,提高解題效率.教學(xué)中注重優(yōu)選、講解經(jīng)典例題,使學(xué)生掌握運用數(shù)形結(jié)合法解答函數(shù)與方程綜合問題的具體步驟.同時,鼓勵學(xué)生進行課堂反思,把握解題的關(guān)鍵,在解題中少走彎路,盡快得出正確結(jié)果.

例1已知函數(shù)g(x)＝f(x)＋x＋a,若g(x)存在2個零點,則a 的取值范圍為( ).

A.[－1,0) B.[0,＋∞)

C.[－1,＋∞) D.[1,＋∞)

圖1

這是一道高考題,求解時,可對已知條件進行轉(zhuǎn)化,再應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想進行分析.g(x)存在2個零點等價于f(x)＝－x－a 存在2 個不等實根.在同一直角坐標(biāo)系中分別繪制f(x)和y＝－x－a 的圖象,如圖1,因為y＝－x－a圖象的斜率為－1,而－a 表示在y 軸上的截距,因此,要想滿足題意,只需－a≤1,即a≥－1,故選C.

2 深挖條件,巧妙突破

解答函數(shù)與方程的綜合問題時需認(rèn)真審題,充分挖掘題干中的隱含條件,實現(xiàn)快速破題.教學(xué)中可結(jié)合學(xué)生的所學(xué)知識,注重在知識的交會處設(shè)計問題,并給學(xué)生專門留下獨立思考的時間,鼓勵其積極回顧所學(xué)知識,深挖已知條件進行問題求解,在鞏固所學(xué)知識的同時,使其更好地掌握函數(shù)與方程綜合問題的解題技巧.

例2若a,b 為函數(shù)f(x)＝x2－px＋q (p＞0,q＞0)的2個不同零點,且a,b,－2這3個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則p＋q 的值為( ).

A.6 B.7 C.8 D.9

解答該題需要充分理解零點的含義,并根據(jù)數(shù)列知識求出p＋q 的值.很多學(xué)生面對該題時,會因無法巧妙應(yīng)用題干中“等比數(shù)列”“等差數(shù)列”的相關(guān)知識,而無從下手.事實上,因為a,b 為方程x2－px＋q＝0的兩個不等實根,由根與系數(shù)間的關(guān)系得a＋b＝p,ab＝q,又因為p＞0,q＞0,則a＞0,b＞0.若a,b,－2排序后為等比數(shù)列,則－2必為第二項,該等比數(shù)列為a,－2,b 或者b,－2,a,因此,必有ab＝4;若a,b,－2適當(dāng)排序后為等差數(shù)列,則a－2＝2b 或b－2＝2a,解得a＝4,b＝1或a＝1,b＝4,則p＝5,q＝4,則p＋q 的值為9,故選D.

3 等價轉(zhuǎn)化,巧用性質(zhì)

解答高中數(shù)學(xué)函數(shù)與方程綜合問題時應(yīng)注重運用等價轉(zhuǎn)化思想、巧用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì).教學(xué)中為使學(xué)生掌握等價轉(zhuǎn)化的方法,教師應(yīng)注重選擇代表性較強的習(xí)題,組織學(xué)生開展訓(xùn)練活動,使學(xué)生在訓(xùn)練中發(fā)現(xiàn)并彌補知識的漏洞,積累相關(guān)的解題經(jīng)驗.

例3已知方程x＝a(a 為常數(shù))在區(qū)間[0,2π]上恰有三個根x1,x2,x3,則x1＋x2＋x3的值為( ).

方程中涉及三角函數(shù),一般情況下根無法直接求解.解題時可將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,借助函數(shù)圖象分析.因為令根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì)易得函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,要想滿足題意則需得出x＝1故選C.

總之,高中數(shù)學(xué)教學(xué)中為提高學(xué)生解答函數(shù)與方程綜合問題的能力,促進學(xué)生數(shù)學(xué)成績的提升,教師應(yīng)注重講解例題,積極組織學(xué)生開展專題訓(xùn)練活動,使學(xué)生掌握相關(guān)的解題技巧.