超固結(jié)非飽和土的彈塑性雙面模型

李瀟旋，李 濤，李 艦

（北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044）

1 研究背景

非飽和土在自然界中分布廣泛，具有復(fù)雜的物理和力學(xué)特性。在地球表層的實(shí)際工程中，如高速公路和鐵路路基工程、隧道工程及邊坡海岸工程等，由于超載預(yù)壓地基處理工藝以及卸荷、再加荷等循環(huán)加載作用，非飽和土大部分處于超固結(jié)狀態(tài)。超固結(jié)非飽和土表現(xiàn)出應(yīng)變軟化和剪脹、高峰值應(yīng)力比以及應(yīng)力路徑相關(guān)性，常規(guī)臨界狀態(tài)模型無法合理地描述這些特性。因此，研究超固結(jié)非飽和土的力學(xué)特性和本構(gòu)關(guān)系具有重要的理論價(jià)值和工程意義。

國內(nèi)外學(xué)者對(duì)正常固結(jié)和弱超固結(jié)非飽和土進(jìn)行了大量的理論和試驗(yàn)研究，在本構(gòu)模型方面取得了許多有益的成果。Alonso等[1]基于不同吸力下非飽和土體積和應(yīng)力的變化關(guān)系試驗(yàn)結(jié)果，在臨界狀態(tài)土力學(xué)框架內(nèi)最早提出非飽和土的彈塑性模型，被稱為BBM（Barcelona Basic Model）模型。Wheeler[2]修正了BBM模型中的LC屈服面，提出了改進(jìn)的BBM模型用于描述非飽和高嶺土的基本力學(xué)性質(zhì)。Sun等[3-4]基于SMP破壞準(zhǔn)則，采用變換應(yīng)力法推導(dǎo)了非飽和土的三維彈塑性本構(gòu)關(guān)系，并用壓實(shí)高嶺土的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。后來，Wheeler等[5]考慮飽和度影響，采用Bishop應(yīng)力和修正的基質(zhì)吸力建立了較完整的水力-力學(xué)耦合模型?？娏植齕6]引用骨架應(yīng)力的概念推導(dǎo)了LC屈服面的函數(shù)和硬化規(guī)律，建立了體應(yīng)變引起飽和度變化的關(guān)系式。Sheng等[7-8]指出在非飽和土土-水特性中飽和度不僅與吸力有關(guān)，而且還與體應(yīng)變有關(guān)，并據(jù)此建立了水力-力學(xué)完全耦合的彈塑性本構(gòu)模型。蔡國慶等[9]以非飽和細(xì)砂為研究對(duì)象，運(yùn)用等速率單軸拉伸方法開展了不同干密度和含水率條件下的非飽和土抗拉強(qiáng)度試驗(yàn)研究，探討了土體抗拉強(qiáng)度隨干密度和含水率的變化規(guī)律。在考慮循環(huán)荷載作用方面，Li和Meissner[10-11]將Masing準(zhǔn)則推廣到多維應(yīng)力空間，提出了一種新型塑性硬化準(zhǔn)則（以下簡稱Li-Meissner硬化準(zhǔn)則），它采用徑向映射法則和可移動(dòng)的記憶中心，通過邊界面和加載面在應(yīng)力空間中的演化來反映循環(huán)加載過程中材料的循環(huán)塑性特征?；谠摐?zhǔn)則建立的飽和黏性土的彈塑性雙面模型可以較好地模擬循環(huán)荷載作用下飽和黏性土的力學(xué)特性。李瀟旋等[12-13]基于BBM和Li-Meissner硬化準(zhǔn)則，建立了循環(huán)荷載下非飽和土的彈塑性雙面模型，其中考慮了土體結(jié)構(gòu)性的影響。孫德安和吳波[14]使用吸力可控或可測的非飽和土振動(dòng)三軸試驗(yàn)儀，對(duì)非飽和及飽和粉土進(jìn)行動(dòng)態(tài)加載試驗(yàn)，在不同凈圍壓應(yīng)力、不同初始含水率的條件下，得到了非飽和及飽和粉土試樣的動(dòng)應(yīng)力應(yīng)變骨架曲線、動(dòng)彈性模量和阻尼比，并量測了試樣吸力。

以上模型均針對(duì)正常固結(jié)非飽和土進(jìn)行研究，而有關(guān)超固結(jié)非飽和土在靜態(tài)及循環(huán)荷載作用下的力學(xué)特性的研究近年已有所報(bào)道。徐連民等[15]在修正劍橋模型的屈服函數(shù)中引入描述超固結(jié)黏土變形和強(qiáng)度特性的狀態(tài)量，進(jìn)一步改進(jìn)修正的劍橋模型以應(yīng)用于超固結(jié)土的變形特性研究，并給出該狀態(tài)量的演化規(guī)則。Estabragh等[16-17]針對(duì)超固結(jié)非飽和粉土在控制吸力條件下進(jìn)行了系列三軸剪切試驗(yàn)，探索了吸力和超固結(jié)比的影響。Wu等[18]通過一系列固結(jié)排氣不排水的常含水量（CW）三軸試驗(yàn)，分析了吸力和超固結(jié)比在超固結(jié)非飽和粉土的水力-力學(xué)耦合特性中的作用。姚仰平等[19]采用拋物線近似代替Hvorslev線，該拋物線將零拉應(yīng)力線與Hvorslev線表達(dá)成一條統(tǒng)一的剪切強(qiáng)度包絡(luò)線，提出了基于改進(jìn)Hvorslev線的超固結(jié)土模型。隨后，Yao等[20]、姚仰平等[21]將BBM與超固結(jié)土的UH模型相結(jié)合，建立了超固結(jié)非飽和土的UH模型，它們能夠反映超固結(jié)非飽和土的硬化、軟化、剪縮、剪脹特性和不同應(yīng)力路徑對(duì)超固結(jié)非飽和土變形特性的影響；還通過基于SMP準(zhǔn)則的變換應(yīng)力三維化方法將模型擴(kuò)展到三維應(yīng)力空間。李吳剛和楊慶[22-23]利用下加載面理論，將超固結(jié)的影響加入現(xiàn)有的水力-力學(xué)耦合模型中，給出了該超固結(jié)非飽和土水力-力學(xué)耦合模型的隱式積分算法和本構(gòu)模型的一致切線模量，并對(duì)該算法進(jìn)行了驗(yàn)證。

本文基于非飽和土經(jīng)典BBM模型和可描述循環(huán)荷載下飽和與非飽和土循環(huán)塑性的Li-Meissner硬化準(zhǔn)則，首先通過各向等壓卸載引入超固結(jié)特性，嘗試建立一個(gè)描述常吸力下超固結(jié)非飽和黏性土靜態(tài)及動(dòng)態(tài)力學(xué)特性的彈塑性雙面模型；然后采用相關(guān)靜態(tài)試驗(yàn)成果驗(yàn)證所建模型的合理性；最后，對(duì)超固結(jié)非飽和黏性土的循環(huán)塑性特征進(jìn)行預(yù)測。本文所建模型可為掘進(jìn)與非飽和土有關(guān)的實(shí)際工程問題提供理論基礎(chǔ)。

2 超固結(jié)非飽和黏土雙面模型的建立

2.1 邊界面和加載面方程根據(jù)BBM模型[1]和彈塑性雙面模型[10]理論，在循環(huán)荷載作用下，邊界面和加載面在p-q-s應(yīng)力空間中按照一定的規(guī)則進(jìn)行演化，來表征非飽和土的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性。在演化過程中，不同吸力值對(duì)應(yīng)的邊界面以及加載面的演化規(guī)律是一致的。常吸力條件下應(yīng)力路徑只在某恒定吸力的p-q平面上發(fā)生變化，為了表達(dá)的方便和簡潔，可用該p-q平面上邊界面和加載面橢圓的演化規(guī)律，即邊界面和加載面的常吸力截面的演化規(guī)律來反映p-q-s應(yīng)力空間中三維邊界面和加載面的演化規(guī)律[2]，因此超固結(jié)非飽和黏土的邊界面方程可寫為：

式中：m為循環(huán)加載過程中的獨(dú)立加卸載事件，如m=0為初始固結(jié)加載，m=1為等向卸載過程，m=2為第一次剪切加載，余類推；分別為第m次加載過程中邊界面在應(yīng)力空間中圓心的坐標(biāo)和p方向長半軸（圖1）；M為臨界狀態(tài)線（CSL）的斜率。

加載面與邊界面幾何相似，方程可以寫為：

圖1 非飽和土的邊界面和加載面

2.2 非飽和土的超固結(jié)特性非飽和土在固結(jié)完成后，如果遇到等向卸載作用，則在卸載完成后非飽和土具有一定的超固結(jié)特性，超固結(jié)比OCR與卸載完成后的圍壓有關(guān)。

圖2 應(yīng)力空間中的超固結(jié)非飽和土（s=sc）

如圖2所示，吸力平衡至X點(diǎn)s=sc（sc為常數(shù)）后，在常吸力條件下，非飽和土首先進(jìn)行各向等壓加載，固結(jié)至Y點(diǎn)，然后再各向等壓卸載至Z點(diǎn)，有：

若卸載后的圍壓越小，則非飽和土的超固結(jié)比越大，具有的超固結(jié)特性就越強(qiáng)。

2.3 模型的塑性硬化準(zhǔn)則模型采用的Li-Meissner塑性硬化準(zhǔn)則[10]的主要特點(diǎn)如下：

（1）將應(yīng)力空間中應(yīng)力路徑轉(zhuǎn)折點(diǎn)（區(qū)分循環(huán)加卸載）定義為記憶中心，邊界面與加載面幾何相似并始終在記憶中心相切。

（2）在加載事件中，通過加載面膨脹描述該次加載事件，同時(shí)邊界面因新的塑性體積應(yīng)變而變化。當(dāng)加卸載轉(zhuǎn)換時(shí)應(yīng)力路徑發(fā)生突然轉(zhuǎn)折，該應(yīng)力轉(zhuǎn)折點(diǎn)成為新的記憶中心，出現(xiàn)新的加載面描述新的加載事件。

（3）為了保證變形的連續(xù)性，每當(dāng)記憶中心移動(dòng)到新的位置時(shí)，邊界面也隨之發(fā)生移動(dòng)，與新的加載面相切于新的記憶中心，且初始大小與上一次事件結(jié)束后邊界面的大小一樣。

根據(jù)以上特點(diǎn)，本模型塑性變形計(jì)算所需的塑性模量取決于加載點(diǎn)到映射點(diǎn)的距離和邊界面映射點(diǎn)的塑性模量，而邊界面的演化取決于塑性體積應(yīng)變（塑性硬化參數(shù)），即邊界面的大小不僅代表了塑性加載的歷史，同時(shí)也影響了加載時(shí)塑性應(yīng)變的計(jì)算。因此，模型要求在新加載事件開始的瞬間，土體不僅仍具有上一次事件結(jié)束時(shí)的塑性加載歷史，而且還要保證邊界面和加載面之間原有的幾何構(gòu)架，否則將不能保證塑性變形計(jì)算的連續(xù)性。

圖3 加載面和邊界面演化示意

常吸力條件下，初始各向等壓固結(jié)過程（圖3（a））通過F（0）來描述，記憶中心為X點(diǎn)。固結(jié)完成后，開始各向等壓卸載（圖3（b）），此時(shí)應(yīng)力路徑發(fā)生轉(zhuǎn)折，Y點(diǎn)成為新的記憶中心。應(yīng)力路徑到達(dá)Z點(diǎn)時(shí)，卸載完成，非飽和土具有超固結(jié)特性。當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)在Z點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)折并指向A點(diǎn)（圖3（c）），應(yīng)力路徑發(fā)生轉(zhuǎn)折，Z點(diǎn)成為新的記憶中心，用f（2）和F（2）來描述加載事件ZA。當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)在A點(diǎn)發(fā)生轉(zhuǎn)折并指向B點(diǎn)（圖3（d）），應(yīng)力路徑為AB，記憶中心移動(dòng)到A點(diǎn)，產(chǎn)生新的f（3）和F（3）。

上述硬化法則的優(yōu)點(diǎn)是把一個(gè)連續(xù)的加卸載過程分解為獨(dú)立的加載事件，只用兩個(gè)面的演化來描述一個(gè)加載事件，提高了彈塑性雙面模型的模擬能力。

2.4 彈塑性增量本構(gòu)關(guān)系彈性應(yīng)變?cè)隽繛椋?/p>

式中：K為彈性體積模量；G為彈性剪切模量，有：

當(dāng)前應(yīng)力點(diǎn)的塑性應(yīng)變?cè)隽坑杉虞d面來表示。采用相關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則，塑性應(yīng)變?cè)隽繛椋?/p>

式中：為Macauley運(yùn)算符，當(dāng)且僅當(dāng)內(nèi)部參量為正時(shí)取值；ψ為修正系數(shù)，由流動(dòng)法則在側(cè)壓力系數(shù)K0加載時(shí)預(yù)估的側(cè)應(yīng)變?yōu)榱氵@個(gè)條件來選擇；n為當(dāng)前應(yīng)力點(diǎn)外法線的單位矢量，加載面上P點(diǎn)處外法線單位矢量在坐標(biāo)軸方向的分量為：

式中：hm為當(dāng)前應(yīng)力點(diǎn)的模量。

同理，因邊界面和加載面相似，將上述方程中的小寫字母f和n換成大寫字母F和N即可得邊界面上相關(guān)公式。

2.5 模型的演化規(guī)律在各向等壓固結(jié)過程（m=0）中，邊界面F（0）和加載面f（0）重合（見圖4）。

圖4 各向等壓固結(jié)過程中的邊界面和加載面

F（0）的長半軸和中心坐標(biāo)分別為：

式中：p0為常吸力s=sc（sc為常數(shù)）下非飽和土的固結(jié)應(yīng)力；ps為因吸力存在引起的黏聚力，由BBM可得：

在各向等壓卸載過程（m=1）中，Y點(diǎn)成為新的記憶中心，加載面f（1）圍繞Y點(diǎn)進(jìn)行演化，邊界面F（1）隨著塑性變形的產(chǎn)生而變化（見圖5）。

邊界面F（1）初始大小和位置與固結(jié)完成后的邊界面F（0）一樣。由加載面和邊界面之間的幾何關(guān)系，加載面f（1）的大小和位置可寫為：

對(duì)于第m次加載，邊界面和加載面在記憶中心T點(diǎn)相切，P為當(dāng)前應(yīng)力點(diǎn)，R為邊界面上的共軛點(diǎn)（見圖6）。

由于邊界面代表著應(yīng)力歷史，只跟塑性體應(yīng)變有關(guān)，參照飽和黏土劍橋模型的硬化法則，在某吸力狀態(tài)下有：

圖5 各向等壓卸載過程中的邊界面和加載面

圖6 第m次加載時(shí)的邊界面和加載面

聯(lián)立固結(jié)完成后m=0的表達(dá)式可推導(dǎo)出邊界面長半軸計(jì)算公式：

由于加載面和邊界面始終在記憶中心相切，根據(jù)二者之間的幾何關(guān)系可推導(dǎo)出其半徑和圓心的坐標(biāo)如下：

2.6 塑性硬化模量已知邊界面的一致性條件為：

據(jù)此，可以推導(dǎo)出邊界面上共軛點(diǎn)處的塑性硬化模量為：

加載面上當(dāng)前應(yīng)力點(diǎn)的塑性硬化模量可由邊界面上共軛點(diǎn)的模量以及二者之間的距離插值求出，本模型采用以下插值函數(shù)[24]：

式中：HR為邊界面上共軛點(diǎn)的塑性模量，可由式（21）聯(lián)立模型的演化規(guī)律進(jìn)行計(jì)算；HM為記憶中心點(diǎn)的塑性模量，與土的性質(zhì)和加載條件有關(guān)；δ、δ0分別為當(dāng)前應(yīng)力點(diǎn)和記憶中心到共軛點(diǎn)的距離，有當(dāng)d=d0時(shí)，當(dāng)前應(yīng)力點(diǎn)位于記憶中心，hm=HM，當(dāng)d=0時(shí)，當(dāng)前應(yīng)力點(diǎn)位于共軛點(diǎn)，hm=HR。參數(shù)γ定義為：

式中：b和γb為常數(shù)，取決于土的初始孔隙比、靜強(qiáng)度和動(dòng)剪應(yīng)力幅值等因素；εQ為整個(gè)加載過程中產(chǎn)生的有效塑性應(yīng)變，

3 模型的靜態(tài)加載試驗(yàn)驗(yàn)證

Estabragh等[16]針對(duì)超固結(jié)非飽和粉土在控制吸力條件下進(jìn)行了系列各向等向壓縮和三軸剪切試驗(yàn)。試驗(yàn)首先將試樣平衡至不同的吸力（0，100，200，300 kPa），分別控制吸力不變將試樣各向等向壓縮至相同的前期固結(jié)壓力550 kPa，然后分別各向等向回彈至不同的應(yīng)力（50，200，400 kPa），以獲得不同的超固結(jié)比OCR，最后再進(jìn)行吸力不變的常規(guī)三軸剪切試驗(yàn)。試驗(yàn)的基本條件見表1。本文通過控制吸力各向等向壓縮試驗(yàn)、控制吸力和凈應(yīng)力的剪切試驗(yàn)來擬合參數(shù)，標(biāo)定過程如下：根據(jù)文獻(xiàn)[16]中各向同性壓縮試驗(yàn)的結(jié)果，可得λ（0）=0.078，λ（200）=0.071和λ（300）=0.055，帶入λ（s）=λ（0）[r+（1-r）exp（-βs）]可求出β=0.001 kPa-1，r=0.06；根據(jù)文獻(xiàn)[16]中飽和狀態(tài)臨界狀態(tài)線可求出M=1.26；因M不隨吸力的變化而改變，可通過q/（p+ks）=M求出k=0.2；根據(jù)飽和狀態(tài)的壓縮和回彈曲線可求出p 0=50 kPa，κ=0.01；初始孔隙比取平均值0.705；泊松比為0；參考應(yīng)力pc取10 kPa。本文模型通過FORTRAN語言編程，在VS（Visual Studio）2012+IVF（Intel Visual FORTRAN）2013環(huán)境下編譯。模型采用的參數(shù)取值如下：M=1.26，k=0.2，λ（0）=0.078，e0=0.705，ν=0，κ=0.01，β=0.001 kPa-1，r=0.06，p 0=50 kPa，pc=10 kPa。模型預(yù)測與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比如圖7。

表1 常規(guī)三軸試驗(yàn)

圖7 預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比圖

從圖7可以看出模型預(yù)測結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合較好。OCR值較小的非飽和土（輕超固結(jié)土）試樣在剪切過程中應(yīng)力-應(yīng)變曲線沒有明顯的峰值點(diǎn)，一直處于硬化狀態(tài)，體積也不斷的減?。▓D7（a）（b））；具有較高OCR值的非飽和土（重超固結(jié)土）試樣的應(yīng)力-應(yīng)變曲線有明顯的峰值強(qiáng)度，到達(dá)峰值強(qiáng)度后出現(xiàn)了軟化行為，體積隨著加載首先收縮，隨后又發(fā)生剪脹（圖7（c）（d））；這說明本文模型能夠合理反映靜態(tài)加載條件下超固結(jié)非飽和黏性土的應(yīng)變軟化和剪脹等主要力學(xué)特性。

相同吸力條件下，OCR值越高，考慮圍壓后的應(yīng)力比-應(yīng)變峰值強(qiáng)度越高，應(yīng)變軟化越明顯，說明重超固結(jié)土相對(duì)于輕超固結(jié)土和正常超固結(jié)土具有較高的強(qiáng)度；OCR值一定時(shí)，吸力越大，試樣的峰值強(qiáng)度越高，應(yīng)變軟化越明顯，說明吸力增加也可以提高超固結(jié)非飽和土的強(qiáng)度。

4 模型的動(dòng)態(tài)加載試驗(yàn)預(yù)測

由于目前非飽和土吸力測試的技術(shù)達(dá)不到動(dòng)力試驗(yàn)的要求，加之非飽和土本身物理力學(xué)性質(zhì)的復(fù)雜性，有關(guān)超固結(jié)非飽和土在循環(huán)荷載作用下動(dòng)態(tài)力學(xué)特性的試驗(yàn)研究少見報(bào)道。為了探索吸力和超固結(jié)比OCR對(duì)超固結(jié)非飽和土動(dòng)態(tài)力學(xué)特性的影響，采用本文模型對(duì)超固結(jié)非飽和黏土在常吸力循環(huán)荷載下的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性進(jìn)行預(yù)測，以了解超固結(jié)非飽和土的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性。預(yù)測采用上節(jié)靜態(tài)加載試驗(yàn)的材料及非飽和狀態(tài)相關(guān)參數(shù)，循環(huán)加載相關(guān)的參數(shù)中，b表征土體的初始剛度，并與其成正比；γb表征土體的極限強(qiáng)度，并與其成反比。b和γb可通過土體的循環(huán)三軸試驗(yàn)結(jié)果求出，它們與土體的初始狀態(tài)、靜強(qiáng)度和加載條件等因素有關(guān)。本文取b=13.4，γb =12.7，動(dòng)應(yīng)力幅值為250 kPa。受限于篇幅，僅采取吸力s=100 kPa和s=300 kPa，OCR=1.38和OCR=11共4種工況進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如圖8—9所示。

從圖8和圖9可以看出，循環(huán)荷載下超固結(jié)非飽和土的應(yīng)力-應(yīng)變曲線出現(xiàn)了滯回現(xiàn)象，較好地反映了土的循環(huán)塑性特性，表明本文提出的模型是可行的。在超固結(jié)比OCR一定時(shí)，吸力越大，土體達(dá)到穩(wěn)定時(shí)累積應(yīng)變?cè)叫。f明吸力提高了土體的強(qiáng)度。而吸力一定時(shí)，超固結(jié)比OCR越大，土體達(dá)到穩(wěn)定時(shí)累積應(yīng)變?cè)叫。f明超固結(jié)作用也可以提高土體強(qiáng)度。因此，非飽和土路基在經(jīng)過超載預(yù)壓地基處理工藝變成超固結(jié)狀態(tài)后，路基土強(qiáng)度提高，沉降減少。

圖8 循環(huán)三軸試驗(yàn)?zāi)Ｐ皖A(yù)測結(jié)果（s=100kPa）

圖9 循環(huán)三軸試驗(yàn)?zāi)Ｐ皖A(yù)測結(jié)果（s=300kPa）

隨著循環(huán)加載的進(jìn)行，滯回圈的面積越來越小，加載過程和卸載過程的曲線趨于重合，最終處在一個(gè)循環(huán)穩(wěn)定狀態(tài)，說明在循環(huán)荷載的持續(xù)作用下，土體的變形逐漸以彈性變形為主，塑性特征越來越不明顯。

5 結(jié)論

（1）將一個(gè)連續(xù)的循環(huán)加卸載過程分解為獨(dú)立的加載事件，只用兩個(gè)面的演化來描述一個(gè)加載事件，提高了彈塑性雙面模型模擬非飽和土動(dòng)態(tài)力學(xué)特性的能力。

（2）通過與控制吸力常規(guī)三軸靜態(tài)試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比以及對(duì)動(dòng)態(tài)特性的預(yù)測分析，表明本文模型可以合理描述超固結(jié)非飽和土的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)力學(xué)特性。

（3）超固結(jié)比OCR和吸力均能在一定范圍內(nèi)提高超固結(jié)非飽和土的強(qiáng)度，從而減小超固結(jié)非飽和土路基的沉降。

（4）所建模型僅考慮了應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，具有一定的局限性，后續(xù)需要對(duì)受荷過程中水力特性及水力-力學(xué)耦合關(guān)系進(jìn)行深入研究。

（5）模型的推導(dǎo)過程還需要優(yōu)化，對(duì)參數(shù)進(jìn)行敏感性分析，忽略影響不大的參數(shù)，并嘗試降低影響較大參數(shù)的確定難度。

（6）通過直接推導(dǎo)法或變換應(yīng)力法，可將本文模型推廣到三維形式來解決巖土工程中的邊值問題，提高模型的實(shí)用性。