高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型解題技巧分析

祝永華

[摘要]高中數(shù)學(xué)不等式知識(shí)的應(yīng)用較為廣泛，不管是在選擇題中，還是在填空題和計(jì)算題中都常出現(xiàn)不等式的題型.如果學(xué)生不能清楚地了解不等式的相關(guān)知識(shí)，不能完全掌握解題的技巧，就不可能更好地解題.文章針對(duì)不等式的幾種易錯(cuò)題型進(jìn)行探討，并總結(jié)幾點(diǎn)解題的技巧.

[關(guān)鍵詞]高中數(shù)學(xué);不等式;解題技巧

[中圖分類號(hào)]G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A

[文章編號(hào)] 1674-6058（ 2020）35-0029-02

不等式是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，其題型極具多變性，很多學(xué)生都會(huì)出現(xiàn)誤解的情況，無法解出正確的答案，這就需要教師引導(dǎo)學(xué)生掌握不等式易錯(cuò)題型的解題技巧，讓學(xué)生的解題能力得到不斷提高，

一、與線性規(guī)劃相關(guān)的易錯(cuò)題型及解題技巧

不等式和線性規(guī)劃相結(jié)合問題是不等式中比較常見的一種題型，其主要是對(duì)目標(biāo)的最大值和最小值進(jìn)行求解，在解答此種題型時(shí)，需要對(duì)面積進(jìn)行求解以及定義域的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行掌握，需要了解不等式的性質(zhì)和線性規(guī)劃兩者之間存在的聯(lián)系.

[例1]a>0，參數(shù)x，y，會(huì)滿足下列三個(gè)條件，x+y≤3;x≥1;y≥a（x -3），如果z=2x+y的最小值是1，那么a的值是多少？

題目分析：這個(gè)題目是較為典型的一類不等式和線性規(guī)劃相結(jié)合的題目，與普通的線性規(guī)劃問題不同的是，此題優(yōu)先給出了最值，然后根據(jù)最值來對(duì)某條直線的參數(shù)進(jìn)行推理，這需要學(xué)生在實(shí)際解題的過程中，學(xué)會(huì)變換思維，進(jìn)行逆向推理，在解題的過程中，可以繪制出如圖1所示的坐標(biāo)軸示意區(qū)，

解：當(dāng)所求的目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過A區(qū)域時(shí)，A點(diǎn)的坐標(biāo)值為（1，-2a），那么將函數(shù)的目標(biāo)值代入其中可知a=12.

總結(jié)：在解題時(shí)，要密切注意函數(shù)的最值問題，要明確其中所存在的不等式關(guān)系，并將相對(duì)應(yīng)的可行范圍畫出來，上述題目中給出的參數(shù)a的取值范圍是a>0，據(jù)此條件我們可以看出y=a（x -3）必然會(huì)經(jīng)過第一象限和第三象限，這樣我們就確定了三角形的可行域，再對(duì)可行域進(jìn)行選擇時(shí)也就不會(huì)出現(xiàn)方向錯(cuò)誤的情況了，此種類型的題目中，一般會(huì)將目標(biāo)參數(shù)設(shè)置成未知，以此促使題目的動(dòng)態(tài)性和開放性得到增強(qiáng)，與一般的最值求解的區(qū)別在于，需要從結(jié)論人手對(duì)動(dòng)態(tài)的圖形進(jìn)行分析，這也就要求解題者在解題的過程中找到關(guān)鍵點(diǎn)，再加上在目標(biāo)函數(shù)的可行域中，我們已經(jīng)知曉了求解的基本方向，進(jìn)而達(dá)到了解題的目的，

二、與參數(shù)問題相關(guān)的易錯(cuò)題型及解題技巧

在所有的不等式類型題目中，與參數(shù)問題有關(guān)的不等式題目是難度較大的，在解題時(shí)要對(duì)題目中的未知參數(shù)進(jìn)行考慮，在講解這類題目時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)未知的參數(shù)進(jìn)行討論，避免解題時(shí)出現(xiàn)疏漏.

[例2]求解不等式（x- 1）（x -a）<0.

題目分析：這是一個(gè)含有未知參數(shù)的不等式方程，解決這種題目重點(diǎn)是對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行討論，也就是對(duì)a進(jìn)行分類討論，如果不能全面地進(jìn)行分析，會(huì)使學(xué)生在解題中出現(xiàn)疏漏，導(dǎo)致解題的結(jié)果出現(xiàn)偏差，

解：當(dāng)a>1時(shí)，x的范圍是1

[例3]求解不等式ax2-2x+1<0，已知a是參數(shù)，a∈R.

題目分析：此題與例2是相同的，也需要對(duì)未知參數(shù)a進(jìn)行求解，首先需要做的就是要對(duì)a進(jìn)行分類討論，以確保解題的準(zhǔn)確性和全面性，分析的過程與上題相同，也需要從a=0、a<0，a>0三個(gè)層面來進(jìn)行分析，同時(shí)，當(dāng)a>0時(shí)，需要對(duì)△的值進(jìn)行區(qū)分，然后分別進(jìn)行求解，

總結(jié)：當(dāng)不等式中含有未知的參數(shù)時(shí)，最關(guān)鍵的步驟就是對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行分類討論，這樣才能使解題更加準(zhǔn)確和全面，

三、與高次問題相關(guān)的易錯(cuò)題型及解題技巧

與高次問題相關(guān)的不等式問題是高中數(shù)學(xué)需要重點(diǎn)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，在解題的過程中最容易出錯(cuò)的地方就是區(qū)域劃分容易混亂，不能準(zhǔn)確地對(duì)特殊的區(qū)域或者是特殊的點(diǎn)進(jìn)行判斷，在遇到與高次問題相關(guān)的不等式題型時(shí)，可通過因式分解的方式解決，這樣不僅可將復(fù)雜的問題進(jìn)行簡化，還可促使問題更加清晰明了，容易找到解題突破口，進(jìn)而掌握解題的技巧，快速解決問題，

[例4]求解不等式（x- 1）（x - 2）（x -3）>0.

題目分析：這個(gè)不等式的結(jié)構(gòu)是三次的，要比常見的二次結(jié)構(gòu)要高，所以很多學(xué)生在解題時(shí)還是會(huì)利用公式進(jìn)行求解，這樣顯然是難以達(dá)到解題目的的，必須要找到一種方便、簡潔、高效的解決方式，

解：根據(jù)上述三次不等式方程，可畫出圖像（如圖2），具體步驟：首先畫出一個(gè)坐標(biāo)軸，在坐標(biāo)軸上標(biāo)記出三個(gè)零點(diǎn)，即1、2、3，然后將坐標(biāo)軸劃分成4個(gè)區(qū)間;其次將靠近右邊的區(qū)間看作是正，其他的看作是正負(fù)相間，在區(qū)間標(biāo)明正負(fù)號(hào);最后不等式大于0用“+”來表示，不等式小于0用“一”來表示，這樣就可以更加形象地對(duì)不等式的區(qū)域進(jìn)行觀察，學(xué)生可明顯地看到13，這就是題目最終的結(jié)果，

總結(jié)：這種解題方法我們稱之為“穿根法”，采用此法需要在解題時(shí)畫出坐標(biāo)軸，然后在坐標(biāo)軸上進(jìn)行不等式情況的繪制，根據(jù)所畫數(shù)軸的情況和穿線的順序來對(duì)不等式的大小情況進(jìn)行判斷，此種解題方法更加直觀和簡單，降低了知識(shí)的難度，

四、與恒成立問題相關(guān)的易錯(cuò)題型及解題技巧

恒成立問題是數(shù)學(xué)常出現(xiàn)的一類題型，不僅與不等式有關(guān)系，還與其他的數(shù)據(jù)知識(shí)有著密切的聯(lián)系，實(shí)際上，在對(duì)歷屆高考題目分析的過程中，我們通過總結(jié)恒成立的相關(guān)知識(shí)可知，不等式中的恒成立問題，是將抽象的函數(shù)知識(shí)以及數(shù)列知識(shí)進(jìn)行結(jié)合所命制的題目，這種類型的題目有較強(qiáng)的邏輯性，解答這種類型的題目也較難，由于這種題型具有抽象性，如果學(xué)生的邏輯思維較差，就容易在求解的過程中出錯(cuò)，為了更準(zhǔn)確、更快速地解答出與恒成立問題相關(guān)的不等式題目，需要對(duì)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、單調(diào)性等多種類型的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考慮，這樣才能更好地解題.

[例5]假設(shè)函數(shù)f（x）= In（1+x），g（x）=xf'（x），x≥0，其中f'（x）是廠（x）的導(dǎo)函數(shù).

1.當(dāng)g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n是正數(shù)時(shí)，求出g（nx）的表達(dá)式.

2.當(dāng)f（x）≥ag（x）是恒成立的，那么a的取值范圍是多少？

3.假設(shè)n是正數(shù)時(shí)，試著比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n-f（n）的大小，并進(jìn)行證明，

題目分析：該題是一道典型的復(fù)合型數(shù)學(xué)題，主要結(jié)合函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式來求解閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求解函數(shù)的單調(diào)性情況，具有很強(qiáng)的綜合性，解題的關(guān)鍵在于進(jìn)行適當(dāng)變形或者采用分離變量、構(gòu)造函數(shù)、變換主元等方式，借助基本不等式或者函數(shù)單調(diào)性等性質(zhì)來達(dá)到求解的目的，而其中的最值問題主要是將其轉(zhuǎn)化成基本不等式后進(jìn)行求解;在轉(zhuǎn)化不等式的過程中，要注意合理確定不等號(hào)的方向，避免因不等號(hào)方向不正確而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤，具體可記憶為“一正，二定，三相等”，

本文簡單分析了四種不等式易錯(cuò)題型的解題方法技巧，總體來說在解答不等式題型的過程中，主要的方法技巧有以下幾種：換元法、反證法、性質(zhì)法和數(shù)形結(jié)合法，換元法是指利用某一個(gè)變量，將數(shù)學(xué)問題中的某個(gè)式子進(jìn)行整體的替換，這樣可有效地對(duì)題目進(jìn)行簡化，讓學(xué)生更順利地進(jìn)行解答，反證法是在不等式不能正常推理的情況下常使用的一種方法，是通過反向推理的方式來對(duì)問題進(jìn)行分析，以達(dá)到解題的目的，這種方法不僅可以解決不等式問題，還可以解決很多幾何問題，性質(zhì)法是指從不等式的基本性質(zhì)出發(fā)，對(duì)題目進(jìn)行分析，求出不等式的解，數(shù)形結(jié)合法是指利用坐標(biāo)軸等圖形將不等式題目中的信息表示出來，這樣可使題目更加直觀，學(xué)生也可以更直接地了解到題目信息，然后快速解題，在選用具體的不等式解題方法時(shí)，必須要結(jié)合題于信息和具體情況來合理選擇，確保所選解題方法可以滿足實(shí)際的解題需求，從而幫助我們更好地解決問題，避免在求解過程中出錯(cuò)，

總而言之，不等式題型具有一定的復(fù)雜性，出錯(cuò)率較高，因此，解題時(shí)學(xué)生必須要掌握各種類型不等式問題的解題技巧，找到題目中易錯(cuò)的點(diǎn)，然后應(yīng)用合適的方法來解決問題，學(xué)生還需具有舉一反三的思維，不斷提高自身的解題經(jīng)驗(yàn)，讓自身的解題能力得到提高.

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（責(zé)任編輯陳 昕）