利用向量法證明線面平行或垂直

廖樞華

[摘要]證明線面平行或垂直是高考數(shù)學(xué)的?？碱}型，向量法是證明線面平行或垂直的常見方法.在利用直線的方向向量證明線面平行或垂直時，容易出現(xiàn)易漏點造成答題不嚴(yán)謹(jǐn)而失分.而對于計算能力不強的學(xué)生，法向量的求解也是易錯點.為此，可采用避免求法向量的向量法進(jìn)行證明.

[關(guān)鍵詞]向量法;線面平行;線面垂直

[中圖分類號]G633.6

[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A

[文章編號] 1674-6058（ 2020） 35-0026-02

在空間幾何體中利用向量法證明線面平行或垂直是高中數(shù)學(xué)中非常常見的問題.在證明線面平行或垂直的過程中，大多數(shù)學(xué)生會利用直線的方向向量與平面的法向量之間的關(guān)系進(jìn)行判定.利用這種方法容易出現(xiàn)疏漏和法向量求解錯誤的問題.下面，筆者通過舉例說明其易漏點，同時講解更優(yōu)質(zhì)的解法.

一、易漏點

在證明線面平行時，學(xué)生都可以計算出直線的方向向量與平面的法向量垂直，然后直接得出線面平行的結(jié)論.這種寫法漏掉了兩個步驟.

[例1]已知正方體ABCD -A，B，C，D，的棱長為2，F(xiàn)是DD，的中點，求證FC1∥平面ADE.

二、避免求解法向量的向量法

在采用向量法證明線面平行或垂直時，很多學(xué)生因為平面的法向量求解錯誤而導(dǎo)致證明失敗，特別是遇上動點問題時，平面的法向量求解成為眾多學(xué)生的難題.因此，在這兩種證明的過程中若能避免求平面的法向量，那求證過程就會變得簡單.證明線面平行可以采用平面向量基本定理，證明線面垂直可以根據(jù)線面垂直的定義直接證明線線垂直而得.

1.使用平面向量基本定理證明線面平行

例1中通過求平面ADE的—個法向量為n=（0，一1，2），證明FC1⊥n，即可證明FC1∥平面ADE.若是使用平面向量基本定理證明線面平行，只需要在乎面ADE中任意選擇兩個向量，使得直線FC1構(gòu)成的向量能用這兩個向量的線性關(guān)系唯一表示，

使用平面向量基本定理證明線面平行可以避免求平面的法向量，特別是含參數(shù)的平面法向量特別難求時.

2.向量法中使用線面垂直的定義證明線面垂直

向量法中，只需要證明直線的方向向量與平面的法向量共線，就可以證明線面垂直，事實上，若是需要證明線面垂直，說明直線一定垂直于平面.我們只需要證明直線的方向向量分別垂直平面內(nèi)兩條不相交的直線的方向向量即可.

[例3]如圖3，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA上底面ABCD，且PA= AD=2，H，F(xiàn)分別是線段AB，PD的中點.證明：PD⊥平面AHF.

向量法中，用線面垂直的定義證明線面垂直可以避免平面法向量的求解，其計算步驟簡單易算，在證明直線的方向向量與平面的法向量共線的方法中，求解平面的法向量是多余的，因為要證的直線的方向向量實際上已經(jīng)是平面的法向量了，

以上是筆者在平時教學(xué)和批改作業(yè)中遇到的學(xué)生解題問題及處理方法，在此作為教學(xué)筆記一起共勉.

（責(zé)任編輯陳 昕）