二維磁場中的隨機Bénard問題解的適定性*

謝 婷

(南京財經(jīng)大學應用數(shù)學學院，江蘇 南京 210046)

1 問題的提出

考察二維磁場中的Bénard問題[1]：

?tu+(u·)u+π-Δu=(b·)b+θe2,

?tb+(u·)b-Δb=(b·)u,

?tθ+(u·)θ-Δθ=ue2,divu=divb=0,

(u,b,θ)(x,0)=(u0,b0,θ0)(x)x∈R2.

其中：u為流體速度場；b為磁場；θ為溫度；π為修正后的壓力；e2=(0,1)T.有學者[2-6]研究了磁場中的Bénard問題的全局正則性和非線性穩(wěn)定性的充要條件，磁場中帶有混合偏粘度、局部耗散的二維Bénard問題的適定性、正則性，以及有界域上的一致全局解.

考慮隨機乘法噪聲的影響：

(1)

(2)

(3)

divu=divb=0,

(4)

(u,b,θ)(x,0)=(u0,b0,θ0)(x)x∈R2.

(5)

筆者將討論二維磁場中的隨機Bénard問題弱解的存在唯一性，并在此基礎上研究二維磁場中的隨機Bénard問題解的正則性.

2 預備知識

令

它是完備的、可測的函數(shù)，其中

u∈{u|u∈L2,·u=0}，b∈{b|b∈L2,·b=0}.

定義1[7]定義Λ=(-Δ)1/2，其中

‖Λh(fg)-fΛhg‖Lp≤M(‖f‖Lp1‖Λh-1g‖Lq1+‖Λhf‖Lp2‖g‖Lq2).

則當X∈L∞([0,T]×Ω)時，對于?t∈[0,T]，有

假設

(6)

(7)

(8)

3 主要結果及其證明

(u,b,θ)∈L2(Ω,C(0,T);L2)∩L2(Ω,L2(0,T);H1).

(9)

則

(10)

由Burkholder-Davis-Gundy不等式可得

(11)

由(6)，(10)，(11)式可得

(12)

則

(13)

由Burkholder-Davis-Gundy不等式可得

(14)

由(7)，(13)，(14)式可得

(15)

則

(16)

由Burkholder-Davis-Gundy不等式可得

(17)

由(8)，(16)，(17)式可得

(18)

由(12)，(15)，(18)可得

于是

‖(un,bn,θn)‖L2(Ω,C(0,T);L2)+‖(un,bn,θn)‖L2(Ω,L2(0,T);H1)≤M.

(19)

則

(20)

由Burkholder-Davis-Gundy不等式可得

(21)

由(6)，(20)，(21)式可得

(22)

則

(23)

由Burkholder-Davis-Gundy不等式可得

(24)

由(7)，(23)，(24)式可得

(25)

則

(26)

由Burkholder-Davis-Gundy不等式可得

(27)

由(8)，(26)，(27)式可得

(28)

由(22)，(25)，(28)式可得

即

再由(19)式可得

(29)

(ⅱ)單調性.

引理2[9]若(1)～(5)式中所有非線性項相加之和B(w)滿足

則單調性成立.

對于?u1,u2,b1,b2,θ1,θ2且u1≠u2,b1≠b2,θ1≠θ2，有

(uλ,bλ,θλ)∈L2(Ω,C(0,T);L2)∩L2(Ω,L2(0,T);H1)λ=1,2.

(a)

〈(u1·)u1-(u2·)u2,u1-u2〉=-〈(u1·)u1,u2〉-〈(u2·)u2,u1〉=

-〈((u1-u2)·)(u1-u2),u2〉,

則

|〈(u1·)u1-(u2·)u2,u1-u2〉|=|〈((u1-u2)·)(u1-u2),u2〉|≤|u1-u2|L4·

(30)

(b)

〈(u1·)b1-(u2·)b2,b1-b2〉=-〈(u1·)b1,b2〉-〈(u2·)b2,b1〉=

-〈((u1-u2)·)(b1-b2),b2〉,

則

|〈(u1·)b1-(u2·)b2,b1-b2〉|=|〈((u1-u2)·)(b1-b2),b2〉|≤|u1-u2|L4·

(31)

(c)

〈(u1·)θ1-(u2·)θ2,θ1-θ2〉=-〈(u1·)θ1,θ2〉-〈(u2·)θ2,θ1〉=

-〈((u1-u2)·)(θ1-θ2),θ2〉,

則

|〈(u1·)θ1-(u2·)θ2,θ1-θ2〉|=|〈((u1-u2)·)(θ1-θ2),θ2〉|≤|u1-u2|L4·

(32)

(d)

〈(b1·)b1-(b2·)b2,u1-u2〉+〈(b1·)u1-(b2·)u2,b1-b2〉=〈(b2·)u1,b2〉-

〈(b1·)u1,b2〉+〈(b1·)u2,b1〉-〈(b2·)u2,b1〉=〈((b2-b1)·)u1,b2〉+

〈((b1-b2)·)u2,b1〉≤|b2-b1|L4‖u1‖|b2|L4+|b1-b2|L4‖u2‖|b1|L4≤

(33)

再由(19),(29)式和引理2可知單調性成立.

綜上可知，(1)～(5)式有唯一弱解(u,b,θ)滿足(9)式.

(34)

(35)

(36)

由(6)，(7)，(8)，(34)，(35)，(36)式和文獻[10]可得

則

(37)

令

則由(37)式可得

即

E(I(t))≤βE(X(t))+γE(Y(t)).

2(1+M1eM1)E(Z)<+∞，

于是

‖(u,b,θ)‖L2(Ω,C(0,T);H1)+‖(u,b,θ)‖L2(Ω,L2(0,T);H2)≤M.

(38)

下面估計‖Λh(fg)-fΛhg‖Lp≤M(‖f‖Lp1‖Λh-1g‖Lq1+‖Λhf‖Lp2‖g‖Lq2)，其中

(39)

(40)

由(6)，(7)，(39)，(40)式和文獻[10]可得

則

(41)

令

則由(41)式可得

即

E(I(t))≤βE(X(t))+γE(Y(t)).

于是

‖(u,b)‖L2(Ω,C(0.T);H3)+‖(u,b)‖L2(Ω,L2(0,T);H4)≤M.

4 結語

筆者證明了二維磁場中的隨機Bénard問題存在唯一弱解，并對二維磁場中的隨機Bénard問題解的正則性進行了探討.這對進一步研究隨機的Bénard問題的穩(wěn)定性、遍歷性和偏差準則具有重要意義.