關(guān)于非奇異H-矩陣判定的一組新的充分條件*

蔣雯雯，庹 清

(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 吉首 416000)

非奇異H-矩陣是很重要的矩陣類,它在數(shù)學(xué)、物理和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域的地位十分重要.在實(shí)際應(yīng)用中,一個(gè)線性方程組的系數(shù)矩陣若是非奇異H-矩陣,則該方程組對Jacobi,Gauss-seidel,SOR等經(jīng)典算法是收斂的,且該方程組有穩(wěn)定解.所以,當(dāng)判定大型線性方程組是否具有穩(wěn)定解時(shí),通常需要先判定其系數(shù)矩陣是否為非奇異H-矩陣.非奇異H-矩陣判定問題一直是數(shù)值計(jì)算研究中的熱點(diǎn).近年來,有學(xué)者給出了一些實(shí)用的判定條件[1-9].筆者將通過構(gòu)造新的正對角矩陣,得到一組新的關(guān)于非奇異H-矩陣判定的充分條件.

1 基礎(chǔ)知識

定義2[6]設(shè)A∈Mn(C)為不可約矩陣,若|aii|≥Λi(A)(?i∈N),且其中至少有1個(gè)嚴(yán)格不等式成立,則A為不可約對角占優(yōu)矩陣.

定義3[6]設(shè)A∈Mn(C),若|aii|≥Λi(A)(?i∈N),且其中至少有1個(gè)嚴(yán)格不等式成立,又對每個(gè)等式成立的下標(biāo)i,都存在非零元素鏈aij1aj1j2…ajk-1jk≠0,使得|ajkjk|>Λjk(A),則稱A為具有非零元素鏈對角占優(yōu)矩陣.

記

N1={i∈N|0<|aii|=Λi(A)},N2={i∈N|0<|aii|<Λi(A)},

N3={i∈N||aii|>Λi(A)},N=N1⊕N2⊕N3.

引理4[2]設(shè)A∈Mn(C),若對于?i∈N2,有

引理5[1]設(shè)A∈Mn(C),若對于?i∈N2,有

引理5是引理4的改進(jìn).

2 主要結(jié)果及其證明

記

定理1設(shè)A∈Mn(C),若

(1)

且對于?i∈N1,存在t∈N3,使得ait≠0,則A是非奇異H-矩陣.

從而r1|aii|≥Pi,r(A)(?i∈N3).因?yàn)?

由h的定義式變形可得

(2)

對于?i∈N2,根據(jù)(1)式,可令

(3)

構(gòu)造正對角矩陣D=diag(d1,d2,…,dn),記B=AD=(bij),其中

(2)對于?i∈N2,由(3)式有

(3)對于?i∈N3,由(2)式有

綜上所述,|bii|-Λi(B)>0(?i∈N),所以B是嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣,從而A是非奇異H-矩陣.

注2因?yàn)?/p>

定理2設(shè)A∈Mn(C),且A不可約，若

(4)

且其中至少有1個(gè)嚴(yán)格不等式成立，則A是非奇異H-矩陣.

證明因?yàn)锳是不可約矩陣，所以對于?i∈k?N,j∈k/N，|aij|不全為0.構(gòu)造正對角矩陣D=diag(d1,d2,…,dn),記B=AD=(bij),其中

(2)對于?i∈N2,由(4)式有

(3)對于?i∈N3,由(2)式有

綜上所述,|bii|≥Λi(B)(?i∈N).由于(4)式中至少有1個(gè)嚴(yán)格不等式成立,即至少存在1個(gè)i0,使得|bi0i0|>Λi0(B)(?i0∈N).因?yàn)锽=AD，A是不可約的，所以B是不可約的.由定義3可知，B是不可約對角占優(yōu)矩陣.又由引理1可知，A是非奇異H-矩陣.

同理,在滿足非零元素鏈的情形下，有以下定理：

定理3設(shè)A∈Mn(C),若

且對于?i∈N-K,存在非零元素鏈aii1ai1i2…aisi*,其中i≠i1,i1≠i2,…is≠i*,i*∈K,則A是非奇異H-矩陣.

3 數(shù)值實(shí)例

例1設(shè)

易知N1={1},N2={2},N3={3,4},通過計(jì)算可得

根據(jù)定理1,有

由此可知矩陣A滿足定理1的條件,從而A是非奇異H-矩陣.

這不滿足引理5的條件,即不滿足引理4的相關(guān)條件.

例2設(shè)

易知N1={1,2},N2={3},N3={4,5},通過計(jì)算可得

根據(jù)定理1,有

由此可知矩陣A滿足定理1的條件,從而A是非奇異H-矩陣.