基于概率跳躍粒子群算法的鋼桁拱橋結(jié)構(gòu)線形優(yōu)化

康俊濤， 劉開(kāi)， 張亞州

(武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院， 湖北 武漢 430070)

鋼桁拱橋拱肋的線形是拱橋概念設(shè)計(jì)的重要參數(shù)，它直接影響了整個(gè)橋梁的受力性能、應(yīng)力分布、整橋重量。目前確定拱軸線形的方法多是通過(guò)荷載產(chǎn)生的壓力線來(lái)確定，即設(shè)計(jì)線形，使得拱上只承受壓力，不承受彎矩，由于實(shí)際結(jié)構(gòu)承受的荷載復(fù)雜，理想的拱軸線是無(wú)法得到的，因此，現(xiàn)在常用的方法多為“五點(diǎn)重合法”，即拱肋上幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的壓力線與拱軸線相重合。首先只采用5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)對(duì)結(jié)構(gòu)線形控制不能保證選擇的線形為最優(yōu)方案，即使增加關(guān)鍵點(diǎn)數(shù)，采用“多點(diǎn)重合法”，也無(wú)法解決有限點(diǎn)數(shù)帶來(lái)的誤差，且增加了計(jì)算的復(fù)雜度，使得問(wèn)題更加難以采用理論解法給出最優(yōu)方案；其次，現(xiàn)有拱肋線形的確定具有一定的經(jīng)驗(yàn)成分，如拋物線次數(shù)、圓曲線半徑等控制因素多為離散經(jīng)驗(yàn)值，無(wú)法對(duì)所有解空間進(jìn)行全部的探索，從而導(dǎo)致可能遺漏最優(yōu)方案現(xiàn)象的發(fā)生。

近年來(lái)，越來(lái)越多的學(xué)者將智能優(yōu)化算法應(yīng)用于土木工程領(lǐng)域，如結(jié)構(gòu)優(yōu)化(索力值、拱軸線形等)、結(jié)構(gòu)損傷識(shí)別等。相比于傳統(tǒng)算法，智能算法具有計(jì)算速度快，且對(duì)經(jīng)驗(yàn)知識(shí)要求少的特點(diǎn)。李劍橋采用粒子群算法對(duì)大跨徑上承式鋼管混凝土拱橋拱軸線進(jìn)行了優(yōu)化，在結(jié)構(gòu)安全性、經(jīng)濟(jì)性方面均取得了良好的成果；王超采用粒子群算法解決了橋墩設(shè)計(jì)中的抗震問(wèn)題，很大程度上提高了優(yōu)化后橋梁的抗震能力；崔鳳坤將BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和粒子群算法相結(jié)合，然后應(yīng)用于拱橋的安全度分析中，提高了安全度計(jì)算的精度。由此可見(jiàn)，將智能算法合適地應(yīng)用于土木工程領(lǐng)域可以獲得良好的結(jié)果，然而目前在土木工程中應(yīng)用的智能算法多為標(biāo)準(zhǔn)算法，即未對(duì)算法本身進(jìn)行過(guò)多干預(yù)和改進(jìn)，而智能算法具有一個(gè)弊病——易于陷入局部最優(yōu)，導(dǎo)致無(wú)法找到最優(yōu)解決方案。因此，該文通過(guò)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的進(jìn)化公式進(jìn)行分析，提出粒子跳出局部最優(yōu)的解決方案，然后將其應(yīng)用于鋼桁拱橋的拱肋線形優(yōu)化上，同時(shí)采用標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法作為對(duì)比，以驗(yàn)證所提算法的尋優(yōu)精度和效率。

1 優(yōu)化模型

1.1 優(yōu)化變量

在某鋼桁架拱橋結(jié)構(gòu)中，拱肋結(jié)構(gòu)幾何對(duì)稱，取半拱結(jié)構(gòu)分析，如圖1所示。

下弦桿為二次拋物線形式，拱肋上弦桿為兩段圓曲線與一段二次拋物線組合的形式。在確定橋梁跨徑布置以及橋梁起點(diǎn)的情況下，圖中的坐標(biāo)參數(shù)x1、y1、y2、x3、y3、x4為已知參數(shù)，利用曲線之間相切的關(guān)系，可以得出y0與其他未知參數(shù)之間的關(guān)系，因此為確定拱肋線形，需要擬定一下參數(shù)：① 拱腳高度H1；② 拱頂高度H2；③ 邊跨圓曲線半徑R1；④ 中跨圓曲線半徑R2；⑤ 中跨圓曲線和二次拋物線交點(diǎn)順橋向坐標(biāo)x0；⑥ 拱肋下弦桿跨中頂點(diǎn)豎向坐標(biāo)y4，利用以上參數(shù)可以確定出拱肋各曲線方程為：

拱肋下弦桿：

(1)

上弦桿拋物線：

(2)

由于上弦桿兩個(gè)圓曲線上面均知道兩個(gè)已知點(diǎn)和半徑，所以圓方程為確定方程。拱頂拱腳高度主要取決于成橋運(yùn)營(yíng)階段產(chǎn)生的內(nèi)力，這些參數(shù)數(shù)值取得過(guò)高或者過(guò)低，會(huì)使鋼桁架拱肋腹桿長(zhǎng)度加大，不利于壓桿穩(wěn)定，同時(shí)會(huì)加大橋梁的建設(shè)成本，對(duì)橋梁的安全運(yùn)營(yíng)產(chǎn)生不利影響；邊中跨圓曲線半徑以及交點(diǎn)坐標(biāo)取決于橋梁跨徑布置，會(huì)對(duì)橋梁整體受力以及美觀性產(chǎn)生較大影響。綜合考慮，給出各參數(shù)的取值范圍如表1所示。

1.2 目標(biāo)函數(shù)

鋼桁架拱橋的拱肋線形優(yōu)化就是在給定范圍的各個(gè)參數(shù)中，選出最合適的一組參數(shù)，使得優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到最理想取值。對(duì)鋼桁架拱橋拱肋結(jié)構(gòu)線形優(yōu)化，由于拱肋桿件主要承受壓力以及彎矩，因此選取全橋梁?jiǎn)卧膹澢鷳?yīng)變能和拉壓應(yīng)變能作為該橋的優(yōu)化目標(biāo)，目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式如下：

U=

(3)

由于結(jié)構(gòu)為離散單元，且全橋用鋼的彈性模量相同，因此式(3)可簡(jiǎn)化為:

(4)

式中：MLi、MRi、NLi、NRi分別為第i個(gè)單元左右端彎矩和軸力；li、Ii、Ai分別為第i個(gè)單元的長(zhǎng)度、慣性矩和截面積。為了便于計(jì)算同時(shí)消除量綱的影響，該文將初始設(shè)計(jì)的橋梁彎曲應(yīng)變能和拉壓應(yīng)變能作為基準(zhǔn)1，這樣優(yōu)化效果也更加直觀。

2 概率跳躍因子粒子群算法

2.1 標(biāo)準(zhǔn)粒子群

粒子群算法屬于生物啟發(fā)算法，通過(guò)模擬群體生物的捕食過(guò)程來(lái)完成最優(yōu)解的尋找過(guò)程。在粒子群算法中，每一個(gè)粒子被模擬為可行域內(nèi)的解，粒子的位置為解的參數(shù)值，粒子的適應(yīng)度值為解的優(yōu)劣評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。在每輪迭代中，粒子的飛行方向可用式(5)、(6)表示：

(5)

(6)

2.2 概率跳躍因子粒子群算法

2.2.1 算法思想

由于標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法的速度慣性權(quán)重，全局最優(yōu)權(quán)重學(xué)習(xí)率和個(gè)體最優(yōu)權(quán)重學(xué)習(xí)率均為定值，因此粒子的活動(dòng)途徑受到了一定的限制，特別是當(dāng)粒子活動(dòng)后期，粒子個(gè)體最優(yōu)和實(shí)際位置之間的差值很小，從而導(dǎo)致粒子的活動(dòng)范圍受到限制，因此標(biāo)準(zhǔn)粒子群具有易于陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn)。一些學(xué)者通過(guò)調(diào)整粒子的速度慣性來(lái)平衡算法的全局和局部尋優(yōu)能力，但是多為確定性的權(quán)重，在迭代前期具有良好的效果，但在粒子聚集后仍不具有跳出局部最優(yōu)的能力。

通過(guò)對(duì)粒子行進(jìn)方式進(jìn)行調(diào)整，一些學(xué)者提出了量子粒子群，粒子的行進(jìn)方向由波動(dòng)方程確定，使得粒子具有了概率性質(zhì)，提高了粒子跳出局部最優(yōu)的能力。相比量子粒子群，標(biāo)準(zhǔn)粒子群的速度更新方式更為簡(jiǎn)單，且更加直觀，方便學(xué)者根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)進(jìn)行改進(jìn)。因此該文擬將量子思想加入到標(biāo)準(zhǔn)粒子算法中，在保持粒子更新方式簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)上，提高粒子全局搜索能力，以此基礎(chǔ)和目的提出了跳躍因子。

2.2.2 概率跳躍因子

為防止粒子在局部最優(yōu)處過(guò)于聚集，該文提出對(duì)粒子的聚集度和進(jìn)化速度進(jìn)行監(jiān)控，并根據(jù)監(jiān)控結(jié)果對(duì)部分粒子進(jìn)行調(diào)整。

(1) 聚集度

當(dāng)粒子在一個(gè)區(qū)域過(guò)于聚集，會(huì)造成多數(shù)粒子的尋優(yōu)貢獻(xiàn)減小，降低優(yōu)化效率。通過(guò)監(jiān)控粒子的聚集程度來(lái)對(duì)粒子行為進(jìn)行動(dòng)態(tài)調(diào)整，這樣無(wú)需預(yù)先設(shè)定權(quán)重變化公式和路徑，對(duì)粒子進(jìn)化具有更強(qiáng)的適應(yīng)性，因此該文定義粒子的聚集度為：

(7)

式中：N為粒子的總數(shù)；pbi為第i個(gè)粒子的個(gè)體最優(yōu)位置；gb為種群的全局最優(yōu)位置。當(dāng)Sd>α?xí)r(α為設(shè)定的一個(gè)值，可根據(jù)問(wèn)題進(jìn)行調(diào)整，該文設(shè)置為1×10-3)，認(rèn)為粒子的聚集度過(guò)大，在全局最優(yōu)附近增加更多的粒子并不會(huì)改善算法的尋優(yōu)精度，且由于多數(shù)粒子的尋優(yōu)途徑相近，會(huì)造成計(jì)算效率低下。

(2) 粒子進(jìn)化速度

在標(biāo)準(zhǔn)粒子群迭代后期，粒子往往會(huì)聚集冗余，為了解決此問(wèn)題，學(xué)者通過(guò)設(shè)置粒子在進(jìn)化速度慢時(shí)對(duì)粒子慣性進(jìn)行操作，如果設(shè)置當(dāng)粒子迭代一個(gè)固定次數(shù)時(shí)調(diào)整速度慣性權(quán)重，由于粒子的迭代速度是未知的，因此可能會(huì)在一定次數(shù)后仍有很高的進(jìn)化速度，導(dǎo)致效果不佳。該文根據(jù)全局最優(yōu)解的變化速度來(lái)設(shè)定粒子的變化時(shí)間：

(8)

式中：Svt為第t次迭代種群的進(jìn)化速度；obj(gbt)為全局最優(yōu)對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值；Tb為判斷距離，Tb越大則對(duì)全局最優(yōu)變化越不敏感，算法的迭代曲線越平順，反之，則算法對(duì)全局最優(yōu)的進(jìn)化速度越敏感，粒子也更易發(fā)生震蕩現(xiàn)象。

(3) 概率跳躍

當(dāng)滿足條件Sd>α且Sv>β時(shí)，認(rèn)為粒子的進(jìn)化慢，且有冗余，粒子的進(jìn)化方式應(yīng)進(jìn)行改變。該文提出隨機(jī)概率跳躍因子來(lái)改變部分粒子的位置：

(9)

當(dāng)滿足條件時(shí)，從種群中隨機(jī)選擇一個(gè)粒子，并將其位置進(jìn)化方式改為隨機(jī)進(jìn)化，粒子的位置服從N(p,σ)的整體分布，其中均值p為該粒子歷代個(gè)體最優(yōu)中隨機(jī)選擇的一個(gè)值，方差σ可以根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)進(jìn)行設(shè)定，該文取方差為1×10-3。

2.2.3 算法流程

帶有概率跳躍的粒子群算法的步驟如下。

步驟1：在定義域內(nèi)隨機(jī)初始化種群。

步驟2：將粒子的位置初始化為粒子的個(gè)體最優(yōu)，全局最優(yōu)根據(jù)個(gè)體最優(yōu)進(jìn)行初始化。

步驟3：根據(jù)式(5)、(6)計(jì)算粒子下一輪迭代的速度和位置，然后更新粒子。

步驟4：根據(jù)式(7)、(8)判斷是否進(jìn)行跳躍，如果是則根據(jù)式(9)選擇粒子進(jìn)行跳躍，否則進(jìn)行下一步。

步驟5：更新個(gè)體最優(yōu)和全局最優(yōu)。

步驟6：判斷是否滿足迭代終止條件，是，則結(jié)束迭代輸出結(jié)果，否則進(jìn)入步驟3。

具體算法流程見(jiàn)圖2。

圖2 RPSO算法流程圖

2.3 算法對(duì)比

采用多峰值函數(shù)Rastrigin函數(shù)進(jìn)行測(cè)試，函數(shù)方程如式(10)所示，圖像如圖3所示。算法迭代過(guò)程見(jiàn)圖4。

(10)

式中：xi范圍為[-1.5,1.5]，式中參數(shù)取值為：n=2，函數(shù)在定義域內(nèi)有9個(gè)極小值，對(duì)稱分布于xi值為±0.5、±1.0處，其中[0,0]處為全局最優(yōu)解，目標(biāo)函數(shù)值為0。

從圖4中可以看出：增加概率跳躍之后，算法的尋優(yōu)精度有明顯改善，而標(biāo)準(zhǔn)粒子群尋找到的全局最優(yōu)位置為[-1.0,0]+[-1.235×10-12,2.162×10-13]，表明算法尋找到了局部最優(yōu)解，而非全局最優(yōu)解[0,0]。帶有概率跳躍算法的粒子群尋找到的全局最優(yōu)位置為[5.526×10-17,3.335×10-20]，為定義域內(nèi)的全局最優(yōu)所處位置。從粒子的迭代過(guò)程可以看出基礎(chǔ)明顯的跳躍位置，說(shuō)明了算法設(shè)置的合理性。

圖3 Rastrigin函數(shù)三維圖

圖4 算法迭代過(guò)程圖

3 工程案例

3.1 工程概況

研究對(duì)象為某中承式鋼桁架拱橋，橋跨布置為(70+240+70) m，初始設(shè)計(jì)為拱肋跨中矢高56.314 m，拱軸線矢跨比1/4.261，拱肋跨中高度7 m，拱腳高度20.559 m，拱肋下弦桿為二次拋物線，拱肋上弦桿中，邊跨部分為圓曲線，半徑為300 m，中跨部分為圓曲線與二次拋物線組合形式，圓曲線半徑為280 m，全橋總用鋼量為14 863.3 t。為確定拱肋線形的最優(yōu)形式，該文采用RPSO法進(jìn)行優(yōu)化，并且采用Kriging代理模型來(lái)減少優(yōu)化時(shí)間，提高優(yōu)化效率。

3.2 Kriging代理模型

智能算法在每輪迭代中均需要計(jì)算每個(gè)新粒子的適應(yīng)度，且智能算法為了保證精度，往往會(huì)設(shè)置較大數(shù)目的個(gè)體，因此智能算法具有計(jì)算量大的特點(diǎn)。為了加速迭代，一些學(xué)者采用了代理模型的解決方案，即采用一個(gè)簡(jiǎn)單的、顯式的關(guān)系來(lái)替換設(shè)計(jì)參數(shù)與目標(biāo)量之間的隱式有限元關(guān)系。由于顯式的計(jì)算消耗較有限元模型的計(jì)算消耗明顯減小，因此采用代理模型后可以極大地提高優(yōu)化效率。

常用的代理模型有響應(yīng)面模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(ANN，RBF)、Kriging模型等，響應(yīng)面模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型屬于確定性模型，即當(dāng)樣本點(diǎn)確定之后，每個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)所有預(yù)測(cè)點(diǎn)的貢獻(xiàn)是相同的，而Kriging屬于半確定半概率模型，即每個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)預(yù)測(cè)點(diǎn)的貢獻(xiàn)是不同的。

Kriging模型由確定性的多項(xiàng)式部分和概率性的隨機(jī)部分組成，如下式所示：

(11)

式中：fT(x)β為線性回歸部分，β為線性回歸系數(shù)。線性回歸函數(shù)fT(x)可以選用零次(常數(shù))、一次、二次等形式，次數(shù)越高，線形部分對(duì)數(shù)據(jù)的擬合越好，但過(guò)高的次數(shù)容易出現(xiàn)過(guò)擬合的現(xiàn)象，因此一般選擇二次為優(yōu)；z(x)為隨機(jī)誤差部分，隨機(jī)誤差是一個(gè)期望為0的高斯平穩(wěn)隨機(jī)分布。它服從正態(tài)分布N(0,σ2)，并具有以下性質(zhì)：

(12)

式中：R(θ,ω,x)為相關(guān)函數(shù)，是關(guān)于預(yù)測(cè)點(diǎn)與樣本點(diǎn)之間距離的函數(shù)，距離越大，樣本點(diǎn)對(duì)預(yù)測(cè)點(diǎn)的影響越小。

3.3 優(yōu)化過(guò)程及結(jié)果分析

利用拉丁超立方法進(jìn)行抽樣，將抽取的樣本點(diǎn)代入鋼桁拱的線形方程，確定拱上每點(diǎn)的坐標(biāo)，然后建立有限元模型，計(jì)算結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。

在設(shè)計(jì)變量的可行域內(nèi)共抽取了200個(gè)樣本點(diǎn)，然后根據(jù)樣本點(diǎn)與對(duì)應(yīng)響應(yīng)之間的關(guān)系建立Kriging代理模型(表2)，同時(shí)觀察MSE(均方誤差)，檢驗(yàn)代理模型的擬合精度。

表2 Kriging代理模型信息

從表2中可以看出：Kriging模型的MSE非常小，表明代理模型精度較高，可以用于后續(xù)的尋優(yōu)過(guò)程。

采用概率跳躍粒子群算法進(jìn)行尋優(yōu)，同時(shí)采用標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法進(jìn)行對(duì)比，觀察算法改進(jìn)前后的尋優(yōu)精度和尋優(yōu)效率。算法設(shè)置如表3所示。優(yōu)化結(jié)果如表4所示。

表3 算法參數(shù)設(shè)置信息

表4 兩種算法優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

從表4可以看出:RPSO的優(yōu)化結(jié)果明顯優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)PSO，并且兩種算法優(yōu)化的參數(shù)結(jié)果也位于不同位置。由于優(yōu)化參數(shù)為6維，且優(yōu)化變量與結(jié)構(gòu)輸出之間的關(guān)系復(fù)雜，因此問(wèn)題存在多個(gè)局部峰值，增加了尋找全局最優(yōu)解的困難。在尋優(yōu)時(shí)間上，由于該文設(shè)置的終止條件未達(dá)到最高迭代次數(shù)，因此兩種算法相差不大，表明增加隨機(jī)跳躍后，算法的復(fù)雜程度并未增加很多。表5為3種情況下主拱肋的應(yīng)力位移計(jì)算結(jié)果。圖5為PSO及RPSO兩種算法目標(biāo)函數(shù)值的對(duì)比結(jié)果。

由表5可知：RPSO優(yōu)化后，主拱肋壓應(yīng)力比設(shè)計(jì)減小了13.88 MPa，拉應(yīng)力減小了9.44 MPa，豎向位移減小了13.73 mm，應(yīng)力和位移減小幅度均比PSO優(yōu)化要大，優(yōu)化效果更加明顯。

表5 3種情況主拱肋應(yīng)力位移計(jì)算結(jié)果

圖5 目標(biāo)函數(shù)迭代對(duì)比圖

從圖5可以看出：優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的線形滿足平順要求。從算法的迭代過(guò)程圖中可以看出，改進(jìn)后的粒子群算法進(jìn)化速度更快，且尋找到的解的精度也越高，即給出的拱肋線形方案更優(yōu)。

4 結(jié)論

(1) 采用聚集度和優(yōu)化速度作為粒子跳動(dòng)時(shí)機(jī)的判別標(biāo)準(zhǔn)，可以有效防止粒子冗余，提高優(yōu)化速度，且在相同迭代次數(shù)時(shí)，所提算法尋優(yōu)精度更高。

(2) 經(jīng)過(guò)對(duì)拱軸線上下弦桿線形的優(yōu)化，橋梁主拱肋壓應(yīng)力減小了13.88 MPa，拉應(yīng)力減小了9.44 MPa，豎向位移減小了13.73 mm，整體應(yīng)變能減小了21.8%，全橋受力更加合理，同時(shí)可以為下一步節(jié)約鋼材提供依據(jù)。