基于隨機(jī)響應(yīng)面法的基坑地連墻可靠度分析

郯俊彬， 邵國(guó)建， 余 杰， 酈 綱， 樓 偉， 孫 陽(yáng)

（1.河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，南京 210000； 2.杭州京杭運(yùn)河二通道建設(shè)投資有限公司，杭州 310003；3.河海大學(xué)港口海岸與近海工程學(xué)院，南京 210000）

隨著城市化進(jìn)程的加快，地面空間的開(kāi)發(fā)利用趨于飽和，地下工程數(shù)量逐年增加，深基坑施工也越來(lái)越普遍. 基坑開(kāi)挖深度越深，地質(zhì)條件越復(fù)雜，施工難度越大，施工風(fēng)險(xiǎn)也會(huì)增大［1-2］. 基坑工程中，支護(hù)結(jié)構(gòu)的水平位移是評(píng)價(jià)基坑穩(wěn)定安全的重要指標(biāo)之一，許多基坑事故都是因?yàn)橹ёo(hù)結(jié)構(gòu)水平位移超限而破壞，因此利用可靠度理論評(píng)價(jià)基坑支護(hù)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性是基坑工程中一項(xiàng)重要課題.

基坑工程是一項(xiàng)復(fù)雜的巖土工程，由于土體參數(shù)、土層厚度以及施工荷載等均是基坑工程中常見(jiàn)的不確定性因素，它們均具有隨機(jī)性和變異性，安全系數(shù)法受到限制，可靠度理論充分考慮了參數(shù)的不確定性，被應(yīng)用到基坑支護(hù)結(jié)構(gòu)可靠度研究中. 近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)基坑支護(hù)結(jié)構(gòu)可靠度進(jìn)行了大量的研究［3-4］. 黃廣龍等［5］利用可靠度分析方法評(píng)價(jià)了基坑圍護(hù)結(jié)構(gòu)的整體穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn)采用可靠度指標(biāo)評(píng)價(jià)基坑穩(wěn)定性較安全系數(shù)更加合理，并且分析了參數(shù)變異性對(duì)結(jié)果的影響. 朱鴻鵠等［6］基于現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，結(jié)合貝葉斯修正和Monte Carlo有限元法評(píng)估了基坑開(kāi)挖過(guò)程的安全可靠度. 廖瑛等［7］采用響應(yīng)面法對(duì)基坑支護(hù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了可靠度分析，并與一次二階矩法作對(duì)比，發(fā)現(xiàn)響應(yīng)面法計(jì)算簡(jiǎn)單，收斂速度快，計(jì)算精度也能保證，還研究了土體參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的影響.

近年發(fā)展較快的隨機(jī)響應(yīng)面法也被許多學(xué)者應(yīng)用到各類結(jié)構(gòu)可靠度分析中［8-14］，如胡冉等［15］基于隨機(jī)響應(yīng)面法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠度分析. 李典慶［16］等將滲流有限元計(jì)算與隨機(jī)響應(yīng)面法相結(jié)合，對(duì)心墻堆石壩滲透穩(wěn)定性進(jìn)行了可靠度分析. 王卿和黃淑萍［17］將隨機(jī)響應(yīng)面法應(yīng)用于單樁沉降的可靠性分析，盛建龍和翟明洋［18］采用隨機(jī)響應(yīng)面法對(duì)巖質(zhì)邊坡進(jìn)行了可靠度分析，并對(duì)比了四種抽樣配點(diǎn)方法對(duì)響應(yīng)面擬合精度和可靠度分析結(jié)果的影響. 目前，隨機(jī)響應(yīng)面法較少應(yīng)用于支護(hù)結(jié)構(gòu)可靠度研究，本文結(jié)合ABAQUS 有限元軟件和隨機(jī)響應(yīng)面法，對(duì)基坑支護(hù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠度分析，并且對(duì)比分析土體參數(shù)的隨機(jī)性對(duì)隨機(jī)響應(yīng)面的擬合精度和可靠指標(biāo)的影響，為基坑支護(hù)結(jié)構(gòu)的可靠度研究提供參考.

1 隨機(jī)響應(yīng)面法

1.1 基本原理

隨機(jī)響應(yīng)面方法輸入變量為隨機(jī)數(shù)，由標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)變量建立結(jié)構(gòu)的響應(yīng)面方程，采用抽樣配點(diǎn)方法結(jié)合有限元方法得到響應(yīng)面表達(dá)式中的待定系數(shù). 隨機(jī)響應(yīng)面方法由于計(jì)算效率和計(jì)算精度較高，且收斂性在數(shù)學(xué)意義上得到保證，對(duì)于功能函數(shù)無(wú)法用顯示表達(dá)式描述的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的可靠度分析，它是一種十分有效可行的方法.

1998年，Isukapalli 等［19］最早提出隨機(jī)響應(yīng)面法理論，并將其應(yīng)用于研究環(huán)境和生物系統(tǒng)的不確定性問(wèn)題. 隨機(jī)響應(yīng)面法可以將有限元法和不確定分析法結(jié)合起來(lái)，解決了實(shí)際工程中極限狀態(tài)方程難以用顯式函數(shù)表示的問(wèn)題，且相較于標(biāo)準(zhǔn)蒙特卡洛法計(jì)算量大大降低. 隨機(jī)響應(yīng)面法主要步驟如下：將結(jié)構(gòu)的隨機(jī)變量表示為標(biāo)準(zhǔn)隨機(jī)變量，隨機(jī)響應(yīng)面采用Hermite隨機(jī)多項(xiàng)式表達(dá)，采用概率配點(diǎn)法求出多項(xiàng)式中的待定系數(shù)，得到擬合的極限狀態(tài)方程，結(jié)合蒙特卡洛法求解結(jié)構(gòu)可靠度. 結(jié)構(gòu)的隨機(jī)變量X 表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量U 的函數(shù)：

式中：X 為隨機(jī)變量，U 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量，F(xiàn)-1()為X 累積概率分布函數(shù)的反函數(shù)，Φ()為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積概率分布函數(shù). 若隨機(jī)變量X 服從正態(tài)分布，則它和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量U 的映射關(guān)系為：

其中：μx和σx為隨機(jī)變量X的均值和標(biāo)準(zhǔn)差. 隨機(jī)響應(yīng)面的Hermite隨機(jī)多項(xiàng)式為：

其中：a0、ai1、ai1i2等為待定系數(shù)；n 為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的數(shù)目；Γn(Ui1,Ui2,…,Uin)為n 階Hermite多項(xiàng)式.

1.2 抽樣配點(diǎn)方法

拉丁超立方抽樣（LHS）是一種從多元參數(shù)分布中近似隨機(jī)抽樣的方法. 在確定抽樣配點(diǎn)數(shù)目N 后，將［0，1］區(qū)間等分成N 個(gè)互不重疊等概率區(qū)間，然后利用逆變換法在各個(gè)子區(qū)間上抽取一個(gè)樣本，最終得到所需的N 個(gè)配點(diǎn).

2 基坑工程實(shí)例

2.1 工程概況

馬鑾北站為地下二層島式站臺(tái)車站，單柱雙跨框架結(jié)構(gòu)，全長(zhǎng)347.602 m，標(biāo)準(zhǔn)段基坑寬度20.7 m，深度約為14 m，大里程端深度約為11 m，頂板覆土約3 m. 小里程端為異形基坑，深度約為14 m. 車站主體圍護(hù)結(jié)構(gòu)采用地連墻+內(nèi)支撐體系，地連墻厚度為600 mm，基坑施工時(shí)共采用2道內(nèi)支撐，標(biāo)準(zhǔn)段第一道支撐為混凝土支撐，間距8～9 m，第二道為鋼支撐，間距2～3 m，小里程端兩道支撐均為混凝土支撐，間距3～4 m. 基坑中間設(shè)置臨時(shí)立柱，臨時(shí)立柱樁基礎(chǔ)采用?1000 mm的灌注樁. 基坑底板主要位于凝灰熔巖殘積黏性土層，地連墻墻趾進(jìn)入全風(fēng)化凝灰熔巖層. 車站周邊無(wú)重要建筑物，均為當(dāng)?shù)卮迕耵~(yú)塘，場(chǎng)地開(kāi)闊，周邊影響范圍內(nèi)無(wú)管線，施工條件較好. 馬鑾北站總平面圖如圖1所示.

基坑工程沿線地層結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，巖土層分布不均，工程地質(zhì)條件差，巖土層的埋深、厚度及性能變化較大. 素填土層具有均勻性差、自重壓密性及低強(qiáng)度、高壓縮性等不良工程特性，不利于邊坡穩(wěn)定. 軟土為海積淤泥，流塑～軟塑狀，具有壓縮性高、強(qiáng)度低、靈敏度高、透水性低等不良工程特性，對(duì)工程有一定的影響.砂混淤泥以次圓狀石英質(zhì)中、粗砂為主，含泥質(zhì)約30%. 分選較差，工程性能不良. 殘積土和全、強(qiáng)風(fēng)化巖均勻性較差，強(qiáng)度不一，遇水易軟化，強(qiáng)度急劇降低，工程性能總體不良.

該基坑工程的地質(zhì)條件較為特殊，根據(jù)譚宏大等［20］對(duì)于凝灰熔巖殘積土的試驗(yàn)研究可知，該土體抗剪強(qiáng)度隨含水率增大而減小，當(dāng)初始含水率較小時(shí)，抗剪強(qiáng)度的變化速率較大. 因此，為確保支護(hù)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，必須對(duì)支護(hù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行可靠度分析. 巖土體的主要物理力學(xué)參數(shù)見(jiàn)表1.

表1 巖土物理力學(xué)指標(biāo)Tab.1 Physical and mechanical indexes of rock and soil

2.2 基坑有限元模型

基坑開(kāi)挖過(guò)程中不考慮地下水的影響，選取標(biāo)準(zhǔn)段典型斷面進(jìn)行有限元數(shù)值模擬. 建立基坑模型，模型的側(cè)面邊界到地下連續(xù)墻的距離分別取為基坑寬度的3 倍，在深度方向上從基坑底部向下取為基坑開(kāi)挖深度的3倍. 為簡(jiǎn)化計(jì)算，基坑巖土體共分為5層，土體本構(gòu)選擇摩爾-庫(kù)倫彈塑性本構(gòu)模型，基坑網(wǎng)格劃分如圖2所示.

有限元模型計(jì)算中，巖土體單元、地連墻和混凝土支撐均為C3D8R 實(shí)體單元，鋼支撐為B31 梁?jiǎn)卧? 假定地連墻與土體之間接觸面摩擦系數(shù)為0.3，基坑兩側(cè)10 m 范圍內(nèi)添加均布荷載10 kPa. 邊界條件：計(jì)算模型側(cè)面受到X 軸和Z 軸方向的水平位移約束，約束模型底面，限制X、Y、Z三個(gè)方向的變形.

利用ABAQUS 有限元軟件對(duì)基坑開(kāi)挖過(guò)程進(jìn)行數(shù)值模擬，采用生死單元功能實(shí)現(xiàn)基坑開(kāi)挖. 經(jīng)過(guò)計(jì)算，得到基坑開(kāi)挖完成后支護(hù)結(jié)構(gòu)的側(cè)向變形情況.由圖3可知，基坑開(kāi)挖至基底后，支護(hù)結(jié)構(gòu)整體變形呈現(xiàn)為“彎弓”狀，最大側(cè)向位移為22.48 mm，最大側(cè)移處距離地表約為9.5 m.

圖2 基坑網(wǎng)格劃分Fig.2 Mesh generation of foundation pit

圖3 地連墻側(cè)向位移Fig.3 Lateral displacements of diaphragm wall

3 支護(hù)結(jié)構(gòu)可靠度分析

3.1 可靠度計(jì)算

由于基坑工程中支護(hù)結(jié)構(gòu)的側(cè)向位移是評(píng)價(jià)基坑穩(wěn)定性的重要指標(biāo)之一，也是基坑安全可靠的最重要指標(biāo)之一. 基于支護(hù)結(jié)構(gòu)變形控制設(shè)計(jì)理論，依據(jù)支護(hù)結(jié)構(gòu)的最大側(cè)向位移建立支護(hù)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)，以土體參數(shù)作為隨機(jī)變量進(jìn)行可靠度分析.

由于第四、五層土體絕大部分均位于地下連續(xù)墻下面，基坑開(kāi)挖對(duì)于地連墻的擾動(dòng)較小，故僅考慮上面三層土體的隨機(jī)性和變異性對(duì)支護(hù)結(jié)構(gòu)側(cè)向變形的影響. 為了分析各類土體參數(shù)對(duì)于結(jié)構(gòu)可靠度的影響，將三層土體的彈性模量E（E1、E2、E3）、內(nèi)摩擦角Φ（Φ1、Φ2、Φ3）和黏聚力C（C1、C2、C3）作為三組隨機(jī)變量進(jìn)行支護(hù)結(jié)構(gòu)可靠度分析. 假定所有隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立，變異系數(shù)均取為0.1. 地連墻側(cè)向位移是關(guān)于隨機(jī)變量的隱式函數(shù)，故以支護(hù)結(jié)構(gòu)最大側(cè)向位移建立極限狀態(tài)方程：

式中：X1、X2、X3為隨機(jī)變量；fmax為支護(hù)結(jié)構(gòu)的最大側(cè)向位移控制值；f 為支護(hù)結(jié)構(gòu)的最大側(cè)向位移計(jì)算值. 該基坑工程根據(jù)《城市軌道交通工程監(jiān)測(cè)技術(shù)規(guī)范》，支護(hù)結(jié)構(gòu)最大側(cè)移應(yīng)當(dāng)不超過(guò)30 mm.

采用隨機(jī)響應(yīng)面方法建立基坑支護(hù)結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)面函數(shù)，隨機(jī)響應(yīng)面函數(shù)即為式（4）中的f，為了滿足計(jì)算精度要求，一般采用3階Hermite隨機(jī)多項(xiàng)式來(lái)表示. 將服從正態(tài)分布的基本隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)變量，分別采用概率配點(diǎn)法和拉丁超立方抽樣方法選取40 個(gè)配點(diǎn)，然后將這40 個(gè)配點(diǎn)代入ABAQUS有限元軟件計(jì)算得到支護(hù)結(jié)構(gòu)最大側(cè)移計(jì)算值，將40個(gè)配點(diǎn)和對(duì)應(yīng)的最大側(cè)移計(jì)算值輸入隨機(jī)響應(yīng)面法程序，得到響應(yīng)面函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合蒙特卡洛模擬方法求得基坑支護(hù)結(jié)構(gòu)的失效概率和可靠指標(biāo).

由于支護(hù)結(jié)構(gòu)側(cè)向位移沒(méi)有顯式函數(shù)且該問(wèn)題沒(méi)有蒙特卡洛近似精確解，所以在可靠度分析之前須對(duì)隨機(jī)響應(yīng)面函數(shù)的擬合精度進(jìn)行驗(yàn)算，以保證結(jié)果的準(zhǔn)確性. 采用相關(guān)指數(shù)R2描述隨機(jī)響應(yīng)面函數(shù)在整個(gè)空間上對(duì)真實(shí)功能函數(shù)的擬合精度. 相關(guān)指數(shù)R2介于0和1之間，越接近1表示隨機(jī)響應(yīng)面函數(shù)擬合精度越高. 相關(guān)指數(shù)的計(jì)算公式如下：

式中：n 為實(shí)測(cè)樣本點(diǎn)數(shù)目（配點(diǎn)數(shù)目）；yi、yi?分別為第i 個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)測(cè)值和隨機(jī)響應(yīng)面函數(shù)值（擬合值）；為實(shí)測(cè)均值.

隨機(jī)變量分別為E、Φ和C 的擬合精度結(jié) 果 如 圖4、5、6 所示. 由圖可知，三種隨機(jī)變量的隨機(jī)響應(yīng)面函數(shù)擬合精度都很高，相關(guān)指數(shù)R2均超過(guò)0.99，其中隨機(jī)變量為彈性模量時(shí)，隨機(jī)響應(yīng)面的擬合精度最高，隨機(jī)變量為內(nèi)摩擦角和黏聚力時(shí)，隨機(jī)響應(yīng)面的擬合精度稍差一些.

圖4 隨機(jī)變量為E的擬合精度Fig.4 Fitting accuracies of random variable E

圖5 隨機(jī)變量為Φ的擬合精度Fig.5 Fitting accuracies of random variable Φ

圖6 隨機(jī)變量為C的擬合精度Fig.6 Fitting accuracies of random variable C

3.2 可靠度計(jì)算結(jié)果對(duì)比分析

結(jié)合ABAQUS有限元軟件和隨機(jī)響應(yīng)面法，得到支護(hù)結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)面函數(shù)，經(jīng)過(guò)擬合精度驗(yàn)算，證明了基于概率配點(diǎn)法的隨機(jī)響應(yīng)面法是準(zhǔn)確的. 此時(shí)，支護(hù)結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)已知，結(jié)合蒙特卡洛方法，進(jìn)行100萬(wàn)次蒙特卡洛模擬得到支護(hù)結(jié)構(gòu)的失效概率和可靠指標(biāo). 圖7展示了三種隨機(jī)變量計(jì)算得到的可靠指標(biāo).

由圖7可知，當(dāng)支護(hù)結(jié)構(gòu)側(cè)向位移控制值逐漸減小時(shí)，三種隨機(jī)變量模式下支護(hù)結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)均越來(lái)越小，且當(dāng)控制值小于29 mm時(shí)，可靠指標(biāo)與控制值近似為線性關(guān)系. 隨機(jī)變量為土體彈性模量時(shí)，可靠指標(biāo)隨著控制值的減小降低幅度最大，而隨機(jī)變量為土體內(nèi)摩擦角和黏聚力時(shí)，可靠指標(biāo)隨控制值的變化較為一致，且均比隨機(jī)變量為彈性模量時(shí)可靠指標(biāo)高. 這表明在變異系數(shù)相同情況下，土體彈性模量的隨機(jī)性和變異性對(duì)于狹長(zhǎng)基坑支護(hù)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性影響更大，在評(píng)價(jià)基坑支護(hù)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先關(guān)注土體彈性模量的隨機(jī)性. 此外，Wang［21］等針對(duì)工程小概率問(wèn)題，推薦了結(jié)構(gòu)的目標(biāo)可靠指標(biāo)，可靠指標(biāo)大于3.0 表明工程預(yù)期性能高于平均水平；可靠指標(biāo)大于4.0 表明預(yù)期性能水平較高；可靠指標(biāo)大于5.0表明預(yù)期性能很高. 該基坑工程的支護(hù)結(jié)構(gòu)最大側(cè)向位移控制值設(shè)定為30 mm，三種隨機(jī)變量情況下結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)均大于4.5，說(shuō)明基坑設(shè)計(jì)和施工滿足變形控制要求，基坑穩(wěn)定性較好.

圖7 支護(hù)結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)Fig.7 Reliable indexes of supporting structure

4 結(jié)論

基于ABAQUS有限元軟件和隨機(jī)響應(yīng)面法，結(jié)合蒙特卡洛模擬，計(jì)算了基坑支護(hù)結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)，并分析不同土體參數(shù)作為隨機(jī)變量對(duì)擬合精度和可靠指標(biāo)的影響，結(jié)論如下：

1）基于概率配點(diǎn)的隨機(jī)響應(yīng)面法可以應(yīng)用于基坑地連墻的可靠度分析中，三種隨機(jī)變量情況下，相關(guān)指數(shù)R2均超過(guò)0.99，表明擬合精度很高；

2）三種隨機(jī)變量情況下，彈性模量對(duì)結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的影響明顯，可靠指標(biāo)隨著控制值的減小降幅較大，內(nèi)摩擦角和黏聚力對(duì)可靠指標(biāo)的影響稍小，可靠指標(biāo)隨著控制值的變化較為一致；

3）當(dāng)?shù)剡B墻的最大側(cè)向位移控制值為30 mm時(shí)，三種隨機(jī)變量下支護(hù)結(jié)構(gòu)的可靠指標(biāo)均超過(guò)4.5，表明基坑穩(wěn)定性較好.