違反直覺的概率事件

張本末

數(shù)學(xué)是有趣且美妙的，但是有時(shí)候它卻會(huì)讓你失去信心，甚至在別人面前出丑。這是因?yàn)樵谝恍┛雌饋矸浅Ｖ庇^的數(shù)學(xué)問題的背后，往往隱藏著你容易忽略的簡(jiǎn)單邏輯，導(dǎo)致你在計(jì)算的時(shí)候“栽跟頭”。算錯(cuò)往往不是因?yàn)槟悴欢?，而是?shù)學(xué)其實(shí)是一個(gè)非常巧妙的“偽裝者”，它常常讓你忘記了它其實(shí)是戴著面紗的。本文介紹了3例違反直覺的概率事件。

三門問題

第一個(gè)事件是三門問題。1963年的一個(gè)美國(guó)電視游戲節(jié)目《讓我們做個(gè)交易》中，一個(gè)叫做蒙蒂·霍爾的主持人提出了該問題。三門問題是這樣描述的：你作為一個(gè)玩家在玩一個(gè)游戲——在你前面分別有左、中、右三扇門，一扇門后面有一輛汽車，其余兩扇門后面分別是一只山羊。你有一次開門的機(jī)會(huì)，如果你打開了后面停著汽車的門，你就能贏走這輛汽車。如果你打開了其他的門，那你將什么都得不到。

你肯定是不會(huì)知道每扇門后面是什么的，莊家則一清二楚。當(dāng)你選中一扇門時(shí)（假設(shè)此門為1號(hào)），莊家就會(huì)挑選另一扇門（假設(shè)是3號(hào)），3號(hào)門的后面是一只山羊。然后莊家問你：你想改變你的選擇嗎？要不改選2號(hào)門？這時(shí)你自然而然地認(rèn)為，只剩下兩扇門了，且一扇是山羊一扇是車，不管選擇1號(hào)還是2號(hào)，獲得車的概率都是1/2，就不用改變選擇了吧。然而，如果你這樣想，你就錯(cuò)了！事實(shí)上，如果你改選2號(hào)門，你贏得汽車的概率是2/3。如果你堅(jiān)持1號(hào)門，你贏得汽車的概率只有1/3，這是為什么呢？

左、中、右三扇門，門后的物體有三種可能的排列——1：車、羊、羊;2：羊、車、羊;3：羊、羊、車。門的位置是不變的，但號(hào)碼是可以變的——你挑的門為1號(hào)門，莊家開給你看的為3號(hào)門。我們假設(shè)你挑選的是左門，即左門為1號(hào)門（哪個(gè)門作為1號(hào)門都是一樣的）。對(duì)于第一種情況而言，中門和右門哪個(gè)作為2號(hào)門（3號(hào)門）的結(jié)果都是一樣的，即你只有堅(jiān)持原選擇，你才能贏得車;對(duì)于第二種情況，莊家會(huì)打開右門作為3號(hào)門給你看，因?yàn)檫@扇門后是一只羊，而你只有改變選擇，選擇2號(hào)門的中門，才能贏得車;而對(duì)于第三種情況，莊家會(huì)給你看中門，而你只有改變選擇，選擇作為2號(hào)門的右門，你才能贏。所以以上三種情況，有兩種情況是改變選擇才能贏，只有一種情況是堅(jiān)持選擇才能贏。綜上，改變選擇贏的概率是2/3，而堅(jiān)持選擇贏的概率是1/3。所以，為了更可能贏車，你還是改選2號(hào)門吧。

8名囚犯的問題

第二個(gè)事件是這樣的，分別被標(biāo)號(hào)為1～8的8名囚犯獲得了一個(gè)被集體釋放的機(jī)會(huì)，但他們需要通過一個(gè)游戲：他們將按號(hào)碼順序陸續(xù)進(jìn)入一個(gè)房間。該房間里面有8個(gè)抽屜，每個(gè)抽屜里面有一個(gè)小紙條，紙條上面有一個(gè)號(hào)碼，號(hào)碼為1～8中的一個(gè)且不重復(fù)，且紙條是隨機(jī)放在抽屜里的。每個(gè)囚犯分別輪流進(jìn)入房間，進(jìn)去后的囚犯最多被允許打開任意4個(gè)抽屜，如果這4個(gè)抽屜里面有寫著這個(gè)人序號(hào)的紙條，這個(gè)人就算贏。上一個(gè)囚犯將所有的東西還原并且出去后，下一個(gè)囚犯才能進(jìn)來。一旦游戲開始，即第一個(gè)人進(jìn)入房間，所有的囚犯將不得再交流。8名囚犯必須全部贏，他們才能被釋放。一旦有一名囚犯輸了，這群人將全部被槍斃。

這個(gè)游戲可比上一個(gè)游戲殘酷多了！因?yàn)閷?duì)于一名囚犯來說，寫有他的號(hào)碼的紙條在他所挑選的4個(gè)抽屜里面的概率為4除以8，即1/2。每一名囚犯都是獨(dú)立做挑選工作的，且互不干擾，所以8囚犯全部贏的概率為（1/2）8≈0.0039，甚至還不足千分之四。這個(gè)概率太小了，有同學(xué)看到這里會(huì)認(rèn)為這群囚犯很難活得了，這個(gè)游戲極其不公平！但事情真的只能是這樣嗎？

實(shí)際上，如果囚犯?jìng)儾扇∫环N共同的策略，就可以使所有人都贏的機(jī)會(huì)大大增加，這個(gè)概率甚至超過了30%。那么這是什么策略呢？我們把抽屜按1～8的順序從左到右給抽屜編號(hào)。我們規(guī)定序號(hào)為X的囚犯第一個(gè)必須打開序號(hào)為X的抽屜，然后按照X序號(hào)抽屜里面的號(hào)碼Y，確定下一個(gè)打開的抽屜的序號(hào)。按照這種模式，一直找到自己的號(hào)碼為止，或者用完能夠抽取的抽屜的次數(shù)。我們利用一種布局來說明一下這種策略。

抽屜序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8

抽屜里的號(hào)碼 4 6 1 3 7 5 2 8

由1號(hào)囚犯開始，他打開了1號(hào)抽屜，看到了號(hào)碼4。然后打開抽屜4，看到了號(hào)碼3，再打開抽屜3，看到了號(hào)碼1，他贏了。

對(duì)于2號(hào)囚犯：抽屜2 →抽屜6 →抽屜5 →抽屜7，贏了

對(duì)于3號(hào)囚犯： 抽屜3 →抽屜1 →抽屜4，贏了

對(duì)于4號(hào)囚犯： 抽屜4 →抽屜3 →抽屜1，贏了

對(duì)于5號(hào)囚犯： 抽屜5 →抽屜7 →抽屜2 →抽屜6，贏了

對(duì)于6號(hào)囚犯： 抽屜6 →抽屜5 →抽屜7 →抽屜2，贏了

對(duì)于7號(hào)囚犯： 抽屜7 →抽屜2 →抽屜6→抽屜5，贏了

對(duì)于8號(hào)囚犯： 抽屜8，贏了。至此，所有人都會(huì)被釋放。

我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于這種布局，無論誰去打開抽屜，他都將陷入三種循環(huán)（如下）中的其中一種。而之所以每個(gè)人都能贏，是因?yàn)檫@三種循環(huán)含有的抽屜數(shù)都不多于4個(gè)，這意味著任何人都能在4次選擇之前找到自己的號(hào)碼。

一：抽屜1→抽屜4→抽屜3 →抽屜1

二：抽屜2 →抽屜6 →抽屜5 →抽屜7→抽屜2

三：抽屜8本身循環(huán)

然而，如果換一種布局，情況可就不那么妙了。例如下面這一種：

抽屜序號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8

抽屜里的號(hào)碼 4 6 8 3 7 5 1 2

這里面只有一個(gè)循環(huán)：抽屜1→抽屜4→抽屜3 →抽屜8→抽屜2→抽屜6 →抽屜5→抽屜7→抽屜1。這個(gè)循環(huán)含有全部8個(gè)抽屜，任何人要想翻出自己的號(hào)碼，都得開完8個(gè)抽屜。看來，這種策略有時(shí)會(huì)面臨好運(yùn)，有時(shí)會(huì)面臨厄運(yùn)。

但我們?cè)谝獾氖浅晒Φ母怕?。首先得提一下客觀事實(shí)，含有超過一半數(shù)量——4個(gè)的抽屜的循環(huán)（可能含有5、6、7或8個(gè)抽屜）最多只有一個(gè)，因?yàn)槌閷峡偭渴?個(gè)。而一旦存在含有超過4個(gè)抽屜的循環(huán)，意味著一定會(huì)有人失敗。經(jīng)過計(jì)算，不含有超過4個(gè)循環(huán)的布局發(fā)生的概率約為0.365（學(xué)過排列組合的同學(xué)可以自己算下），這也是這種策略的成功率，這個(gè)數(shù)字遠(yuǎn)大于千分之四。

辛普森悖論

第三個(gè)事件是這樣的：根據(jù)下面兩個(gè)表格所顯示的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為邁克爾·喬丹和雷吉·米勒哪一個(gè)投籃命中率最高？

乍一看，雷吉·米勒的三分命中率和2分命中率都比邁克爾·喬丹高——52%>51%、38%>29%，我們就很容易得出雷吉·米勒的命中率比邁克爾·喬丹高的結(jié)論。然而事情卻并非直觀印象所顯示的那樣——邁克爾·喬丹的命中率更高！因?yàn)槿趾蛢煞值拿新仕嫉谋壤遣灰粯拥?，我們不能?jiǎn)單的將三分和兩分的命中率分別直接對(duì)比，這就是辛普森悖論。平均下來，邁克爾·喬丹的命中率是49%，而雷吉·米勒的命中率是47%，邁克爾·喬丹技高一籌。這是怎么算的呢？

其實(shí)，這個(gè)很簡(jiǎn)單，因?yàn)槊新屎蛨?chǎng)均分?jǐn)?shù)無關(guān)，我們只需要將場(chǎng)均命中的次數(shù)除以場(chǎng)均嘗試的次數(shù)就可以了。對(duì)于邁克爾·喬丹來說，其場(chǎng)均命中率為（21.2×51%+1.7×29%）/（21.2+1.7）≈49%，按照同樣的方法算得雷吉·米勒的場(chǎng)均命中率約為47%。結(jié)果很驚訝吧？