一類變系數(shù)波方程耦合系統(tǒng)局部解的適定性

蘭 杰

(山西財(cái)貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 太原 030031)

0 引言

本文研究的是變系數(shù)波方程耦合系統(tǒng):

(1)

其中Ω?Rn(n≥2)是具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域,a,b>0,p>1,q>2是常數(shù)．A(x)=(aij(x))為正定的對(duì)稱矩陣,aij(x)是Rn中的光滑函數(shù)．我們關(guān)注的是系統(tǒng)(1)局部解的適定性．

在實(shí)際應(yīng)用中,系統(tǒng)(1)表示一類波方程[1，2],可以表示有關(guān)噪音控制的實(shí)際問(wèn)題．這類問(wèn)題在文獻(xiàn)[1]中提出,并在文獻(xiàn)[2]中進(jìn)行了發(fā)展．而波方程解的適定性,在文獻(xiàn)[3-5]中都進(jìn)行了廣泛的討論．

文章主要是運(yùn)用黎曼幾何[4，5]和乘子方法[3，4],在對(duì)p,q合適的假設(shè)下,對(duì)系統(tǒng)(1)局部解的適定性進(jìn)行討論并得到結(jié)論．本文的核心內(nèi)容分為以下兩部分,在第二部分中,引入了黎曼流形中一些符號(hào)表示,提出本文證明中需要的一些假設(shè)條件,并給出文章的主要結(jié)論;第三部分是對(duì)證明所需要引理進(jìn)行引入并且證明,最后證明了本文的主要結(jié)論,即系統(tǒng)(1)局部解的適定性．

1 準(zhǔn)備工作和主要結(jié)論

下面我們引入黎曼流形中的一些符號(hào)表示

令G(x)=(gij(x))=A-1(x),?x∈Rn

(2)

gf=A(x)f

我們對(duì)系統(tǒng)(1)作出如下假設(shè):

(A1)存在θ>0使得

?0≠ξ=(ξ1,ξ2,…,ξn)T∈R2,

(3)

(A2)p,q滿足:

(4)

(5)

并定義能量泛函如下:

(6)

其中

令

定義系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定集如下:

S:={(u,v)∈H0'(Ω)×H0'(Ω):I(u,v)>0}∪{0,0}

則我們有如下主要結(jié)論:

定理1(局部解的適定性)假設(shè)(A1)-(A2)成立,則對(duì)任意的

(u0,v0)∈H0'(Ω)×H0'(Ω),(u1,v1)∈L2(Ω)×L2(Ω)

系統(tǒng)(1)在[0,T]上存在唯一的局部解(u,v)滿足

(u,v)∈(C([0,T]),H0'(Ω)×H0'(Ω)))∩Lp(Ω×(0,T))

(ut,vt)∈(C([0,T]),L2(Ω))2∩Lp(Ω×(0,T))2.

2 主要結(jié)論的證明

2.1 證明主要結(jié)論需要引入的重要引理并對(duì)其進(jìn)行證明

引理1假設(shè)p滿足(4)式(u0,v0)∈S,(u1,v1)∈L2(Ω)×L2(Ω)滿足

E(t)是一個(gè)非增函數(shù),則(u,v)∈S,?t∈[0,T)并且有

(7)

證明 由(u0,v0)∈S,故存在t0∈(0,T],使得I(u,v)≥0,?t∈[0,t0],則由I(u,v),J(u,v)的定義可知

由J(u,v)和E(t)的定義可知,J(u,v)≤E(t);

由于E(t)是非增函數(shù),故E(t)≤E(0),?t∈[0,∞);

?t∈[0,t0]

(8)

則根據(jù)H0'(Ω)|→L2p(Ω),(3),(7)式及Young不等式,得

(9)

故(u,v)∈S,?t∈[0,t0]又因?yàn)?/p>

故重復(fù)以上過(guò)程,可得到存在t1>t0,使得

并且有(u,v)∈S,?t∈[0,t1]

故重復(fù)以上過(guò)程若干次,即可將結(jié)論延拓到[0,T]上去．

2.2 主要結(jié)論的證明

定理1的證明

證明 由引理1可得,(u,v)∈S,?t∈[0,T],故

由連續(xù)性原理即可得

假設(shè)(A1)-(A2)成立,則對(duì)任意的

(u0,v0)∈H0′(Ω)×H0′(Ω),(u1,v1)∈L(Ω)×L(Ω)

系統(tǒng)(1)在[0,T]上存在唯一的局部解(u,v)滿足

(u,v)∈(C([0,T]),H0′(Ω)×H0′(Ω)))∩Lp(Ω×(0,T))

(ut,vt)∈(C([0,T]),L2(Ω))2∩Lp(Ω×(0,T))2.