極坐標(biāo)與參數(shù)方程在高考中的巧解

（貴州省黔東南州岑鞏縣大有鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)，貴州 黔東南 557802）

一、三個(gè)方程的互換

（一）直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互換

由于本章內(nèi)容與三角函數(shù)內(nèi)容聯(lián)系緊密，但是距離三角函數(shù)的學(xué)習(xí)已有很長一段時(shí)間了，因此在教學(xué)之前可就相關(guān)三角函數(shù)公式做一個(gè)簡單的復(fù)習(xí).另外，不少學(xué)生在做此類題目時(shí)不知如何書寫過程，只有最終結(jié)果，教師在教學(xué)過程中要注意加以引導(dǎo)。

（二）普通方程與參數(shù)方程的互換

首先，學(xué)生容易根據(jù)平時(shí)做題的經(jīng)驗(yàn)，想當(dāng)然地去確定參數(shù)，如：參數(shù)方程，當(dāng)t為參數(shù)和 為參數(shù)時(shí)曲線完全不同，應(yīng)提醒學(xué)生仔細(xì)審題、注意細(xì)節(jié).并且當(dāng)t為參數(shù)時(shí)，曲線為一條直線，這時(shí)對(duì)于曲線的普通方程，學(xué)生常通過移項(xiàng)后兩式作商來消參，往往忽視對(duì)θ 是否為進(jìn)行討論.2018 年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅱ理科第22 題就有對(duì)此問題的考查。

其次，在參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程時(shí)，運(yùn)用的是消參的方法，而消參要特別注意變量的范圍.因此，消參得到普通方程后，還需在參數(shù)方程中找到變量的范圍，進(jìn)而確定是否需要加以限制，此步驟往往涉及到函數(shù)的值域問題。

例1：把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線。

由于k 做了分母，不能為0，因此求出的普通方程是需要“摳點(diǎn)”的，而很多學(xué)生忽略了這一點(diǎn).這就需要我們教師在平時(shí)教學(xué)中遇到消元或換元問題時(shí)，跟學(xué)生強(qiáng)調(diào)“消元與換元都要注意變量的取值范圍”，甚至可用生活中的實(shí)例“甲、乙兩位同學(xué)一起掃地，甲離開了，那么他的任務(wù)就會(huì)落到乙的頭上”來幫助學(xué)生理解，強(qiáng)調(diào)得多了，學(xué)生的印象自然就深刻.無獨(dú)有偶，2019 年全國數(shù)學(xué)高考卷Ⅰ理科第22 題的第1 小題再次對(duì)此類問題進(jìn)行了考查。

二、參數(shù)方程的應(yīng)用

（一）直線參數(shù)方程中參數(shù)幾何意義的應(yīng)用

若已知直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，且直線與曲線交于點(diǎn)A，B，要求｜AB｜，｜PA｜·｜PB｜，｜PA｜＋｜PB｜（其中點(diǎn)P 為直線上一定點(diǎn)），以及與AB 的中點(diǎn)相關(guān)的問題時(shí)，利用直線參數(shù)方程則較為簡單.這4種類型的問題中，學(xué)生最容易犯錯(cuò)的是求｜PA｜＋｜PB｜，即便學(xué)生知道要利用韋達(dá)定理中t1+t2 的符號(hào)來判斷t1 與t2 同號(hào)或異號(hào)，也容易在｜t1 ＋t2｜與｜t1－t2｜上出錯(cuò).其根本原因在于對(duì)參數(shù)t 的幾何意義理解不到位，t 的幾何意義不是距離，而是t 的絕對(duì)值為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)間的距離，動(dòng)點(diǎn)在定點(diǎn)上方時(shí)為正、在下方時(shí)為負(fù).在教學(xué)中，教師要注意為學(xué)生展示直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的推導(dǎo)過程，可師生共同討論，總結(jié)出參數(shù)t 的幾何意義，重視知識(shí)的產(chǎn)生過程，為學(xué)生打好基礎(chǔ)。

三、總結(jié)

教學(xué)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在做題中由于習(xí)慣了利用曲線的直角坐標(biāo)方程解題，就像剛學(xué)習(xí)弧度制時(shí)，學(xué)生不習(xí)慣使用一樣，加之對(duì)極坐標(biāo)與參數(shù)方程的認(rèn)識(shí)模糊不清，初學(xué)時(shí)往往會(huì)采用第一種思路。然而高考在前面的解析幾何大題中對(duì)第一種思路已經(jīng)有所考查，選做題中重復(fù)考查的可能性較小，并且第一種思路往往計(jì)算量較大，即便解出正確結(jié)果也耗時(shí)偏多。因此，如何在有限的時(shí)間內(nèi)選擇合適的解題方法就顯得十分重要，這就需要我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中要求學(xué)生養(yǎng)成在做題前先在稿紙畫出草圖研究各曲線的關(guān)系，即通過數(shù)與形的結(jié)合確定解題方法，在實(shí)際應(yīng)用中，慢慢加深對(duì)極坐標(biāo)、參數(shù)方程的認(rèn)識(shí)。

總之，這一章的教學(xué)要重視基礎(chǔ)，讓學(xué)生清楚“2 個(gè)坐標(biāo)系、3 個(gè)方程”的區(qū)別與聯(lián)系.運(yùn)用好典型例題，教學(xué)生養(yǎng)成解題前先畫圖的好習(xí)慣，準(zhǔn)確熟練地運(yùn)用基本原理和公式，掌握極坐標(biāo)與參數(shù)方程獨(dú)特的解題方法。