剛體教學(xué)中對轉(zhuǎn)矩和角動量的思考

溫利平

摘 要：在經(jīng)典力學(xué)中，轉(zhuǎn)矩和角動量是特別重要的概念，也是很不容易理解的概念。直接講質(zhì)點或質(zhì)點系的定點或定軸轉(zhuǎn)動，難免會艱澀不易懂。本文將其與力學(xué)中的運動學(xué)和動力學(xué)聯(lián)系起來，對定點轉(zhuǎn)動和定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)矩和角動量進行了分析，使關(guān)于轉(zhuǎn)動的教學(xué)更順暢更容易理解。

關(guān)鍵詞：角動量;轉(zhuǎn)矩

一般物體不僅會平動，還會轉(zhuǎn)動、晃動或者彎曲，為了研究的方便，我們可以使問題簡化一些，把剛體作為研究對象，剛體實際上是一種理想模型，它在運動的時候形狀是保持不變的。如果我們不考慮剛體質(zhì)心的運動，那么剛體就只剩下轉(zhuǎn)動了。如果物體以某個固定軸轉(zhuǎn)動，則該轉(zhuǎn)動叫定軸轉(zhuǎn)動。那么，用什么物理量來描述物體的轉(zhuǎn)動呢？我們可以在物體上描一個點當(dāng)作記號，只要知道這個點運動到什么地方，就能準(zhǔn)確地說出物體的位置，而描述這個點的位置，只要一個角度就夠了，因此，我們要描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動，只要研究角度隨時間的變化關(guān)系就可以了。

一、從運動學(xué)角度描述轉(zhuǎn)動

為了研究轉(zhuǎn)動，就要觀察物體轉(zhuǎn)過的角度，即從某一個時刻到另一個時刻整個物體位置的角變化。類似于一維運動中描述物體的位置和速度那樣，平面轉(zhuǎn)動中描述物體的角位置和角速度。在一維運動中描述物體在某一時刻運動的快慢用瞬時速度表示，在平面定點轉(zhuǎn)動中描述質(zhì)點在某一時刻的轉(zhuǎn)動快慢用轉(zhuǎn)動速度表示，把角速度對時間再次微分，就得到了角加速度，此項與平動中的加速度對應(yīng)。

如下圖所示，一個質(zhì)點經(jīng)過時間后，從P點繞著坐標(biāo)原點以半徑轉(zhuǎn)到了Q點，通過數(shù)學(xué)知識我們可以得到以下方程式：

……（1）

……（2）

如果物體的角速度恒定，通過以上兩個式子可求出：;直角坐標(biāo)系中速度的矢量就可以寫成：;速度的大小就可以寫成。這也是勻速圓周運動中線速度與角速度的關(guān)系，對于這個關(guān)系也不難理解，因為質(zhì)點在時間內(nèi)走過的路程是弧長，那么單位時間內(nèi)走過的路程就是。

以上是我們通過把轉(zhuǎn)動運動學(xué)和質(zhì)點運動學(xué)規(guī)律聯(lián)系起來后，發(fā)現(xiàn)了線量和角量的關(guān)系，其理論基礎(chǔ)是：質(zhì)點的角度在發(fā)生變化時，它的位置矢量在坐標(biāo)軸上的投影也會隨之發(fā)生變化。

二、從動力學(xué)角度描述轉(zhuǎn)動

既然是動力學(xué)，就要引入一個新的物理量“力”。首先，我們要找到一個“物理量”，這個物理量對轉(zhuǎn)動的作用就像力對線性運動的作用，換句話說，就是力是改變物體平動運動狀態(tài)的原因，那么哪個物理量是改變物體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的原因。要使一個物體轉(zhuǎn)動，就需要一個“扭轉(zhuǎn)力”，我們可以先叫它“轉(zhuǎn)矩”（torque一詞起源于拉丁文torquere，是扭轉(zhuǎn)的意思），剛體的定軸轉(zhuǎn)動可以類比質(zhì)點的一維運動，對一維運動，質(zhì)點在力的作用下發(fā)生位移，則該力對質(zhì)點做功了，同理，如果剛體在轉(zhuǎn)矩的作用下發(fā)生了角位移，則轉(zhuǎn)矩就對剛體做功了。舉例：某個力作用在剛體上某一點，如果剛體定軸轉(zhuǎn)過一個很小的角度，那么如何來求這個力做的功[1]？

很明顯……（3）

結(jié)合（1）（2）式，功也可以表示成

……（4）

（4）式表明功可以表示成質(zhì)點轉(zhuǎn)過的角度乘以“力和距離的組合”，這個括號內(nèi)的力和距離的組合就是我們前面提到的轉(zhuǎn)矩。轉(zhuǎn)矩一般也叫力矩，其中“矩”是用離開軸的距離多少增加權(quán)重的。由以上分析可得出：功除了可以定義為力和位移的點乘，也可以定義為轉(zhuǎn)矩乘角度。轉(zhuǎn)矩并不是一個新概念，它借助于力的定義并與牛頓力學(xué)相關(guān)。

在平面運動中，如果剛體受到多個力產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩，也是適用的，轉(zhuǎn)矩可以代數(shù)相加。功就等于總轉(zhuǎn)矩M和的乘積。對二維轉(zhuǎn)動有

……（5）

特別強調(diào)：（5）式是對給定轉(zhuǎn)軸而言的，如果選擇的轉(zhuǎn)軸變了，一般情況下轉(zhuǎn)矩的值也會改變。當(dāng)然轉(zhuǎn)矩還有一個有趣的公式：

三、以質(zhì)點為例談?wù)劷莿恿康囊?/p>

牛頓第二定律表明，合外力是一群質(zhì)點總動量的變化率。以此類比，合外轉(zhuǎn)矩是質(zhì)點系的總角動量的變化率。假設(shè)一個質(zhì)點繞著o點做平面曲線運動，半徑r可以改變，就像地球繞著太陽運動一樣。

根據(jù)轉(zhuǎn)矩公式（5），再結(jié)合牛頓第二定律有

上式表明轉(zhuǎn)矩實際上是某個量隨時間的變化率，我們給這“某個量”起個名字就叫角動量。

……（6）

（6）式對相對論同樣成立。很對稱和巧妙的是，轉(zhuǎn)矩是用力的分量表示，角動量是用線動量的分量表示。

從以上推論可知：角動量不能反映質(zhì)點離開原點的快慢，但能反映出質(zhì)點圍繞原點轉(zhuǎn)動的快慢。即，角動量只和動量的切向分量有關(guān)，這也說明角動量的大小不僅和動量有關(guān)，還和動量臂有關(guān)。，因為涉及到位置矢量，所以角動量和軸的位置也有關(guān)系。

四、對角動量守恒的應(yīng)用拓展

對一個固定點或固定轉(zhuǎn)軸，當(dāng)物體不受力矩或合外力矩為零時，物體的角動量保持不變，這個結(jié)論就叫角動量守恒定律[2]。物體的角動量可以看成兩部分之和，一部分來自物體質(zhì)心的運動，另一部分來自于物體相對質(zhì)心的運動。如果考慮大量質(zhì)點在有內(nèi)力和外力作用的同時繞著一個固定軸轉(zhuǎn)動的問題，我們可以應(yīng)用牛頓第三定律得到一個結(jié)果：兩個相互作用力具有相同的力臂，力的方向卻相反，所以由它們產(chǎn)生的兩個轉(zhuǎn)矩等大反向，內(nèi)轉(zhuǎn)矩之和為零，即，內(nèi)轉(zhuǎn)矩不影響質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動效果。那么，由此可以得到一個定理：質(zhì)點系相對于任何軸的角動量的變化率和質(zhì)點系相對于該軸的外轉(zhuǎn)矩之和是相等的。我們可以把物理中常常提到的剛體當(dāng)成質(zhì)點系來處理。因為剛體的運動是大量質(zhì)點運動的集合。

（一）開普勒定律就是角動量守恒定律的語言表述。對于一個系統(tǒng)來說，如果系統(tǒng)總的外轉(zhuǎn)矩為零，則這個系統(tǒng)的總角動量不變，這就是角動量守恒定律。角動量守恒定律在經(jīng)典力學(xué)中很重要。以行星圍繞太陽運動為例，行星的轉(zhuǎn)矩為零，因此角動量守恒。行星圍繞太陽運動的面積變化率與角動量成正比，因此行星在相等時間內(nèi)掃過的面積相等，這正是開普勒第二定律的內(nèi)容。

（二）陀螺儀是角動量守恒的一個很好的例證。陀螺儀有兩個特性：進動性和定軸性，這兩種特性都是建立在角動量守恒的原則下[3]。陀螺儀的轉(zhuǎn)動慣量不隨時間變化，如果將陀螺儀的轉(zhuǎn)軸指向某一個方向，當(dāng)轉(zhuǎn)子繞自身的對稱軸以固定角速度高速旋轉(zhuǎn)時，無論如何改變框架的方位，其中心軸空間取向始終保持不變，從而具有導(dǎo)航能力[4]。隨著科技的發(fā)展，陀螺儀從最早的航海導(dǎo)航到現(xiàn)在的航空和國防工業(yè)。陀螺儀的基本特點是它的進動性和穩(wěn)定性。利用這些性質(zhì)，陀螺儀能被用來作信號傳感器，它能提供準(zhǔn)確的位置信息、速度和加速度信息，這些信息被用來控制導(dǎo)彈或探測火箭的飛行姿態(tài)和飛行軌道。陀螺儀也可以作為穩(wěn)定器被安裝在衛(wèi)星相機上。

在經(jīng)典力學(xué)中，角動量已經(jīng)很重要了，我們都知道，對孤立運動體系而言，它的總角動量是常量。當(dāng)然，在某些情況下或一些約束條件下，非孤立系統(tǒng)的總角動量也可以是一個常量。對于角動量在經(jīng)典力學(xué)中的這些性質(zhì)，在量子力學(xué)中有等價結(jié)果。比如有經(jīng)典類比的軌道角動量，比如沒有經(jīng)典類比的自旋角動量（屬于基本粒子的內(nèi)稟角動量）。當(dāng)然，量子力學(xué)中的角動量理論完全建立在一些對易關(guān)系上，這就意味著角動量的三個分量不可能同時測量。

由此可知，無論是經(jīng)典力學(xué)還是量子力學(xué)，角動量都是一個非常值得思考和重視的物理量。

參考文獻

[1] 費曼，萊頓，桑茲.費恩曼物理學(xué)講義[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2013：189-191.

[2] 馬文蔚，周雨青.物理學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2014：119-126.

[3] 邵懷華，卓玉霖.陀螺進動中的“角動量不守恒”問題[J].物理與工程，2018，28（6）：39-42.

[4] 王志剛，張立換，徐建軍.角動量理論在現(xiàn)代技術(shù)中的應(yīng)用[J].現(xiàn)代物理知識，2017（1）：10-13.