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    整體著眼 巧妙求值

    2020-12-06 04:37:56
    初中生世界 2020年41期
    關(guān)鍵詞:所求代數(shù)式考試題

    代數(shù)式求值問題是歷年中考試題中一種極為常見的題型,它除了按常規(guī)思路代入求值外,還可以利用整體思想方法對代數(shù)式進(jìn)行化簡求值,這就需要我們對代數(shù)式的整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析和改造,善于用“整體”的眼光,把某些代數(shù)式看成一個(gè)整體,把握它們之間的內(nèi)在聯(lián)系,進(jìn)行有目的、有意識的處理。下面彭老師以幾道中考試題為例與大家一起分析,構(gòu)建解題思路。

    一、直接整體代入求值

    例1(2018·湖南岳陽)已知a2+2a=1,則3(a2+2a)+2的值為________。

    解:∵a2+2a=1,

    故答案為5。

    【評析】本題中我們將a2+2a作為一個(gè)整體直接代入,解題的關(guān)鍵是學(xué)會用整體代入的思想解決問題。

    變式(2018·江蘇無錫)若3a-2b=2,則代數(shù)式2b-3a+1的值等于( )。

    A.-1 B.-3 C.3 D.5

    解:當(dāng)3a-2b=2時(shí),

    故選A。

    【評析】本題中我們將3a-2b作為一個(gè)整體,而所求的代數(shù)式中并沒有直接出現(xiàn)3a-2b,而是出現(xiàn)了3a-2b的倍數(shù),從而我們可以將所求代數(shù)式先變形后再整體代入求值。

    二、部分整體代入求值

    例2(2019·江蘇常州)如果a-b-2=0,那么代數(shù)式1+2a-2b的值是______。

    解:∵a-b-2=0,

    故答案為5。

    【評析】本題中,我們可以把所給條件中的部分項(xiàng)組成一個(gè)整體,代入到要求的代數(shù)式中。一般來說,要求的代數(shù)式中,必然也有部分項(xiàng)可以看作一個(gè)整體,是所給條件中部分項(xiàng)整體的倍數(shù)關(guān)系。同樣,求解時(shí),別忘了給已知條件的部分項(xiàng)添上括號和系數(shù)。

    三、兩次代入求值

    例3(2019·遼寧大連改編)當(dāng)x=1時(shí),代數(shù)式mx3+nx+1 的值是5,求當(dāng)x=-1時(shí),mx3+nx+1的值為________。

    解:∵當(dāng)x=1時(shí),

    故答案為-3。

    【評析】本題中,我們需要把x=1 代入代數(shù)式mx3+nx+1中,但是僅僅代一次是不能解決問題的。因?yàn)橹荒艿玫疥P(guān)于m、n的多項(xiàng)式作為整體,所以我們需要把x=-1再次代入,觀察此時(shí)關(guān)于m、n的多項(xiàng)式的整體與之前的關(guān)系,并求值。

    四、拆項(xiàng)重組代入求值

    例4(2019·北京大興期末)已知:m2+mn=6,mn-n2=-4,求下列代數(shù)式的值:

    【評析】這種類型的題目,因?yàn)闊o法直接求出m、n的具體數(shù)值,所以我們只能觀察所求的代數(shù)式與所給的代數(shù)式之間的聯(lián)系。我們通常將中間同時(shí)含有字母mn的項(xiàng)拆解,使其中一項(xiàng)與第一項(xiàng)合并后是所給第一個(gè)整體的倍數(shù),另一項(xiàng)與最后一項(xiàng)合并后是所給第二個(gè)整體的倍數(shù)。(1)將2mn拆成mn+mn;(2)將0 拆成mn-mn;(3)看到第一項(xiàng)為2m2,則有一項(xiàng)被拆成2mn,湊出第一個(gè)所給整體的2倍。

    用整體思想解決代數(shù)式的求值問題,就是把一些看似彼此獨(dú)立而實(shí)質(zhì)是緊密相連的代數(shù)式看作一個(gè)整體。這樣做,不僅可以擺脫固定模式的束縛,使復(fù)雜問題變得簡單,陌生的問題變得熟悉,往往還可以解決按常規(guī)方法解決不了的問題。

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