基于Tikhonov 正則化參數(shù)矩陣的激光吸收光譜燃燒場二維重建光路設(shè)計(jì)方法*

李寧 Tu Xin 黃孝龍 翁春生

1) (南京理工大學(xué)瞬態(tài)物理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南京 210094)

2) (Department of Electrical Engineering and Electronics， University of Liverpool， Liverpool L69 3GJ， UK)

有限投影條件下激光吸收光譜二維測量光路優(yōu)化對燃燒場重建結(jié)果具有重要影響. 針對基于Tikhonov正則化的病態(tài)投影方程組求解問題， 提出了基于正則化參數(shù)矩陣的光路設(shè)計(jì)與二維重建方法. 建立了基于Tikhonov 正則化參數(shù)矩陣的光路設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)， 利用遺傳算法獲得最佳光路布置方式， 通過匹配光路與正則化參數(shù)分布對測量區(qū)域內(nèi)正則化權(quán)重進(jìn)行調(diào)整以減小重建誤差. 采用7185.6 cm—1 波段H2O 特征譜線并結(jié)合20 條投影光路對10 × 10 離散化測量區(qū)域內(nèi)雙峰高斯分布模型進(jìn)行了重建， 對5 種光路布置方式重建結(jié)果進(jìn)行了對比分析， 結(jié)果表明基于Tikhonov 正則化參數(shù)矩陣的光路布置方式重建結(jié)果最佳. 光路數(shù)量越少， Tikhonov正則化參數(shù)矩陣作用效果越明顯. 開展了針對氣液兩相脈沖爆轟發(fā)動機(jī)外流場的模擬測量研究， 驗(yàn)證了本文光路布置方式在復(fù)雜多變流場環(huán)境下重建效果. 在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)針對小型燃?xì)鉅t進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測試， 重建燃燒場峰值位置和幅值與實(shí)際情況吻合. 研究結(jié)果對于推動激光吸收光譜二維重建技術(shù)在發(fā)動機(jī)診斷及燃燒效率提升方面的應(yīng)用具有重要意義.

1 引 言

可調(diào)諧半導(dǎo)體激光吸收光譜技術(shù)(TDLAS)通過掃描氣體特征吸收譜線實(shí)現(xiàn)對氣體組分及溫度的實(shí)時(shí)監(jiān)測， 具有測量靈敏度高、時(shí)間分辨率高、不受背景氣體干擾等突出優(yōu)點(diǎn)， 是發(fā)動機(jī)性能測試的有效手段[1-5]. 由于測量原理及硬件設(shè)備限制，可調(diào)諧半導(dǎo)體激光吸收光譜技術(shù)難以直接進(jìn)行二維重建， 需通過設(shè)計(jì)多光路測量系統(tǒng)并與斷層圖像重建技術(shù)相結(jié)合， 實(shí)現(xiàn)對組分濃度或溫度二維分布測量， 從而在發(fā)動機(jī)燃燒診斷優(yōu)化、等離子體射流研究、大氣污染物監(jiān)控等方面發(fā)揮更大的作用[6-10].

受測量空間的限制， 可調(diào)諧半導(dǎo)體激光吸收光譜測量系統(tǒng)可布置的測量光路有限， 光路數(shù)量遠(yuǎn)小于網(wǎng)格數(shù)量， 測量區(qū)域內(nèi)存在大量無光路通過的離散網(wǎng)格， 屬于典型的病態(tài)方程組求解問題. 常見的求解算法包括迭代求解法[11，12]， 如代數(shù)迭代算法(ART)、最小平方QR 分解法(LSQR)等， 或采用如模擬退火算法(SA)、遺傳算法(GA)等全局性搜索算法[13，14]， 但這些算法并不能對無光路通過區(qū)域進(jìn)行求解， 在光路數(shù)量較少時(shí)重建誤差較大. 一種可行的解決方法是對病態(tài)方程組采用正則化策略， 如Tikhonov 正則化等， 即通過增加約束方程組控制解的平滑性， 使得方程組的解連續(xù)且唯一.此時(shí)不但可以利用上述求解算法獲得較好的燃燒場重建結(jié)果， 還可以通過奇異值分解(SVD)等方法對方程組進(jìn)行數(shù)學(xué)分析.

實(shí)現(xiàn)在有限投影數(shù)量條件下的光路布置設(shè)計(jì)和優(yōu)化是提升激光吸收光譜二維重建能力的重要環(huán)節(jié)， 部分學(xué)者對此進(jìn)行了深入研究. Terzija 等[15]率先提出基于投影域坐標(biāo)位置優(yōu)化的光路設(shè)計(jì)方法， 即將測量區(qū)域內(nèi)光路位置轉(zhuǎn)化為投影域坐標(biāo)點(diǎn)， 通過增加各個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)之間相互距離以最大程度覆蓋測量區(qū)域， 進(jìn)一步提升重建效果. 盡管開展了實(shí)驗(yàn)研究， 但并沒有給出相關(guān)理論分析. Song 等[16]以測量網(wǎng)格內(nèi)光路數(shù)量作為權(quán)重系數(shù)(GWF)并建立目標(biāo)函數(shù)， 通過優(yōu)化光路布置使得GWF 達(dá)到最大值. 文中采用仿真對4 種光路布置方式進(jìn)行對比， 但同樣沒有對該方法進(jìn)行理論分析. Twynstra等[17]采用Tikhonov 正則化方法求解激光吸收光譜二維重建問題， 通過理論推導(dǎo)給出了基于單一正則化參數(shù)的光路設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù). 考慮到采用的正則化矩陣并非傳統(tǒng)0 階或1 階微分算子， 研究中沒有采用傳統(tǒng)Morozov 偏差原理或L曲線準(zhǔn)則確定正則化參數(shù)， 而是根據(jù)奇異值分布情況給出正則化參數(shù)選取范圍， 通過模擬仿真驗(yàn)證了優(yōu)化后光路布置方式的重建效果. Grauer 等[18]提出了基于Bayesian原理的光路設(shè)計(jì)思想， 在采用Tikhonov正則化和單一正則化參數(shù)的基礎(chǔ)上提出了基于后驗(yàn)協(xié)方差矩陣的光路優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)(MAP)， 理論推導(dǎo)了函數(shù)表達(dá)式并采用兩組模型對該方法設(shè)計(jì)光路進(jìn)行了驗(yàn)證， 仿真結(jié)果表明該函數(shù)可以作為衡量重建誤差的指標(biāo)， 實(shí)現(xiàn)對于有限數(shù)量條件下的光路設(shè)計(jì).Yu 等[19]針對代數(shù)迭代算法重建的特點(diǎn)， 提出了以最小化矩陣向量正交度(MOD)為目標(biāo)函數(shù)的光路設(shè)計(jì)方法. 其主要思想是進(jìn)一步減小投影光路之間的線性相關(guān)性， 使得光路布置可以攜帶盡可能多的測量區(qū)域信息數(shù)據(jù). 該方法以最小化矩陣向量正交度為目標(biāo)， 優(yōu)化過程中并未考慮任何先驗(yàn)信息，因此并不適用于采用平滑策略的正則化方法.

較少的測量光路很難均勻分布于測量網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)， 因此利用Tikhonov 正則化方法處理病態(tài)方程組時(shí)單一正則化參數(shù)難以滿足不同測量區(qū)域內(nèi)對于正則化權(quán)重調(diào)整的需求. 本文提出了一種基于Tikhonov 正則化參數(shù)矩陣的TDLAS 燃燒場二維重建光路設(shè)計(jì)方法， 利用矩陣內(nèi)非均勻分布的正則化參數(shù)實(shí)現(xiàn)對不同測量區(qū)域內(nèi)正則化權(quán)重的調(diào)整. 理論推導(dǎo)了基于Tikhonov 正則化參數(shù)矩陣的光路設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)， 采用遺傳算法獲取了優(yōu)化光路布置方式. 利用模型仿真將本文方法與其他方法進(jìn)行了對比， 驗(yàn)證了基于Tikhonov 正則化參數(shù)矩陣光路布置方式的重建效果. 該方法可為TDLAS 技術(shù)應(yīng)用于少投影條件下的燃燒場二維重建光路設(shè)計(jì)與Tikhonov 正則化求解提供指導(dǎo)， 具有重要理論研究意義和工程應(yīng)用前景.

2 TDLAS 二維重建光路設(shè)計(jì)方法

2.1 基于Tikhonov 正則化的TDLAS 二維重建理論分析

一束波長為v的激光束透射過待測介質(zhì)時(shí)， 激光強(qiáng)度受氣體特征吸收譜線影響， 強(qiáng)度變化可根據(jù)Beer 定律進(jìn)行描述：

其中，It為穿越待測氣體介質(zhì)后透射激光強(qiáng)度；I0為無氣體吸收時(shí)初始激光強(qiáng)度；P為氣體介質(zhì)壓力；L為激光在氣體介質(zhì)中傳播光程；X為體積濃度；φ(ν)為特征譜線線型函數(shù)， 在整個(gè)頻域范圍內(nèi)積分值為1；S(T) 為特征譜線線強(qiáng)函數(shù)；b(ν) 定義為測量得到的光譜吸收系數(shù). 圖1 所示為激光吸收光譜二維測量光路系統(tǒng)示意圖.

圖1 激光吸收光譜二維測量光路系統(tǒng)示意圖Fig. 1. Geometry of transmitted laser beam in tomography measurement.

為實(shí)現(xiàn)燃燒場二維診斷， 需從不同角度和位置布置投影光路， 獲得足夠的投影信息以實(shí)現(xiàn)對燃燒場組分溫度分布的重建. 將測試區(qū)域離散化為n個(gè)圖像網(wǎng)格， 假定每個(gè)網(wǎng)格內(nèi)氣體組分溫度分布均勻， 最終測量得到的光譜吸收系數(shù)積分值由穿越離散化區(qū)域各個(gè)網(wǎng)格內(nèi)氣體吸收貢獻(xiàn)值疊加而成，(1)式可表示為

其中，Aij為第i條光路穿越第j個(gè)網(wǎng)格時(shí)的光路長 度；xj為第j個(gè)網(wǎng)格內(nèi)氣體吸收系數(shù)；bi為 第i條光路測量得到的投影值， 即該光路穿越測試區(qū)域得到的光譜吸收系數(shù)累積值. 因此， 對于光路數(shù)量為m的光學(xué)測試系統(tǒng)， 燃燒場二維重建的核心是求解如下投影方程組：

其中，A為m×n系數(shù)矩陣，x為n×1 未知數(shù)向量，b為m×1 投影向量. 對于激光吸收光譜二維重建測量而言， 由于受到測量空間、設(shè)備成本等實(shí)際條件限制， 光路數(shù)量m遠(yuǎn)小于網(wǎng)格數(shù)量n， 投影數(shù)量有限， 因此激光吸收光譜二維重建研究屬于典型的病態(tài)方程組求解問題. 增加正則化條件是求解病態(tài)方程組的有效方法， 典型方法如Tikhonov 正則化，增加約束條件保證(3)式存在唯一解. 此時(shí)方程組求解轉(zhuǎn)化為求最小值問題：

其中：λ為正則化參數(shù)；L為n×n正則化矩陣， 是微分算子的離散形式. 傳統(tǒng)Tikhonov 正則化中正則化矩陣L一般為0 階微分算子(單位陣)或1 階微分算子. 考慮到實(shí)際流場中存在連續(xù)性條件， 這里正則化矩陣L采用以下算子形式：

其中，k為與第i個(gè)網(wǎng)格相鄰的網(wǎng)格數(shù). 此時(shí)， 最小化問題等價(jià)于求解如下正則化線性方程組：

由于ATA半正定， 因此只要正則化參數(shù)λ非零， (6)式的解可表示為

分析正則化解xλ與精確解xexact之間的誤差δx， 通過進(jìn)一步推導(dǎo)可以得到：

其中I為單位矩陣. 可以看出， 直接影響δx的因素包括系數(shù)矩陣A與正則化參數(shù)λ， 通過合理的光路設(shè)計(jì)與參數(shù)選擇， 可以有效減小誤差δx. 定義F為光路設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)， 用于對激光吸收光譜二維重建光路進(jìn)行優(yōu)化：

2.2 基于Tikhonov 正則化參數(shù)矩陣的光路設(shè)計(jì)方法

Twynstra 提出的光路設(shè)計(jì)方法是首先確定正則化參數(shù)λ[15]， 進(jìn)而通過計(jì)算(9)式獲取優(yōu)化后的光路布置方式使δx達(dá)到最小. 正則化參數(shù)λ的選取對重建效果具有重要影響. 由于采用的正則化矩陣L并非單位陣， 因此這里不能采用傳統(tǒng)的L曲線等正則化參數(shù)確定方法. 一種可行的方法是利用奇異值分解方法對增廣矩陣 [A;λL] 進(jìn)行分析：

其中：U和V分別為左 右奇異值向量ui和vi組成的矩陣；Σ為奇異值σi組成的對角陣，Σ中前m個(gè)奇異值為原系數(shù)矩陣A的奇異值， 正則化參數(shù)λ的引入不能對原系數(shù)矩陣A的m個(gè)奇異值產(chǎn)生明顯影響. 圖2 為針對10 × 10 離散化網(wǎng)格和光路數(shù)量為20 的光學(xué)測試系統(tǒng)， 不同正則化參數(shù)λ作用下增廣矩陣 [A;λL] 奇異值分布結(jié)果.

根據(jù)圖2 中λ對系數(shù)矩陣A奇異值的影響，λ取值應(yīng)介于0.1 至1 之間. 當(dāng)正則化參數(shù)λ取值大于1 時(shí)， 引入λ可以使正則化解xλ范數(shù)減小， 但以犧牲殘差‖Ax ?b‖為代價(jià)， 導(dǎo)致過度平滑從而使重建結(jié)果失真， 重建誤差明顯增大； 當(dāng)λ小于1 時(shí)，引入λ不會對原系數(shù)矩陣A奇異值產(chǎn)生影響， 殘差‖Ax ?b‖較小. 但λ過小將導(dǎo)致增廣矩陣 [A;λL] 中其他奇異值迅速減小. 小奇異值對應(yīng)的奇異向量對噪音敏感， 從而使得正則化作用減弱， 同樣會影響重建結(jié)果. 在本文后續(xù)對不同光路重建效果對比中， 正則化參數(shù)λ取值為0.5.

圖2 不同正則化參數(shù) λ 影響下增廣矩陣 [ A;λL] 奇異值變化曲線Fig. 2. Singular values of the augmented matrix[A;λL]with various λ.

由于光路數(shù)量m遠(yuǎn)小于網(wǎng)格數(shù)量n， 因此光路在測量網(wǎng)格區(qū)域內(nèi)的分布難以均勻. 采用單一正則化參數(shù)λ意味著在整個(gè)測量區(qū)域內(nèi)正則化權(quán)重均保持一致， 與實(shí)際情況不符. 本文提出了采用n×n正則化參數(shù)矩陣λ的概念， 正則化參數(shù)矩陣λ為對角陣， 其定義為

其中， 對角陣對角元素滿足λ1≥λ2≥λ3≥···≥λn≥0 . 采用正則化參數(shù)矩陣λ后， 通過調(diào)節(jié)正則化參數(shù)矩陣中元素值， 使得正則化參數(shù)矩陣λ與光路布置方式所對應(yīng)的系數(shù)矩陣A更加匹配， 從而進(jìn)一步提升二維重建效果. 此時(shí)對應(yīng)的光路設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)表示為

為設(shè)計(jì)合理的光路布置方式， 需對光路設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)(12)式進(jìn)行求解. (12)式包含系數(shù)矩陣A中2m個(gè)光路位置未知量， 以及正則化參數(shù)矩陣λ中n個(gè)矩陣元素未知量， 屬于典型的非線性方程組求解問題. 傳統(tǒng)的非線性方程組求解方法， 如Levenberg-Marquardt 方法等， 求解速度快， 但是對于多極值函數(shù)而言極易陷入局部最優(yōu)之中， 本文中采用遺傳算法對此進(jìn)行計(jì)算. 遺傳算法是模擬自然進(jìn)化中“適者生存”的原理來進(jìn)行自學(xué)習(xí)和尋優(yōu)的， 不受搜索空間的限制性假設(shè)約束， 具有內(nèi)在并行性、收斂速度快的優(yōu)點(diǎn). 圖3 為采用遺傳算法對10 × 10 離散化網(wǎng)格和光路數(shù)量為20 的光路設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)求解過程， 遺傳算法在運(yùn)行200 代以后逐漸趨于穩(wěn)定， 獲得優(yōu)化后的光路布置方式與正則化參數(shù)分布圖像.

圖3 光路布置目標(biāo)函數(shù)遺傳算法求解過程Fig. 3. Evolution of objective function by genetic algorithm.

本文中采用Tikhonov 正則化方法直接進(jìn)行重建計(jì)算， 獲得光譜吸收系數(shù)分布圖像， 根據(jù)不同譜線的吸收系數(shù)分布結(jié)果可以進(jìn)一步計(jì)算燃燒場溫度與濃度分布. 本文側(cè)重于有限投影下光路設(shè)計(jì)方法研究及相應(yīng)光路布置方式下的重建效果評估， 因此僅對吸收系數(shù)分布進(jìn)行了分析. 為衡量重建圖像質(zhì)量， 定義重建誤差為

3 TDLAS 二維重建仿真

3.1 正則化參數(shù)矩陣作用及影響因素分析

正則化方法的實(shí)質(zhì)是將求解投影方程(3)式轉(zhuǎn)化為實(shí)現(xiàn)投影方程與正則化方程之間的相對平衡， 而正則化參數(shù)矩陣λ控制著殘差‖Ax ?b‖與‖λLx‖之 間的權(quán)重. 為直觀說明正則化參數(shù)矩陣λ的作用， 以常見扇形光路布置方式為例進(jìn)行說明.扇形光路布置采用4 個(gè)投影角度， 每個(gè)投影角度均勻布置5 條光路， 根據(jù)扇形光路布置方式獲得系數(shù)矩陣A， 通過利用(12)式對該扇形光路布置方式對應(yīng)的正則化參數(shù)矩陣λ進(jìn)行計(jì)算， 如圖4 所示.

可以明顯看出， 優(yōu)化后的正則化參數(shù)矩陣λ與所選擇的光路布置方式A緊密相關(guān). 在光路分布較為稀疏的區(qū)域， 正則化參數(shù)矩陣取值較高， 對應(yīng)正則化權(quán)重較大， 意味著該區(qū)域內(nèi)殘差主要由‖λLx‖控制. 正則化參數(shù)矩陣通過控制測量區(qū)域內(nèi)不同位置處的正則化權(quán)重， 實(shí)現(xiàn)對重建效果的進(jìn)一步提升.

根據(jù)(10)式可知， 系數(shù)矩陣A的特征直接影響了正則化參數(shù)矩陣λ取值范圍. 增加測量區(qū)域網(wǎng)格尺寸將導(dǎo)致系數(shù)矩陣A奇異值增大， 進(jìn)而需要增大相應(yīng)正則化參數(shù)矩陣元素值， 以增加殘差‖λLx‖在方程中的權(quán)重， 達(dá)到平滑效果. 對于1 m × 1 m的測量區(qū)域， 正則化參數(shù)矩陣λ取值范圍在1 至10 之間； 對于0.1 m × 0.1 m 測量區(qū)域， 正則化參數(shù)矩陣λ取值范圍在0.1 至1 之間. 在測量區(qū)域尺寸確定的條件下， 加密網(wǎng)格對系數(shù)矩陣A的奇異值影響較小， 因此并不改變正則化參數(shù)矩陣λ取值范圍.

圖4 光路布置方式與相應(yīng)的正則化參數(shù)矩陣 (a) 扇形光路布置； (b) 正則化參數(shù)矩陣元素分布圖像Fig. 4. Beam configuration and corresponding regularization parameter matrix： (a) Fanned beam configuration； (b)distribution of matrix elements in the physical space.

光路數(shù)量變化會導(dǎo)致系數(shù)矩陣A的奇異值數(shù)量發(fā)生變化， 但并不會明顯改變奇異值大小， 因此光路數(shù)量變化并不會直接影響正則化參數(shù)矩陣λ取值范圍. 但值得注意的是， 正則化參數(shù)矩陣λ的作用效果與光路數(shù)量相關(guān). 當(dāng)光路數(shù)量較少時(shí)， 意味著有更多網(wǎng)格依賴于正則化方法進(jìn)行求解， 正則化參數(shù)矩陣λ控制殘差‖λLx‖的作用更加明顯， 此時(shí)采用正則化參數(shù)矩陣λ可以更加有效降低誤差，正則化參數(shù)矩陣λ的優(yōu)勢更為突出. 以20 × 20 離散網(wǎng)格為例， 采用4 個(gè)投影角度的扇形光路布置方式， 每個(gè)投影角度下的光路數(shù)量分別設(shè)定為4 個(gè)、6 個(gè)和8 個(gè)， 對測量區(qū)域內(nèi)100 個(gè)幅值和位置隨機(jī)的高斯分布模型進(jìn)行重建， 研究不同光路數(shù)量下正則化參數(shù)矩陣λ對重建精度的影響.

圖5 為4 × 4 扇形光路布置方式下利用單一正則化參數(shù)和正則化參數(shù)矩陣λ兩種方法對不同高斯分布模型重建誤差對比. 采用正則化參數(shù)矩陣λ方法可使100 個(gè)高斯分布模型重建結(jié)果平均重建誤差ε減小0.018； 在4 × 6 和4 × 8 兩種光路布置方式下平均重建誤差ε分別減小0.008 和0.003.可見， 隨著光路數(shù)量的增加兩種方法重建效果趨于一致， 基于正則化參數(shù)矩陣λ的重建方法在光路數(shù)量較少條件下優(yōu)勢更加明顯.

圖5 4 × 4 扇形光路布置方式下分別利用單一正則化參數(shù)與正則化參數(shù)矩陣方法對100 個(gè)高斯分布模型重建結(jié)果對比Fig. 5. Comparison of reconstruction errors for 4 × 4 fanned beam arrangement and 100 Gauss phantoms calculated by single regularization parameter and regularization parameter matrix.

3.2 基于正則化參數(shù)矩陣的光路設(shè)計(jì)與重建效果對比

利用Tikhonov 正則化參數(shù)矩陣λ， 根據(jù)目標(biāo)函數(shù)(12)式并結(jié)合遺傳算法獲得優(yōu)化后的激光吸收光譜二維測量光路布置方式. 為驗(yàn)證該光路布置方式重建效果， 分別與以下光路布置方式重建結(jié)果進(jìn)行對比： 方式(a)2 投影角度平行光路布置方式；方式(b)4 投影角度扇形光路布置方式； 方式(c)基于Mod 設(shè)計(jì)的光路布置方式； 方式(d)基于單一正則化參數(shù)設(shè)計(jì)的光路布置方式； 方式(e)基于正則化參數(shù)矩陣設(shè)計(jì)的光路布置方式. 光路布置方式及對應(yīng)投影域如圖6 所示.

圖6 5 種光路布置方式空間分布圖與對應(yīng)投影域圖 (a) 2 × 10 平行光路布置方式； (b) 4 × 5 扇形光路布置方式； (c) 基于Mod 設(shè)計(jì)的光路布置方式； (d) 基于單一正則化參數(shù)設(shè)計(jì)的光路布置方式； (e) 基于正則化參數(shù)矩陣設(shè)計(jì)的光路布置方式Fig. 6. Five example beam configuration in the physical space and in Radon space： (a) 2 × 10 parallel beams arrangement； (b) 4 ×5 fanned beams arrangement； (c) beams arrangement designed based on MOD method； (d) beams arrangement designed based on single regularization parameter； (e) beams arrangement designed based on regularization parameter matrix.

在測量區(qū)域內(nèi)建立二維分布模型. 測量對象為燃燒環(huán)境下H2O 組分， 測量譜線為近紅外波段7185.6 cm—1處H2O 特征吸收譜線， 重建模型采用雙峰高斯分布函數(shù). 將測量區(qū)域離散化為10 ×10 網(wǎng)格， 將20 條光路以圖6 所述方式進(jìn)行布置.為了便于對比， 每種光路布置方式均配合Tikhonov正則化直接計(jì)算方法獲得重建結(jié)果. 其中， 前4 種光路布置方式采用單一正則化參數(shù)， 正則化參數(shù)設(shè)定為0.5. 方式(e)為基于正則化參數(shù)矩陣設(shè)計(jì)的光路布置方式， 正則化參數(shù)矩陣中元素取值范圍為0.1 至1. 重建模型與不同光路布置方式重建結(jié)果如圖7 所示.

可以看出， 不同光路布置方式所對應(yīng)的重建結(jié)果具有明顯差異. 光路布置方式(a)和方式(b)對應(yīng)的重建結(jié)果較差， 峰值位置和大小均與模型不同，重建誤差分別為0.28 和0.26， 如圖7(b)和圖7(c)所示. 對于光路布置方式(a)而言， 盡管所有網(wǎng)格內(nèi)均有光路通過， 但投影角度不足仍然導(dǎo)致了較大的重建誤差， 表明在有限投影數(shù)量條件下該規(guī)則化光路布置方式并不合理. 基于Mod 設(shè)計(jì)方法的光路布置方式(c)同樣沒有達(dá)到很好的重建效果， 重建誤差達(dá)到了0.25(圖7(d)). 這主要是由于Mod 方法采用基于最小化矩陣向量正交度的原則進(jìn)行光路優(yōu)化， 其目標(biāo)是減小光路之間的線性相關(guān)性， 在光路設(shè)計(jì)中并沒有考慮正則化的影響.當(dāng)重建算法中無Tikhonov 正則化或正則化作用相對較弱時(shí)， 該光路布置方式具有優(yōu)勢[19]， 但此時(shí)很難獲取無光路網(wǎng)格內(nèi)的光譜信息， 影響重建質(zhì)量.

圖7 二維重建模型與不同光路布置方式重建結(jié)果 (a) 重建模型； (b) 2 × 10 平行光路布置方式； (c) 4 × 5 扇形光路布置方式；(d) 基于Mod 設(shè)計(jì)的光路布置方式； (e) 基于單一正則化參數(shù)設(shè)計(jì)的光路布置方式； (f) 基于正則化參數(shù)矩陣設(shè)計(jì)的光路布置方式Fig. 7. Phantom and reconstruction results from different beam arrangement： (a) Phantom； (b) 2 × 10 parallel beams arrangement；(c) 4 × 5 fanned beams arrangement； (d) beams arrangement designed based on MOD method； (e) beams arrangement designed based on single regularization parameter； (f) beams arrangement designed based on regularization parameter matrix.

基于單一正則化參數(shù)的光路布置方式(d)和基于正則化參數(shù)矩陣的光路布置方式(e)所對應(yīng)的重建結(jié)果較好， 重建燃燒場峰值位置和幅值均與模型吻合， 兩者的重建誤差分別為0.20 與0.18， 如圖7(e)和圖7(f)所示. 相對而言， 基于正則化參數(shù)矩陣的光路布置方式重建效果更加理想. 該方法對測量區(qū)域內(nèi)不同位置處Tikhonov 正則化權(quán)重進(jìn)行自動調(diào)整： 一方面利用平滑約束條件計(jì)算出無光路通過區(qū)域的吸收光譜數(shù)據(jù)， 另一方面在光路通過區(qū)域內(nèi)減小Tikhonov 正則化權(quán)重， 降低對于投影方程‖Ax ?b‖計(jì)算的影響， 達(dá)到最佳的重建效果.

以四峰高斯分布函數(shù)為重建模型， 驗(yàn)證該光路布置方式對復(fù)雜燃燒場的重建能力. 仿真結(jié)果表明基于正則化參數(shù)矩陣的光路布置方式的燃燒場重建誤差為0.24， 依然是上述幾種光路布置方式中的最優(yōu)結(jié)果. 同時(shí)可以看出， 針對更加復(fù)雜燃燒場工況， 較少的光路數(shù)量會導(dǎo)致重建誤差增大. 增加光路數(shù)量可以提高重建燃燒場空間分辨率， 有利于進(jìn)一步改善重建效果.

3.3 噪音對重建結(jié)果的影響

利用圖6(e)中設(shè)計(jì)得到的光路布置方式， 針對重建模型獲取光路投影向量b. 通過對投影向量b添加不同比例的噪音， 模擬實(shí)際測量過程中噪音對于重建精度的影響. 重建誤差ε隨噪音幅值的變化曲線如圖8 所示.

可以看出， 盡管重建誤差ε隨著投影向量b中隨機(jī)白噪音幅值的增加而增大， 但增長幅度較緩.在噪音幅值從0 提高到10 %過程中， 重建誤差ε僅由0.178 增加至0.197. 分析其原因， 主要是由于重建過程中Tikhonov 正則化通過增加約束方程組控制解的平滑性. 當(dāng)正則化參數(shù)矩陣選取范圍適當(dāng)時(shí)，‖λLx‖將 會明顯抑制由投影向量b中噪音所引起的離散化網(wǎng)格間吸收系數(shù)的劇烈變化， 其功能相當(dāng)于對重建結(jié)果進(jìn)行濾波， 在一定程度上達(dá)到抑制噪音的效果， 減小了噪音對重建的影響.

圖8 投影數(shù)據(jù)噪音對重建誤差的影響Fig. 8. Effect of noise in projections on reconstruction error.

4 針對爆轟管外流場二維重建仿真分析

脈沖爆轟發(fā)動機(jī)(PDE)管外流場變化劇烈，是驗(yàn)證光路布置方式和重建方法有效性的理想模型， 因此本文中開展了針對PDE 管外流場二維分布重建的模擬測量研究. 采用數(shù)值計(jì)算方法獲取爆轟過程外流場分布情況， 以此作為模型考察上述幾種光路布置方式對該流場的重建效果.

根據(jù)氣液兩相PDE 物理模型(圖9)， 建立考慮黏性影響下的PDE 外流場軸對稱控制方程， 采用時(shí)空守恒元/求解元(CE/SE)方法進(jìn)行求解. 模型中PDE長為1.4 m， 口徑為0.08 m， 以汽油和空氣為燃料和氧化劑， 初始溫度壓力分別為296 K 和1 atm(1 atm=101325 Pa)， 填充系數(shù)為1. 計(jì)算過程中忽略PDE 管壁與外界的熱交換， 化學(xué)反應(yīng)釋放的能量僅被氣體吸收. 通過仿真計(jì)算得到爆轟過程外流場溫度組分分布， 以此作為后續(xù)激光吸收光譜二維重建模型. 詳細(xì)的PDE 模型和計(jì)算方法見文獻(xiàn)[20].

圖9 氣液兩相爆轟外流場重建模型Fig. 9. Model of simulated tomography measurement in a two-phase detonation flow.

測量區(qū)域位于距離管口10 cm 處， 為20 cm ×20 cm 矩形區(qū)域. 將測量區(qū)域離散化， 采用20 條測量光路建立系數(shù)矩陣A， 采用7185.6 cm—1處H2O吸收譜線獲取投影值并建立投影向量b. 利用圖6中5 種不同光路布置方式分別對PDE 爆轟波溢出管口后20 ms 時(shí)間段內(nèi)管外流場分布情況進(jìn)行重建. 重建誤差變化情況如圖10 所示.

在PDE 爆轟波溢出管口后20 ms 時(shí)間段內(nèi)，管外流場溫度變化劇烈， 測量區(qū)域內(nèi)最高溫度由1480 K 迅速降低至570 K， 溫度場影響范圍由8 cm × 8 cm 增加至17 cm × 17 cm. 由圖10 可以看出， 基于光路布置方式(d)和光路布置方式(e)的燃燒場重建效果較好， 重建誤差ε遠(yuǎn)低于其他3 種光路布置方式， 結(jié)論與雙峰高斯分布模型重建結(jié)果一致. 相對而言， 基于正則化參數(shù)矩陣的光路布置方式(e)所對應(yīng)的重建效果優(yōu)于光路布置方式(d)， 平均重建誤差降低0.012.

圖10 基于圖6 不同光路布置方式的氣液兩相爆轟外流場重建結(jié)果對比Fig. 10. Comparison of reconstruction errors for the external flow field of two-phase detonation based on beam arrangements in Fig.6.

5 燃燒場二維分布重建實(shí)驗(yàn)研究

以小型燃?xì)鉅t平面火焰為研究對象， 在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)開展了燃燒場二維分布重建實(shí)驗(yàn)研究， 測試系統(tǒng)示意圖如圖11 所示. 測量采用Nel 公司DFB 可調(diào)諧半導(dǎo)體激光器， 中心波數(shù)為7185.6 cm—1， 通過利用信號發(fā)生器驅(qū)動半導(dǎo)體激光器以1 kHz 頻率掃描H2O 特征吸收譜線. 激光束由光纖連接至測試區(qū)域， 經(jīng)過分光器后分為20 條光路， 以圖6(e)所示方式進(jìn)行布置. 測量光路透射過25 cm × 25 cm矩形測試區(qū)域后， 測量得到的投影信號經(jīng)過光電探測器接收， 由數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)采集記錄. 測量過程中波長變化由標(biāo)準(zhǔn)具進(jìn)行監(jiān)測.

燃?xì)鉅t直徑為7.6 cm， 測量截面位于燃?xì)鉅t上方2 cm 處， 熱電偶測量溫度約為1210 K. 根據(jù)測量得到的20 條光路投影數(shù)據(jù)， 利用Tikhonov正則化方法分別對測量區(qū)域內(nèi)單個(gè)和多個(gè)燃?xì)鉅t燃燒場分布情況進(jìn)行重建. 圖12 為計(jì)算得到的單個(gè)和兩個(gè)燃?xì)鉅t分別布置于測量區(qū)域內(nèi)的重建結(jié)果. 可以明顯看出， 重建結(jié)果可以準(zhǔn)確反應(yīng)出燃燒場分布情況， 重建位置與燃?xì)鉅t位置完全吻合. 對于雙爐重建結(jié)果而言， 兩個(gè)光譜吸收系數(shù)峰值較為接近， 與實(shí)際情況一致， 表明基于Tikhonov 正則化參數(shù)矩陣的光路設(shè)計(jì)與重建方法可用于有限投影條件下的燃燒場診斷.

圖11 激光吸收光譜二維重建實(shí)驗(yàn)示意圖Fig. 11. Experiment on tomography reconstruction based on tunable diode laser absorption.

圖12 燃?xì)鉅t重建結(jié)果 (a) 單爐實(shí)驗(yàn)結(jié)果； (b) 雙爐實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig. 12. Reconstruction results of gas burners： (a) single burner； (b) double burners.

6 結(jié) 論

光路布置方式優(yōu)化是提升有限投影條件下激光吸收光譜二維重建能力的關(guān)鍵. 本文針對病態(tài)投影方程組Tikhonov 正則化處理方法， 提出了基于正則化參數(shù)矩陣的光路設(shè)計(jì)方法， 通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)建立了光路設(shè)計(jì)目標(biāo)函數(shù)， 采用遺傳算法獲得了優(yōu)化后光路布置方式. 通過仿真研究了正則化參數(shù)矩陣的作用效果， 結(jié)果表明正則化參數(shù)矩陣可以通過控制測量區(qū)域內(nèi)不同位置處正則化權(quán)重提高重建精度， 該方法在光路數(shù)量較少條件下優(yōu)勢更加明顯.利用基于Tikhonov 正則化參數(shù)矩陣的光路布置方式與其他光路布置方式分別對雙峰高斯模型進(jìn)行了重建對比， 結(jié)果表明本文設(shè)計(jì)的光路布置方式可以達(dá)到更好的重建效果， 且Tikhonov 正則化參數(shù)矩陣對于測量噪音具有較好的抑制作用. 通過對氣液兩相脈沖爆轟發(fā)動機(jī)外流場開展了模擬測量， 驗(yàn)證了優(yōu)化后的光路布置方式可適應(yīng)復(fù)雜多變流場測量環(huán)境， 在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)搭建測試系統(tǒng)對小型燃?xì)鉅t燃燒場分布重建效果進(jìn)行了分析. 研究結(jié)果可進(jìn)一步推動激光吸收光譜二維重建研究理論， 提升有限投影條件下激光吸收光譜二維重建精度， 推動激光吸收光譜二維重建技術(shù)在燃燒診斷領(lǐng)域的應(yīng)用.