基于廣義預測控制的智能巖石試驗機研究

高繼開，田 軍，姚志賓，何本國

(東北大學深部金屬礦山安全開采教育部重點實驗室，遼寧沈陽 110819)

引言

巖石力學強度指標的測定是巖石力學與工程研究的基礎(chǔ)，巖石力學試驗機是測量巖石力學性質(zhì)最常見的測試儀器。從系統(tǒng)原理來看，巖石壓力、拉力試驗機是典型的液壓系統(tǒng)，試驗機已經(jīng)從原來的人工手動調(diào)節(jié)閥門流量控制油缸動作、輸出壓力，普遍發(fā)展為電液伺服數(shù)字控制系統(tǒng)[1]。國外數(shù)字控制巖石試驗機處于領(lǐng)先地位，以美國MTS公司、英國GCTS公司、法國TOP公司為代表占據(jù)了大量市場，近年來，國內(nèi)試驗機技術(shù)進展迅速，東北大學深部金屬礦山安全開采教育部重點實驗室聯(lián)合長春朝陽、科意、中機試驗等廠商研發(fā)了具有自主知識產(chǎn)權(quán)的國際領(lǐng)先系列真三軸設(shè)備[2-3]。目前國內(nèi)對控制精度要求高的試驗機大多采用德國DOLI公司的EDC控制器或美國DELTA公司的RMC控制器，控制器廠商設(shè)計的PID算法內(nèi)嵌在控制器中。國外控制器性能優(yōu)異，但價格昂貴，且控制技術(shù)封閉。國內(nèi)試驗機控制器需要軟件和硬件的雙重突破。

試驗機控制器的PID參數(shù)通常由技術(shù)人員在出廠時設(shè)置好就不再更改，然而巖石力學實驗是一個復雜的過程，不同種類巖石強度差異甚遠，同一巖石試件在加載過程的不同階段也呈現(xiàn)出不同的性質(zhì)[4]，另外還會出現(xiàn)設(shè)備維修老化等造成的實驗環(huán)境變化。巖石變形控制對控制精度要求極高，需要變換PID參數(shù)以滿足多變的應(yīng)用環(huán)境，然而試驗機PID參數(shù)調(diào)節(jié)過程復雜，即使有經(jīng)驗的技術(shù)人員也需要反復調(diào)節(jié)很長時間。當實驗環(huán)境發(fā)生變化，舊的參數(shù)不滿足控制需求時，只能耗費大量時間和財力通過儀器生產(chǎn)廠家再次調(diào)節(jié)。使用一種具有自適應(yīng)功能的控制算法及時調(diào)節(jié)控制策略，滿足不同條件下的控制需求是必要的。GPC廣義預測控制是在自適應(yīng)控制方法的研究中發(fā)展起來的一類預測控制算法。與傳統(tǒng)自校正控制算法相比，GPC采用實時辨識的建模策略，對控制對象的數(shù)學模型精度要求更低[5]，GPC已經(jīng)在多種復雜工業(yè)過程獲得了應(yīng)用[6-7]。GPC實時辨識巖石試驗機加載過程模型參數(shù)，根據(jù)模型預測值和未來期望值求算控制量，可以有效規(guī)避繁雜的PID參數(shù)調(diào)節(jié)過程并智能適應(yīng)實驗條件變化。

巖石壓力試驗機是一個液壓控制系統(tǒng)，包含液壓油源、控制器和作動器。液壓油源輸出動力油源，伺服閥通過流量的方向和大小調(diào)節(jié)作動器的位移速度，作動器通過壓頭加載在巖樣上，使巖樣產(chǎn)生變形。巖石試驗機不同于金屬萬能試驗機[8]，其噸位大、試樣剛度變化大、控制精度要求更高，根據(jù)不同科研需要，加載過程復雜多變，尤其是測定巖石峰后承載能力時，是對非線性時變系統(tǒng)的高精度控制。

圖1 巖石試驗機控制系統(tǒng)框圖

圖1為試驗機伺服控制系統(tǒng)的框圖?？刂破鹘邮掌谕冃沃祔sp和變形傳感器反饋的實際值y的誤差e，經(jīng)控制算法計算后輸出控制電壓u給伺服閥，進行方向和流量調(diào)節(jié)。

圖2為巖樣加載初始狀態(tài)圖，變形傳感器為LVDT差動位移傳感器，作動器在試驗機最底部，加載時帶動底部墊塊、巖樣和球頭向上移動，球頭與上壓頭接觸，最終使巖樣產(chǎn)生變形。巖樣加載過程存在多個非線性環(huán)節(jié)，一方面是由于試驗機本身造成的，如由電液伺服閥和系統(tǒng)摩擦產(chǎn)生的非線性環(huán)節(jié)[9-10]，作動器與壓頭剛接觸時的受力狀態(tài)變化等；另一方面是由于巖樣本身性質(zhì)造成的，同種巖石從施加應(yīng)力到破壞完畢大多會呈現(xiàn)出彈性階段、塑性階段、脆性階段以及峰后階段等多種性質(zhì)變化[11]，存在嚴重的時變特性，不僅如此，不同巖石加載過程中所呈現(xiàn)的力學性質(zhì)也存在巨大差異，且實驗過程常要求巖石恒速率變形，對控制精度要求極高，這都為試驗機控制算法帶來了巨大的挑戰(zhàn)。

圖2 巖樣加載初始狀態(tài)圖

1 巖石試驗機變形控制模型辨識

系統(tǒng)存在諸多不確定非線性環(huán)節(jié)，為簡化問題，將系統(tǒng)辨識為空載和加載時的2個線性模型，辨識方法采用最小二乘法。

考慮式(1)單輸入輸出系統(tǒng)：

A(z-1)y(k)=B(z-1)u(t-nb)+e(k)

式中,na—— 輸出階次

nb—— 輸入階次

y(k) —— 系統(tǒng)輸出

u(k) —— 系統(tǒng)輸入

e(k) —— 白噪聲輸入信號

z-1—— 后移算子

記：

可得式(2)：

y(k)=hT(k)θ+e(k)

e(k)=ψT(k)θ+v(k)

(2)

最小二乘的辨識的準則函數(shù)為：

(4)

式中，μ為遺忘因子，0<μ<1，一般取0.95～0.98之間；μ為1時是標準遞推最小二乘形式；P(k)為正定的協(xié)方差矩陣。

分別在空載狀態(tài)和加載高剛度墊塊的情況下，使伺服閥控制電壓均勻變化，記錄變形傳感器的讀數(shù)。假定不同系統(tǒng)階次，選取部分輸入輸出數(shù)據(jù)進行參數(shù)辨識和誤差檢驗，另選取部分數(shù)據(jù)對辨識結(jié)果進行驗證，使用均方誤差值來表征模型辨識準確度。

空載試驗下，辨識均方誤差隨階次變化如圖3所示；墊塊試驗下，辨識均方誤差隨階次變化如圖4所示。

圖3 系統(tǒng)階次—均方誤差圖(空載)

從空載實驗和墊塊加載實驗的辨識結(jié)果來看，系統(tǒng)取4階和5階時均方誤差較小，總是小于取更低階次時的誤差，加載試驗系統(tǒng)取5階時誤差比4階時更大?？蛰d實驗的辨識誤差和檢驗誤差都小于墊塊加載實驗的辨識誤差，系統(tǒng)取4階時，墊塊加載實驗檢驗誤差約是空載實驗的15倍，說明墊塊加載的過程相對復雜，開環(huán)加載實驗使用的是質(zhì)地均勻的實心鐵塊，非均質(zhì)巖石加載過程模型會更加復雜，非線性和時變特征更強。最終，取均方差較小的階次，認為巖石驗機變形控制系統(tǒng)為4階系統(tǒng)。

圖4 系統(tǒng)階次—均方誤差圖(加載)

2 GPC仿真實驗

2.1 GPC預測控制

在GPC預測控制策略中，即使被控對象具有非線性或時變特性，依舊認為預測模型可以采用局部線性化和實時辨識的方式表征被控對象。被控對象當前時刻模型可通過式(4)遺忘因子最小二乘辨識。系統(tǒng)當前時刻的辨識結(jié)果形式符合式(1)差分方程形式。

圖5 GPC預測控制結(jié)構(gòu)框圖

1=Ej(z-1)A(z-1)Δ+z-jFj(z-1)

(5)

用EjΔzj乘以式(1)兩端，并忽略未來時刻噪聲，得到k時刻為起點的未來j步的最合適預測輸出值表達式：

Fj(z-1)y(k)

(6)

式中，Gj(z-1)=Ej(z-1)B(z-1)。結(jié)合式(1)可得：

=gj,0+gj,1z-1+…

(7)

因此，多項式Gj(z-1)中前j項的系數(shù)與對象階躍響應(yīng)前j項的采樣值一一對應(yīng)，記做g1,…,gj，對于j=1,2,…,N，式(8)可以寫成矩陣方程：

(8)

i=1,2,…,N)

其中多項式E,F,f可通過遞推求解丟番圖得到，參考文獻[14-15]。式(9)為GPC在k時刻優(yōu)化性能指標。

式中，E(·) —— {·}的數(shù)學期望

yr—— 系統(tǒng)的期望輸出

N1—— 優(yōu)化時域起始時刻

N2—— 優(yōu)化時域終止時刻

M—— 控制時域，在M步后控制增量0

λ(j) —— 控制指標的權(quán)系數(shù)

式(9)中系統(tǒng)輸出值用預測值式(8)代替，則有當λI+GTG非奇異時，得到使性能指標式(9)最優(yōu)的解為：

Δu(k)=(λI+GTG)-1GT(yr(k)-f(k)) (10)

此時最優(yōu)控制量則可由式(11)給出:

u(k)=u(k-1)+dT(yr(k)-f(k))

(11)

式中，dT為矩陣(λI+GTG)-1GT的第一行。

2.2 仿真實驗

考慮到GPC控制算法中存在大量矩陣運算，并且模型辨識環(huán)節(jié)實時進行，可以對控制對象局部線性化，因此在控制算法中使用2階模型在線辨識、預測輸出并計算控制量來降低計算量。

巖石變形實驗多為不同速率下勻速加載過程，因此仿真實驗期望輸出采用斜坡函數(shù)。GPC仿真效果圖如圖6所示，系統(tǒng)初始變形為1 mm，在第2～10秒，10～14秒，14～22秒的各時段之間采用不同速率勻速加載，分別為0.005，0.003，0.001 mm/s，期望變形值在22 s后保持2.5 mm不變。

圖6 GPC仿真過程曲線

根據(jù)系統(tǒng)在第1章模型辨識結(jié)果，對2個4階被控對象模型仿真實驗。仿真開始階段，被控對象使用的是空載辨識模型，系統(tǒng)輸出跟隨性很好，變形速率與期望速率吻合。在第6秒，被控對象由空載模型突變?yōu)閴|塊加載模型，此時控制算法模型辨識參數(shù)處于調(diào)整階段，故在6～7秒時，雖然期望速率未發(fā)生變化，但原來已經(jīng)穩(wěn)定的跟蹤誤差發(fā)生了變化，這是控制器適應(yīng)被控對象模型變化的過程。

對于仿真過程，空載模型和墊塊加載模型使用了完全相同的控制參數(shù)，包括預測時域、控制時域、遺忘因子和性能指標均衡參數(shù)，體現(xiàn)了控制算法的自適應(yīng)能力。GPC參數(shù)調(diào)節(jié)過程十分簡單，根據(jù)控制效果簡單調(diào)整后即可獲得較為理想的控制效果。從整體控制效果來看，基于GPC的變形控制系統(tǒng)具有很好的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，說明2階模型不僅當前時刻可以很好地表征被控對象，在預測時域的局部范圍內(nèi)對被控對象的預測輸出偏差也是滿足控制需求的。

3 實驗結(jié)果

通過前兩章的系統(tǒng)辨識與仿真，將GPC應(yīng)用到試驗機變形控制的可行性已經(jīng)得到驗證，并且控制結(jié)構(gòu)和相關(guān)參數(shù)已經(jīng)基本確定。使用C Sharp語言編寫控制算法，并開展巖石力學單軸實驗，驗證實際控制效果。軟件編程完畢后，采用高剛度墊塊的加載實驗進行設(shè)備調(diào)試，得到如圖7所示仿真結(jié)果。初始期望加載速率為0.01 mm/s，此時試驗機上壓頭還未與球頭接觸，直到第13.52秒時，墊塊開始受力，實驗力顯著增加，但是此過程參數(shù)變化平滑，且變化幅值較小，在控制量的及時調(diào)整下，系統(tǒng)輸出依舊保持了預定加載速率。隨后分別進行了0.004,0.001 mm/s和-0.001,-0.005 mm/s的加載、保載和卸載試驗。圖7b顯示跟蹤誤差在速率變換時較大，但也在保持在微米級，且控制器調(diào)節(jié)迅速，整體上取得了滿意的控制效果。

圖7 GPC巖石試驗機實驗過程曲線(鐵塊)

從圖8辨識模型參數(shù)變化過程來看，辨識模型參數(shù)實時變化，并與加載速率呈現(xiàn)出一定的相關(guān)性，變形速率為0時，模型參數(shù)幅值變化較小，趨于穩(wěn)定。

圖8 GPC巖石試驗機模型參數(shù)變化曲線(鐵塊)

設(shè)備調(diào)試完畢后，使用設(shè)備開展巖石力學實驗，測試紅砂巖和花崗巖的單軸抗壓強度。圖9為花崗巖強度測試過程曲線?；◢弾r恒速率變形加載實驗使用0.001 mm/s的變形速率進行加載，并在實驗過程中保載了117 s。在GPC控制策略作用下，巖石變形量與期望值基本重合，控制效果較好。巖石在1113秒時進入峰后破壞階段，強度變小，內(nèi)部開裂嚴重[16]，導致在峰后階段出現(xiàn)了2處較大的跟蹤誤差，GPC及時調(diào)整了控制量，能夠在巖石峰后較弱的承載能力下繼續(xù)按期望加載而不使巖石發(fā)生立即完全破壞。

圖9 GPC巖石試驗機實驗過程曲線(花崗巖)

GPC辨識的模型參數(shù)變化如圖10所示，花崗巖加載過程中模型參數(shù)實時調(diào)整，在恒加載速率下，參數(shù)變

圖10 GPC巖石試驗機模型參數(shù)變化曲線(花崗巖)

化幅值較小，加載速率為0時，參數(shù)趨于穩(wěn)定。最終測得0.001 mm/s變形速率下，花崗巖試件實驗力峰值為114.76 kN，抗壓強度為73.76 MPa，同時得到了巖樣峰后壓力和變形值，取得了十分滿意的實驗效果。

圖11為砂巖測試的實驗過程曲線，巖石變形按照設(shè)定的0.004 mm/s速率穩(wěn)定加載。由于砂巖樣品內(nèi)部存在裂隙，在58.52秒時引起了壓力值波動，出現(xiàn)了允許范圍內(nèi)的較大跟蹤誤差，控制器快速調(diào)整了控制策略，繼續(xù)按期望加載，完成了砂巖強度測試。圖12為砂巖實驗過程模型參數(shù)變化曲線，模型參數(shù)整體穩(wěn)定，在58.52秒時有小幅度突變。砂巖樣品試驗力峰值為127.25 kN，強度為 64.84 MPa。

圖11 GPC巖石試驗機實驗過程曲線(砂巖)

圖12 GPC巖石試驗機模型參數(shù)變化曲線(砂巖)

圖13為巖石破壞后形態(tài)，可以看出樣品中存在較大節(jié)理，出現(xiàn)提前脫落現(xiàn)象，極大降低了巖石強度[17]。2種巖石破碎效果差異明顯，花崗巖內(nèi)部存在更多節(jié)理裂隙，破碎后存在大量塊狀形態(tài)，砂巖均質(zhì)性更好，多以粉末狀破碎。雖然巖石性質(zhì)差異巨大，但沒有影響控制效果，驗證了GPC對于不同種類巖石較好的適應(yīng)性。

圖13 巖石破壞后形態(tài)

4 結(jié)論

通過對試驗機電液伺服控制系統(tǒng)的模型辨識和GPC廣義預測控制策略的研究，確認了系統(tǒng)階次，明確了算法可行性。巖石軸向變形控制系統(tǒng)是一個4階系統(tǒng)，可以采用局部線性化的方式在GPC中使用2階模型實時辨識，減小控制算法計算量。

用C Sharp語言編寫的GPC控制策略可以應(yīng)用于巖石試驗機電液伺服系統(tǒng)，完成不同速率下的巖石力學恒速率加載實驗。GPC廣義預測控制，參數(shù)調(diào)節(jié)過程簡單，能夠有效規(guī)避PID參數(shù)調(diào)節(jié)的復雜過程，可針對不同巖石種類和巖石加載過程的非線性、時變性質(zhì)實時調(diào)整控制策略，自適應(yīng)和智能化程度高，具有較好的應(yīng)用推廣價值。