基于非線性Wiener過程的柱塞泵剩余使用壽命分析

南西康，高文科，陳旭峰，孫天齊，冀 宏

(蘭州理工大學能源與動力工程學院，甘肅蘭州 730050)

引言

軸向柱塞泵廣泛應用于航空、行走機械、重工及軍工裝備等領域，其常見的故障及失效主要集中于軸承以及3對主要摩擦副組件。一般認為，柱塞泵運行過程中，液壓系統(tǒng)中油液污染顆粒物會加劇摩擦副的磨損，同時摩擦副在相對高速運轉時會產(chǎn)生粘著、劃痕等問題。此外，隨著磨損累積增加，油膜間隙也隨之變化，使得柱塞泵的內泄漏逐漸增大，伴隨著泄漏回油流量的增大，容積效率及出口流量也相應減小，進而導致柱塞泵不能滿足系統(tǒng)要求而失效[1-2]。由于磨損特性的隨機性和不確定性及受柱塞泵內部結構所限，準確的檢測或推斷內部磨損相對困難。因而，如何借助柱塞泵的外特性，間接表征其性能退化狀態(tài)，并進行有效預測顯得尤為重要。葛薇等[1]從柱塞泵的主要摩擦副分析退化機理，以柱塞泵泄漏回油流量作為退化外特性指標，研究柱塞泵的性能退化過程。

由于軸向柱塞泵性能直接影響液壓系統(tǒng)整體的工作狀況，因而針對其性能退化的研究受到了廣泛的關注。楊少康[3]以柱塞泵容積效率的歷史數(shù)據(jù)為基礎,結合性能退化的相關理論，采用非線性最小二乘法獲得最優(yōu)退化模型的研究。勵文艷等[4]提出一種對滑靴磨損故障的識別方法，通過局部s變換和極限學習機的柱塞泵故障診斷,最終的故障識別精度可達0.99以上。王巖等[5]提出了基于有限元分析以及線性累積損傷理論的柱塞泵缸體疲勞分析和壽命預測方法，利用應力應變的時間-載荷數(shù)據(jù)進行缸體疲勞計算，預測不同工況條件下柱塞泵缸體疲勞壽命。李元等[6]提出了基于航空液壓泵柱塞副泄漏量模型，并結合相關的經(jīng)典泄漏流量公式，進行一定程度的補充和修正,能精確地計算高壓航空液壓泵柱塞副各種磨損程度下的泄漏量。馬繼明等[7]以航空恒壓變量柱塞泵為對象，介紹其典型失效模式以及各種故障模式的外在表現(xiàn)，并基于磨損、疲勞、老化失效等相關壽命模型，分別分析了不同故障模式的敏感應力。王少萍等[8]基于諧波分量邊頻相對能量和的磨損狀態(tài)識別方法，對柱塞泵的殼體振動信號進行Hilbert包絡解調消除高頻周期的干擾，得到清晰的諧波分量，將該值作為新的特征量來表征柱塞泵的不同磨損狀態(tài)。WANG等[9]主要從柱塞泵的主要摩擦副分析退化機理，研究柱塞泵的性能退化過程。柱塞泵的退化也引起了學者的關注，他們也從容積效率，缸體疲勞計算，磨損以及三大摩擦副退化機理等方面展開了研究。

剩余使用壽命預測作為制定預測性維修計劃、生產(chǎn)計劃調整及配件管理等決策的基礎依據(jù)，同樣在針對柱塞泵的研究中也受到了關注。WANG等[9]應用帶有漂移的一元線性Wiener過程建模，并采用MLE算法對模型的初始參數(shù)進行估計，最后實驗結果驗證了基于Wiener過程的航空液壓軸向柱塞泵剩余使用壽命預測方法的有效性。LI等[10]采用了蒙特卡羅方法模擬了柱塞泵在磨粒產(chǎn)生過程中的特征，在微觀尺度上描述了粗糙表面與磨屑之間的關系，提出了一種分區(qū)-積分的剩余使用壽命預測框架，將模型應用于泵的宏觀退化過程，并用實驗數(shù)據(jù)驗證了該方法的有效性。楊少康[3]應用三參數(shù)威布爾分布模型進行軸向柱塞的壽命預測,得到軸向柱塞泵三參數(shù)威布爾分布的壽命預測模型、可靠度函數(shù)模型和失效率模型,從而根據(jù)壽命預測模型計算軸向柱塞泵在35 MPa的平均壽命。劉君強等[11]提出了基于多階段性能退化模型預測航空發(fā)動機剩余使用壽命的方法，該方法采用多階段Wiener 過程對航空發(fā)動機進行退化建模，之后根據(jù)設備的歷史性能歷史數(shù)據(jù)與歷史失效時間數(shù)據(jù)，在獲得單臺發(fā)動機的實時歷史數(shù)據(jù)后，使用Bayes方法對模型參數(shù)進行更新，從而實時更新航空發(fā)動機的剩余使用壽命的分布，實現(xiàn)對航空發(fā)動機剩余使用壽命的預測。張先航等[12]提出基于隨機效應的 Wiener過程對其性能歷史數(shù)據(jù)進行建模分析，通過Bayes方法實現(xiàn)預測模型參數(shù)的在線更新，得到航空燃油泵的剩余使用壽命預測結果。馮海林等[13]建立了一種新的隨機效應退化模型，即漂移參數(shù)和擴散參數(shù)均為隨機變量且兩者之間呈線性關系的Wiener退化過程模型，基于該模型獲得了產(chǎn)品剩余使用壽命分布與可靠度函數(shù)來估計剩余使用壽命更準確和符合實際。李奎等[14]采用累積觸頭質量損耗作為交流接觸器性能的退化變量，建立了基于Wiener過程的交流接觸器剩余使用壽命預測模型，實現(xiàn)了交流接觸器剩余使用壽命預測。剩余壽命研究已經(jīng)應用于關鍵的設備，Wiener過程也作為一種預測壽命的方法經(jīng)常被使用。這是由于Wiener過程可以描述退化過程的時間的不確定性，而且比較容易處理數(shù)據(jù)存在誤差的情況及對標準的Wiener過程引入隨機性，使得可以描述個體的差異性。軸向柱塞泵的研究中也有學者采用Wiener過程去預測剩余使用壽命。

軸向柱塞泵的性能退化主要是由于其內部摩擦副磨損導致，對摩擦副的磨損量直接采取實時檢測在技術上存在一定難度。因此，可以從外特性來刻畫軸向柱塞泵的性能退化?；赪iener過程的優(yōu)點，并以內泄漏回油流量為外部特征，本研究在學科組前期工作的基礎上，應用非線性的Wiener過程構建軸向柱塞泵剩余使用壽命預測模型。

1 Wiener退化過程模型

Wiener過程相對于其他模型，可描述非單調的性能退化過程，并且通過對經(jīng)典Wiener過程的參數(shù)引入隨機性，使得Wiener過程能夠描述個體的差異性，并具有良好的計算分析能力，因此是目前工程領域中應用最為廣泛的性能退化模型之一[15-16]。

如果連續(xù)時間隨機過程{X(t),t≥0}滿足：

(1)X(0)=0;

(2) {X(t),t≥0}，有平穩(wěn)的獨立增量；

(3)X(t)服從期望為μt，方差為σ2t的正態(tài)分布；

則稱{X(t),t≥0}為帶有漂移系數(shù)μ、擴散參數(shù)σ的一元的Wiener過程。表示為下面的形式：

M0∶X(t)=X(0)+μt+σB(t)

(1)

式中μ=0,σ=1成為標準Wiener過程，{B(t)},t≥0,X(t)為t時刻的退化量。

退化過程參數(shù)μ,σ由于產(chǎn)品個體差異而不同時，得到帶有隨機效應的Wiener過程模型。定義如下式：

(2)

式中,μ為描述個體退化速率的差異;σ為對所有個體相同的擴散參數(shù)。

式(1)和式(2)中漂移系數(shù)μ為時間t的線性函數(shù)，當時間t與漂移系數(shù)μ為非線性函數(shù)時，則將其定義為非線性的Wiener退化過程。因為非線性的可以退化為線性Wiener退化過程，所以本研究將展開非線性Wiener過程的建模和參數(shù)估計方法，由Wiener過程定義和極大似然估計得到參數(shù)的估計[17]。

1.1 非線性漂移Wiener過程

上述Wiener過程的漂移是時間的線性函數(shù)，如果是非線性的漂移的Wiener過程，可以描述為：設時刻t的退化量為X(t)，則非線性漂移Wiener過程可以表示為:

(3)

M2∶X(t)=atb+σB(t),a=const

M4∶X(t)=a(ebt-1)+σB(t)，

式中，σ為擴散參數(shù)；B(t)為標準的布朗運動；μ(t;θ)為非線性函數(shù)。

(2) 當μ(t;θ)=abexp(bt),對式(3)進行積分整理，整理后為M4模型。

觀察模型得出M2與M1相比增加了非線性函數(shù)μ(t;θ)，M1是M2當b=1的特例，M3與M2相比增加了隨機效應，可描述非線性情況下個體的差異，當M3中的b=1時，M3退化為M1；M4含隨機效應(即個體差異)的非線性Wiener過程，相比M3的冪函數(shù)形式的非線性過程，M4為指數(shù)形式的非線性過程。

當退化速率μ不是常數(shù)，而且也不能進行線性化時，得到退化過程的首次達到的時間分布是困難的，但是可以給出分布的近似閉合形式[16]。

假設:如果退化過程在特定的時刻t恰好達到失效閾值l，則這樣的一個過程在時刻t之前越過失效閾值l的概率可以忽略。

對式(3)的退化過程{X(t),t≥0}，如果μ(t;θ)在[0,∞)上是時間的連續(xù)函數(shù)，則在假設成立的情況下，{X(t),t≥0}首次達到失效閾值l時間概率密度函數(shù)如下：

M2模型的概率密度函數(shù),記為fM2：

M3，M4模型的概率密度函數(shù)，分別記為fM3和fM4。首次達到失效閾值的概率密度函數(shù)分別為：

(5)

(6)

式中,γ(t)=exp(bt)-1,

β(t)=exp(bt)-btexp(bt)-1。

由式(5)知，b=1時，fT|M3,θ(t|M3,θ)退化為逆Gaussian分布；當b=0時fT|M3,θ(t|M3,θ)和fT|M4,θ(t|M4,θ)退化為漂移參數(shù)為0的擴散過程的時間分布。

1.2 參數(shù)估計

假設存在n個試驗產(chǎn)品，第i個樣品在時刻ti1,…,timi測量歷史數(shù)據(jù)，其中mi表示對第i個樣品的測量次數(shù)，i=1,…,n。于是，第i個樣品在第j個時刻tij的退化量為:

Xi(tij)=φ(tij)ai+σBB(tij)

(7)

從模型M3和模型M4中可知，對應的φ(t)分別為φ(t)=tb和φ(t)=exp(bt)-1。模型M2作為M3的特例，按照M3的方法求解。令Ti=(Ti1,…,Timi)T,Tij=φ(tij),以及Xi=(xi(ti),…,xi(timi))T，令X為Xi,i=1,…,n組成的所有歷史數(shù)據(jù)。根據(jù)式(7)以及Wiener過程的獨立增量特性，Xi服從多元正態(tài)分布，均值和方差分別為:

(8)

其中:

(9)

(10)

其中:

(11)

(12)

μa和σa取一階偏導數(shù)，得到:

(13)

(14)

令式(14)的右邊為0，式(14)得不到顯式結果。因此，對給定的取值σa,σB,b，令關于μa的式(10)為0，得到μa的似然估計如下：

(15)

(16)

非線性Wiener退化過程模型參數(shù)的估計：對σB,b,σa賦予初值，通過二維遍歷搜索式(16)的最小值可得到σB,b,σa的估計。

由于非線性優(yōu)點，所以采用非線性的Wiener過程進行退化過程建模和后續(xù)壽命使用預測工作。

2 剩余使用壽命的估計

設備的壽命指隨機退化過程首次達到失效閾值的時間。如果在ti時刻根據(jù)歷史數(shù)據(jù)預測設備首次達到失效閾值的時間，即獲得了設備的剩余使用壽命[19]，其基本原理如圖1所示。

圖1 剩余使用壽命預測原理簡圖

圖1中，l為設定的失效閾值，可以通過行業(yè)標準和產(chǎn)品性能指標或專家經(jīng)驗確定。剩余使用壽命tf，通常出現(xiàn)在剩余使用壽命概率密度函數(shù)的最大值處。在實踐中，將設備的壽命定義為首次達失效閾值的時間。如果設備達到失效閾值，正如本研究提到的軸向柱塞泵，設備需要停止運行進行維護，以確保系統(tǒng)的安全。

根據(jù)剩余使用壽命預測基本原理圖，如果設備在運行到時刻ti仍未失效，且當前性能退化量為X(ti)

tf=inf{tf:X(tf+ti)≥l|X(ti)

(17)

求解運行到時刻ti的剩余使用壽命，關鍵在于求解設備的剩余使用壽命的概率密度函數(shù)。通過剩余壽命的定義，進而可以得到非線性Wiener過程在ti時刻，剩余使用壽命的概率密度函數(shù)為[18]：

fM3(tf|ti,σa,σB,ua,b)

(18)

fM4(tf|ti,σa,σB,ua,b)

(19)

式中，γ(tf)=exp(b(tf+ti))-exp(bti),β(tf)=(1ptf)exp(b(tf+ti))exp(bti)。

當a為常數(shù)時式(18)退化為M2模型的剩余使用壽命概率密度函數(shù)，M0，M1的剩余使用壽命的概率密度函數(shù)可利用壽命的定義得到[20-21]。

3 軸向柱塞泵剩余使用壽命預測

以某型號航空軸向柱塞泵為例，進行軸向柱塞泵剩余使用壽命預測模型的建模及分析。軸向柱塞泵性能退化因磨損所致，可通過軸向柱塞泵的泄漏回油流量作為分析指標，其退化過程符合獨立增量過程。因此，可以用非線性Wiener過程進行退化過程建模和預測。該案例對5臺軸向柱塞泵進行轉速為2000～4000 r/min、額定壓力為28 MPa、累積運行時間為1000 h、失效閾值為2.8 L/min的壽命試驗。其中1臺軸向柱塞泵累積運行1200 h后到達失效閾值，故定義其壽命為1200 h[9]。

圖2表示5臺軸向柱塞泵的泄漏回油流量和工作時間t的關系。退化模型中利用泄漏回油流量代表退化量X(t)，模型中t表示軸向柱塞泵的運行時間，采用線性和非線性Wiener過程分別建模。利用圖2中的數(shù)據(jù)和第一節(jié)介紹的模型參數(shù)估計方法估計出M0～M4模型的參數(shù)，比較模型之間的合理性經(jīng)常采用AIC、BIC準則。本研究因為大樣本量故采用BIC準則來評價，標準是以BIC值最小者為最優(yōu)模型(包括負數(shù))。

圖2 5臺柱塞泵的回油流量曲線[9]

表1 不同模型參數(shù)的估計值及BIC值

計算得到每個模型對應的BIC值如表1所示，由于M3模型的BIC值最小，所以確定M3模型來描述軸向柱塞泵的性能退化過程。

因為剩余使用壽命預測是在退化模型的基礎上進行的，且M3模型具有良好的退化擬合性，所以擬采用M3模型進行其剩余使用壽命預測，并進行分析驗證。將觀測時間ti時的剩余使用壽命概率密度函數(shù)f(tf|ti,σa,σB,μa,b)最大值對應的時間近似為剩余使用壽命[22]。根據(jù)式(17)及圖2的歷史數(shù)據(jù)，得出M3模型在不同觀測時間對應的預測剩余使用壽命和實際剩余使用壽命，如圖3所示。

從圖3可以看出，軸向柱塞泵在工作的0～1200 h內，不同觀測時間，剩余使用壽命的實際值都會落在剩余使用壽命概率密度函數(shù)的范圍內，且壽命的預測值都會落在實際值周圍。同時，剩余概率密度函數(shù)的圖像隨著歷史數(shù)據(jù)不斷積累越來越陡。表明軸向柱塞泵的泄漏回油流量越接近失效閾值，剩余使用壽命的預測值的不確定性越小。實際剩余使用壽命和預測壽命以及誤差率的比較，如圖4a、圖4b所示，在M3模型下前300 h，實際值和預測值誤差率較大，但是隨著數(shù)據(jù)的不斷增加后面的預測值越來越接近實際值，誤差率在不斷減小。

圖3 柱塞泵剩余使用壽命預測結果

圖4 預測-實際壽命比較

為了驗證所選M3模型的合理性，通過對比在相同數(shù)據(jù)的驅動下各個模型實際壽命和預測壽命的吻合程度。首先將M0，M1，M2，M4，4個模型作比較分析，選擇最優(yōu)的預測模型。將最優(yōu)的模型再和M3模型比較其預測誤差和誤差率。如果M3模型的預測誤差和誤差率小于所選的最優(yōu)模型，則說明了模型的合理性。反之，則不合理，選擇M0，M1，M2，M4，4個模型中最優(yōu)的模型作為剩余壽命預測模型。

下面使用單個產(chǎn)品的歷史數(shù)據(jù)來驗證模型，選擇第4組軸向柱塞泵給出在不同的觀測點處的剩余使用壽命。圖5a～圖5d表示M0，M1，M2，M4，4個模型預測結果。M0的預測結果與其他3個模型比較，其概率

圖5 M0,M1,M2,M4模型預測結果

密度函數(shù)的最大值為10-23接近0，因此放棄M0模型。其結果是由線性和無隨機效應導致的。M1模型是考慮了隨機效應的線性模型，相比較M0有改善，但是相比M2，M4模型誤差較大； M2是冪函數(shù)形式的非線性的過程(未考慮隨機效應)，其擬合效果比其他模型的擬合更恰當，說明軸向柱塞泵的退化過程比較符合冪函數(shù)形式；M4是指數(shù)形式的非線性過程，也考慮了隨機效應，但擬合效果不佳，不適合用來描述軸向柱塞泵的性能退化過程。因此M0，M1，M2，M4，4個模型中最優(yōu)的預測模型為M2。

為了分析M2，M3模型，將2個模型預測結果的誤差和平穩(wěn)性進行比較。從圖6可知無論是壽命的預測準確性還是預測穩(wěn)定性，M3相比于M2預測更加平穩(wěn)且誤差更小，驗證了具有隨機效應冪函數(shù)的模型M3更適合用來預測軸向柱塞泵的剩余使用壽命。

圖6 M2,M3預測結果比較

4 結論

本研究利用軸向柱塞泵的泄漏回油流量作為軸向柱塞泵的性能退化的指標，以泄漏回油流量觀測數(shù)據(jù)為依據(jù)，應用一種非線性Wiener過程構建了軸向柱塞泵剩余使用壽命模型。從實例分析得出，采用M3模型的非線性Wiener過程的壽命預測模型相比其他的4種模型擬合效果，更接近軸向柱塞泵的實際壽命。該研究結果可作為后續(xù)研究柱塞泵健康管理的基礎，在后續(xù)的工作中學科組將進一步開展壽命使用預測相關研究。