Switch Corridor方差互換定價(jià)的蒙特卡羅加速算法

馬俊美，余 律，賈曉雨

（1. 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，上海200433；2. 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)上海市金融信息技術(shù)研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200433；3. 莆田學(xué)院 金融數(shù)學(xué)福建省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建莆田351100）

波動(dòng)率衡量的是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的不確定性，是金融風(fēng)險(xiǎn)度量的重要標(biāo)志。近年來(lái)，波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)引起金融市場(chǎng)的廣泛關(guān)注，波動(dòng)率交易成為風(fēng)險(xiǎn)管理的重要主題?；赩IX（volatility index）指數(shù)而衍生的波動(dòng)率和方差產(chǎn)品是管理市場(chǎng)波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)的主要工具，具備重要的長(zhǎng)尾系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)避險(xiǎn)能力，在極端行情中可以提供很好的避險(xiǎn)效果，抵御市場(chǎng)的巨幅波動(dòng)。在2008年金融危機(jī)中，波動(dòng)率衍生產(chǎn)品發(fā)揮了比傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)管理工具更精準(zhǔn)和高效的“保險(xiǎn)”功能，不僅能有效增強(qiáng)投資組合收益率，同時(shí)還能降低收益率的波動(dòng)率，并在極端情況下提供有效的保護(hù)功能。2020年，隨著新冠肺炎疫情的全球蔓延，各國(guó)股指紛紛大跌，全球經(jīng)濟(jì)下行風(fēng)險(xiǎn)急劇增大，分散化投資在系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)面前顯得不堪一擊，而VIX則與傳統(tǒng)資產(chǎn)的負(fù)相關(guān)性進(jìn)一步提高，如果把波動(dòng)率衍生品加入到投資組合中，可以起到很好的對(duì)沖甚至超額保護(hù)的效果。

波動(dòng)率衍生產(chǎn)品在海外成熟市場(chǎng)已得到投資者廣泛認(rèn)可，不斷有相關(guān)的衍生產(chǎn)品上市，成交量逐年上升，品種也日益多樣化。傳統(tǒng)的波動(dòng)率衍生品是基于一個(gè)標(biāo)的波動(dòng)率指數(shù)而衍生的產(chǎn)品，為對(duì)沖一個(gè)市場(chǎng)上的波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)而設(shè)計(jì)的。2012 年，由瑞士信貸（Credit Suisse）率先推出了跨市場(chǎng)對(duì)沖波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)的Switch Corridor方差互換產(chǎn)品，一經(jīng)推出，該產(chǎn)品成為了結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品市場(chǎng)上被廣泛交易的一類新型方差產(chǎn)品。Switch Corridor 方差互換是傳統(tǒng)的走廊方差互換（Corridor Variance Swap）的自然延伸，不同之處是標(biāo)的資產(chǎn)的個(gè)數(shù)，Switch Corridor方差互換的收益取決于兩個(gè)價(jià)格過(guò)程：Corridor資產(chǎn)Sc和Variance資產(chǎn)Sv，當(dāng)Corridor資產(chǎn)在預(yù)先定義的范圍內(nèi)時(shí)Variance資產(chǎn)的方差才會(huì)被累積，Switch Corridor方差互換的收益函數(shù)為

式中：AF表示年化因子（通常為252）；A、B表示Corridor資產(chǎn)價(jià)格的上、下限；為敲定方差；N為計(jì)算總天數(shù)；M是Corridor資產(chǎn)落在價(jià)格區(qū)間內(nèi)的總天數(shù)，即

Switch Corridor 方差衍生品是為了滿足客戶對(duì)沖不同市場(chǎng)、不同標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)需求而推出的新型產(chǎn)品。當(dāng)一個(gè)市場(chǎng)的Corridor 資產(chǎn)落在預(yù)先定義的范圍內(nèi)時(shí)，另一個(gè)市場(chǎng)的Variance 資產(chǎn)的方差才會(huì)被累積，Switch Corridor產(chǎn)品能起到對(duì)沖跨市場(chǎng)之間的波動(dòng)率風(fēng)險(xiǎn)的作用，通過(guò)該產(chǎn)品的交易，不同的金融市場(chǎng)被聯(lián)結(jié)起來(lái)，可以幫助投資者起到更好的管理風(fēng)險(xiǎn)的作用，具有重要的市場(chǎng)地位。

近幾年來(lái)該產(chǎn)品的交易量一直穩(wěn)步上升，逐漸成為市場(chǎng)上最受歡迎的新產(chǎn)品系列之一，被稱為對(duì)沖基金客戶和投資銀行的雙贏產(chǎn)品。從對(duì)沖基金客戶的角度來(lái)看，它允許客戶在不同的市場(chǎng)建立盈利頭寸。Switch Corridor方差衍生品的主要吸引力在于客戶可以在表面的特定部分上交易指數(shù)之間波動(dòng)率的相對(duì)溢價(jià)/折扣。這為兩個(gè)不同的波動(dòng)市場(chǎng)提供了有吸引力的交易機(jī)會(huì)。在實(shí)踐中，客戶通過(guò)做多隱含波動(dòng)率和實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率之間的差異較小的市場(chǎng)的方差（例如亞洲或歐洲指數(shù)），同時(shí)賣空隱含波動(dòng)率和實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率之間的差異較大的市場(chǎng)的方差（通常是標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)SPX）而獲利。從投資銀行的角度來(lái)看，它自然適合銀行的風(fēng)險(xiǎn)狀況，構(gòu)成了其結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品業(yè)務(wù)的期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)要素之一Vega曝露的自然對(duì)沖。銀行可以通過(guò)利用世界上最具流動(dòng)性的標(biāo)的來(lái)對(duì)沖像美國(guó)一樣更加波動(dòng)的市場(chǎng)，使得銀行可以回收風(fēng)險(xiǎn)并轉(zhuǎn)移/升級(jí)流動(dòng)性。隨著走廊差異交換，人們可以在相當(dāng)具體的市場(chǎng)水平范圍內(nèi)回收Vega風(fēng)險(xiǎn)，這與來(lái)自結(jié)構(gòu)性產(chǎn)品服務(wù)臺(tái)的Vega不平衡的概況非常吻合。從風(fēng)險(xiǎn)管理的角度來(lái)看，這是一個(gè)使經(jīng)銷商能夠維持零售業(yè)務(wù)的關(guān)鍵產(chǎn)品。Switch Corridor方差衍生產(chǎn)品獲得“2016年亞洲風(fēng)險(xiǎn)投資年度最佳交易獎(jiǎng)”［1］。

在過(guò)去的幾年里，市場(chǎng)對(duì)Switch Corridor方差衍生產(chǎn)品表示了極大的興趣，然而人們對(duì)它的研究程度并沒(méi)有趕上經(jīng)銷商和對(duì)沖基金對(duì)這個(gè)產(chǎn)品的強(qiáng)烈需求程度。2017年8月，瑞士信貸的亞太地區(qū)定量策略主管兼香港股票模擬全球產(chǎn)品負(fù)責(zé)人Hong，在幾何布朗運(yùn)動(dòng)框架下，使用Copula法對(duì)Switch Corridor方差互換提出一種封閉式解決方案［2］。該方法比原始的Monte Carlo模擬方法快80～120倍，由此Hong獲得了“2017亞洲風(fēng)險(xiǎn)大獎(jiǎng)”。但是Hong是在幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型下進(jìn)行定價(jià)研究的，他的研究結(jié)果不適合求解隨機(jī)波動(dòng)率模型下的Switch Corridor 方差衍生產(chǎn)品價(jià)格，而隨機(jī)波動(dòng)率模型相比幾何布朗運(yùn)動(dòng)，能夠更好刻畫(huà)金融資產(chǎn)的尖峰厚尾現(xiàn)象，以及波動(dòng)率的均值回歸等特點(diǎn)［3］?；陔S機(jī)波動(dòng)率模型計(jì)算得到的產(chǎn)品價(jià)格同時(shí)考慮了資產(chǎn)價(jià)格的風(fēng)險(xiǎn)與波動(dòng)率的風(fēng)險(xiǎn)，能夠更為完整徹底地對(duì)沖存在的風(fēng)險(xiǎn)源。因此，設(shè)計(jì)一套既能支持多種隨機(jī)波動(dòng)率模型，又能快速處理Switch Corridor方差衍生產(chǎn)品定價(jià)的算法具有重要的理論和應(yīng)用價(jià)值。

關(guān)于隨機(jī)波動(dòng)率模型下Switch Corridor方差產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題研究的主要難點(diǎn)是維數(shù)高，相關(guān)性難于處理。這是一個(gè)基于四維標(biāo)的過(guò)程的路徑依賴型的非線性計(jì)算問(wèn)題，產(chǎn)品的價(jià)格滿足N個(gè)偏微分方程組，每一個(gè)偏微分方程是一個(gè)四維的非線性方程，大部分情況下無(wú)解析解。若用有限差分方法直接對(duì)問(wèn)題進(jìn)行求解，所需計(jì)算量極大，進(jìn)行計(jì)算所需付出代價(jià)太大以至無(wú)法計(jì)算?；趩螛?biāo)的資產(chǎn)的方差互換定價(jià)研究中常用的特征函數(shù)法［4］、鞍點(diǎn)法［5］等也不易推廣應(yīng)用到二維Switch Corridor方差產(chǎn)品的定價(jià)研究中。

本文使用加速蒙特卡羅方法研究Switch Corridor方差產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題。蒙特卡羅（Monte Carlo）方法是一種以概率統(tǒng)計(jì)為基礎(chǔ)，通過(guò)隨機(jī)抽樣獲得數(shù)值結(jié)果的計(jì)算方法。由于其收斂速度和問(wèn)題維數(shù)無(wú)關(guān)等重要特性，該方法被廣泛應(yīng)用于多標(biāo)的資產(chǎn)、路徑依賴等情形下的定價(jià)問(wèn)題，隨著衍生產(chǎn)品的不斷創(chuàng)新，其定價(jià)的復(fù)雜度也在不斷增加，蒙特卡羅方法的普遍適用性已然使其成為風(fēng)險(xiǎn)管理和資產(chǎn)定價(jià)的基本工具之一。但Monte Carlo方法的主要缺點(diǎn)是收斂速度慢，通常要想提高精度一位有效數(shù)字，需要增加100倍的工作量。因而眾多學(xué)者提出各種方差減小技術(shù)來(lái)縮減Monte Carlo模擬誤差。常見(jiàn)的方差縮減技術(shù)有控制變量法、重要抽樣法、條件蒙特卡羅法等［6］。其中，控制變量法是目前研究最為廣泛的方法之一，其關(guān)鍵在于尋找與原問(wèn)題高度相關(guān)的控制變量。如，Kemna等基于幾何平均亞式期權(quán)的解析解，以其作為控制變量，對(duì)算術(shù)平均亞式期權(quán)進(jìn)行了定價(jià)［7］；Ma等研究了GARCH（廣義自回歸條件異方差）模型下的控制變量加速模擬問(wèn)題［8］；Shin等人使用控制變量技巧研究了LIBOR（倫敦同業(yè)拆借利率）市場(chǎng)模型下百慕大互換期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題［9］。

本文將著重使用控制變量技術(shù)，研究高維的Heston 隨機(jī)波動(dòng)率模型下Switch Corridor 方差互換的加速模擬定價(jià)問(wèn)題。

1 Monte Carlo方法及控制變量技術(shù)

Monte Carlo 方法主要適用于無(wú)法求出解析解的數(shù)學(xué)問(wèn)題，例如求解復(fù)雜隨機(jī)變量的期望值或某一事件發(fā)生的概率。在這里，假設(shè)需要估計(jì)隨機(jī)變量X，其期望為μ，方差為σ2?？梢愿鶕?jù)其概率密度函數(shù)生成m 個(gè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)數(shù)Xi( i=1，2，…，m )，那么X期望值的蒙特卡羅估計(jì)即為

由中心極限定理可知，該估計(jì)量的誤差為

因此可以看到，Monte Carlo 方法是基于簡(jiǎn)單的概率理論來(lái)解決問(wèn)題，避免了復(fù)雜的分析推導(dǎo)，但是它的結(jié)果具有隨機(jī)性，會(huì)引入隨機(jī)模擬誤差?？捎芍行臉O限定理推出其收斂速度為O( m12)。該速度僅與模擬次數(shù)有關(guān)，與問(wèn)題的維數(shù)無(wú)關(guān)。為了提高精確度，模擬次數(shù)通常會(huì)非常大，這會(huì)使得計(jì)算效率十分低下。因此，本文引入了控制變量方法。

控制變量方法是一種被廣泛應(yīng)用的蒙特卡羅方差縮減技術(shù)，它充分利用了已知量的估計(jì)誤差從而降低未知量的估計(jì)誤差［6］。對(duì)于式（2）的Monte Carlo模擬，現(xiàn)在假設(shè)在每一次對(duì)Xi取樣的同時(shí)計(jì)算另一個(gè)隨機(jī)變量Y的隨機(jī)數(shù)Yi，其中( Xi，Yi)獨(dú)立同分布，且E [Y ]已知。則對(duì)于每一個(gè)確定的b，可以得到

那么隨機(jī)變量X基于控制變量Y的蒙特卡羅估計(jì)即為

由于E [ X (b)]= E [ X ]，即該估計(jì)量是無(wú)偏的。其方差為

其 中，ρXY為X 和Y 的 相 關(guān) 系 數(shù)。 顯 然 當(dāng)b*=Cov [ X，Y ] Var [ X ]時(shí)，σ2(b*)取得最小值

由此可知，控制變量法對(duì)誤差的減小效果取決于X 和Y 的相關(guān)程度，且相關(guān)性越高效果越好。因此，本文以簡(jiǎn)化模型下Switch Corridor 方差互換的價(jià)格作為Heston 模型下產(chǎn)品價(jià)格的控制變量，保證了高度的相關(guān)性。

在實(shí)際應(yīng)用中，若E [Y ]未知，往往σY和ρXY也是未知的，這樣就需要估計(jì)b*。通常將b*做如下估計(jì)，此時(shí)仍能得到控制變量法的大部分好處。

2 高維Heston模型下的產(chǎn)品定價(jià)

2.1 隨機(jī)波動(dòng)率模型

隱含波動(dòng)率的微笑現(xiàn)象表明資產(chǎn)服從常數(shù)波動(dòng)率的假設(shè)并不符合市場(chǎng)的普遍規(guī)律。在隨機(jī)波動(dòng)率模型中，Heston 模型逐漸被認(rèn)為是較為合適的模型之一［10］。因此，本文研究了Variance資產(chǎn)及Corridor資產(chǎn)均滿足Heston 波動(dòng)率模型的情形下，Switch Corridor 方差互換產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題。假設(shè)兩標(biāo)的資產(chǎn)分別滿足如下相關(guān)的擴(kuò)散過(guò)程：

其 中 ， E [ dZ1tdZ2t]= ρ1dt，E [ dZ3tdZ4t]=ρ2dt，E [ dZ1tdZ3t]= ρdt；vvt表示Variance 資產(chǎn)的方差過(guò)程，σv為其波動(dòng)率，當(dāng)t趨于無(wú)窮時(shí)，vvt的期望值以回復(fù)速度κv趨近于θv；同理，vct表示Corridor 資產(chǎn)的瞬時(shí)方差，遵循回復(fù)速度為κc，長(zhǎng)期均值為θc的均值回復(fù)過(guò)程。均值回復(fù)過(guò)程保證了資產(chǎn)的波動(dòng)率受到一定的限制，不會(huì)出現(xiàn)極端值的情況。本文使用控制變量Monte Carlo加速技術(shù)研究了在模型（3）和（4）下，收益函數(shù)為（1）的Switch Corridor 方差互換產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題。

2.2 基于仿射擴(kuò)散過(guò)程的控制變量解析解

考慮簡(jiǎn)化模型下，Switch Corridor方差互換產(chǎn)品的定價(jià)求解問(wèn)題，以獲得原問(wèn)題高效的控制變量。構(gòu)造如下輔助過(guò)程：假設(shè)Variance資產(chǎn)和Corridor資產(chǎn)過(guò)程均服從波動(dòng)率為關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)

為方便討論，記為向量形式

定義1 令Σ(x) = σ( x )σ( x )T，式（7）表示的過(guò)程為d 維仿射擴(kuò)散過(guò)程，當(dāng)且僅當(dāng)漂移項(xiàng)μ(x)和擴(kuò)散項(xiàng)Σ(x)有如下形式：

其中：αi( i= 1，2，…，d )；a 為d 維常數(shù)矩陣；βi( i=1，2，…，d )；b為d維常數(shù)列向量。

由于基于函數(shù)波動(dòng)率的二維幾何布朗運(yùn)動(dòng)的μ與Σ 均不包含隨機(jī)變量，因此符合仿射擴(kuò)散過(guò)程的定義。d維仿射擴(kuò)散過(guò)程的主要性質(zhì)如下。

性質(zhì)1 記iRd={ iu|u∈Rd}，若Xt為d 維仿射擴(kuò)散過(guò)程，則存在關(guān)于t 連續(xù)可微的函數(shù)?(t，u)：R+×iRd→C，ψi(t，u)：R+×iRd→Cd，i=1，2，…，d，對(duì)于任意的u∈Rd，t ≤T，過(guò)程Xt均滿足

性質(zhì)2 若Xt為d 維仿射擴(kuò)散過(guò)程，則?(t，u)與ψ(t，u)滿足如下Riccati微分方程組：

反之，若Riccati 方程組（9）存在唯一解，使得對(duì)于任意的0< t ≤T，?(t，u)+ ψ(t，u)'x 具有非負(fù)實(shí)部，則Xt是仿射擴(kuò)散過(guò)程。

性質(zhì)1 和性質(zhì)2 的證明可參見(jiàn)文獻(xiàn)［11］。有關(guān)仿射擴(kuò)散過(guò)程的更多性質(zhì)及應(yīng)用可參考文獻(xiàn)［12］。由此可以直接計(jì)算得到該二維幾何布朗運(yùn)動(dòng)的漂移系數(shù)及擴(kuò)散系數(shù)分別為

設(shè)u=( u1，u2)'，與上述系數(shù)一同代入式（9）解得

定理1 基于標(biāo)的過(guò)程式（5）、（6）且具有收益函數(shù)（1）的Switch Corridor方差互換產(chǎn)品的價(jià)格為

證明 由于具有上、下界的示性函數(shù)可由兩個(gè)上界示性函數(shù)相減得到，因此先考慮Corridor 資產(chǎn)的價(jià)格范圍僅包含上界的情況。Switch Corridor 方差互換的收益公式（1）由前、后兩部分組成。先考慮減號(hào)前的部分，對(duì)于t ∈(tn?1，tn)，n= 1，2，…，N，假設(shè)Corridor資產(chǎn)上限為ex，需要求的期望即為

由反演定理，可以利用逆傅里葉變換得到原示性函數(shù)的半解析表達(dá)式

將式（13）及（14）代回式（12），利用重期望公式，由性質(zhì)1及性質(zhì)2，可以得到

式中：u1=(u1，?iw)'，u2= (0，?iw)'；?(t，u) 的具體形式如式（10）所示。

對(duì)于減號(hào)后的部分，同理先考慮如下形式：

將Corridor資產(chǎn)上、下界的ln值分別代入x后相減，并代回求期望后的收益函數(shù)（1），可以得到定理1中的公式（11）。

特別地，當(dāng)σ1(t )和σ2(t )為常數(shù)波動(dòng)率時(shí)，Switch Corridor方差互換的價(jià)格有更簡(jiǎn)潔的解析表達(dá)

2.3 控制變量波動(dòng)率的選取

控制變量方差縮減技術(shù)的效果取決于所選控制與原問(wèn)題的相關(guān)性，因此控制變量波動(dòng)率的選取也是至關(guān)重要的。需要選擇最具有代表性的σ1(t )和σ2(t )使得控制變量與原問(wèn)題之間有較高的相關(guān)性，從而達(dá)到較好的方差減小效果。本文選取控制變量的標(biāo)的過(guò)程（5）和（6）中的波動(dòng)率函數(shù)σ1(t )和σ2(t )為隨機(jī)波動(dòng)率過(guò)程（3）和（4）的數(shù)學(xué)期望。

本文進(jìn)一步將該控制變量的加速效果與靜態(tài)波動(dòng)率常數(shù)及按Xu 等［13］提出的方法選取分段波動(dòng)率常數(shù)所對(duì)應(yīng)的控制變量的加速效果進(jìn)行比較。Xu等討論了當(dāng)原問(wèn)題為基于任意隨機(jī)波動(dòng)率模型時(shí)的一類廣義選取方法，假設(shè)原問(wèn)題中的資產(chǎn)服從如下廣義隨機(jī)波動(dòng)率模型：

式中：f (Y )、μ(t，Y )、σ(t，Y )都是已知的函數(shù)；Wt和Zt是相關(guān)系數(shù)為ρ的布朗運(yùn)動(dòng)。同樣地構(gòu)建一個(gè)作為控制變量的虛擬標(biāo)的資產(chǎn)，假設(shè)其滿足

他們將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為如何找到合適的目標(biāo)函數(shù)以表示St與S?t的近似相等，并求解最優(yōu)的σ?t。考慮到求解的可行性與復(fù)雜性，他們選擇了如下優(yōu)化目標(biāo)：

在實(shí)際運(yùn)用中，對(duì)于適當(dāng)?shù)摩與模擬次數(shù)m，式（16）可近似為

為方便后文中的描述，將上述3 種輔助標(biāo)的過(guò)程的波動(dòng)率選取方法分別命名為動(dòng)態(tài)波動(dòng)率選取法、靜態(tài)波動(dòng)率選取法以及廣義波動(dòng)率選取法。

3 數(shù)值結(jié)果及分析

以2. 2 節(jié)推導(dǎo)出的Switch Corridor 方差互換價(jià)格的解析解作為控制變量，分別應(yīng)用動(dòng)態(tài)函數(shù)波動(dòng)率、靜態(tài)常數(shù)波動(dòng)率以及廣義分段常數(shù)波動(dòng)率3 種波動(dòng)率選取方法，對(duì)高維Heston 波動(dòng)率模型下的該產(chǎn)品進(jìn)行蒙特卡羅模擬。

3.1 結(jié)果對(duì)比

參數(shù)設(shè)置：敲定方差K= 0.01，年化因子AF=252，N= 100，T= 1，Corridor 資產(chǎn)價(jià)格的下限A=9，上限B= 11；Variance 資產(chǎn)的方差初值vv0= 0.62，長(zhǎng)期均值θ1= 0.25，回復(fù)速度κ1= 2，方差波動(dòng)率σv= 0.01，相關(guān)系數(shù)ρ1= 0.2，所在市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r1= 0.05；Corridor 資產(chǎn)的方差初值vc0= 0.62，長(zhǎng)期均值θ2= 0.25，回歸速度κ2= 2，方差波動(dòng)率σc=0.01，相關(guān)系數(shù)ρ2= 0.2，所在市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r2=0.05；資產(chǎn)間相關(guān)系數(shù)ρ= 0。分別使用了2. 3 節(jié)中介紹的3 種控制變量波動(dòng)率的選取方法進(jìn)行了Monte Carlo 模擬。Monte Carlo 模擬的結(jié)果見(jiàn)表1所示。

表1 基于3種波動(dòng)率選取法的控制變量蒙特卡羅模擬Tab. 1 Control variate method of Monte Carlo simulation results based on three volatilities of GBM

表1中，M表示模擬路徑數(shù)；P1表示傳統(tǒng)蒙特卡羅模擬得到的Switch Corridor 方差互換價(jià)格；P2、P3、P4分別表示基于靜態(tài)、動(dòng)態(tài)及廣義波動(dòng)率選取的控制變量下Switch Corridor 方差互換的蒙特卡羅模擬價(jià)格；Ei，i= 1，2，3，4 表示各方法對(duì)應(yīng)的模擬誤差；為了更好地比較3 種波動(dòng)率選取算法的優(yōu)劣，VRi和VTRi的定義為

分別表示各方法對(duì)應(yīng)的方差減小倍數(shù)及考慮時(shí)間比的綜合減小倍數(shù)。

由表1可以看到，除靜態(tài)方法以外，其他方法的方差減小倍數(shù)都在300 倍以上，綜合減小倍數(shù)均在200倍以上，說(shuō)明使用函數(shù)波動(dòng)率或分段常數(shù)波動(dòng)率的幾何布朗運(yùn)動(dòng)下該產(chǎn)品的解析解作為控制變量有著較為明顯的方差縮減效果，且隨著模擬次數(shù)的增加，方差減小效果及綜合減小效果均越好，計(jì)算得到的產(chǎn)品價(jià)格也越穩(wěn)定。還可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于該產(chǎn)品而言，動(dòng)態(tài)的選取方法相對(duì)于廣義選取法有著更好的表現(xiàn)，且當(dāng)路徑數(shù)達(dá)到20 000時(shí)，該選取法甚至可以有高達(dá)459. 19倍的縮減效果，這大大提高了計(jì)算精度。若要使原始蒙特卡羅模擬達(dá)到同樣的精度，模擬路徑數(shù)需增加VR2倍。

另外，單獨(dú)考察了基于動(dòng)態(tài)波動(dòng)率的控制變量與原問(wèn)題的相關(guān)性。圖1為兩個(gè)模型下方差互換價(jià)格的散點(diǎn)圖。其中，縱坐標(biāo)表示基于函數(shù)波動(dòng)率的幾何布朗運(yùn)動(dòng)下Switch Corridor 方差互換的價(jià)格，即控制變量的價(jià)格；橫坐標(biāo)表示雙Heston 隨機(jī)波動(dòng)率模型下該產(chǎn)品的模擬值。

圖1 兩類方差互換的價(jià)格散點(diǎn)圖Fig. 1 Scatter plots of values of two types of variance swaps

圖1 中的散點(diǎn)可近似為一條過(guò)原點(diǎn)的直線，即控制變量與原問(wèn)題之間呈現(xiàn)正比例的關(guān)系。進(jìn)一步地，可以根據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計(jì)得到兩者間的相關(guān)系數(shù)為ρ= 0.999 1，可以看到控制變量與原問(wèn)題有高度的相關(guān)性。由控制變量的原理可知，基于該控制變量的蒙特卡羅模擬可以達(dá)到較好的方差縮減效果，大大提高了計(jì)算的精確度。

除此之外，還考慮了其他參數(shù)對(duì)方差減小效果的影響。保持其余參數(shù)不變，僅改變Corridor 資產(chǎn)或Variance資產(chǎn)方差過(guò)程的初值，在動(dòng)態(tài)選取法下，可以得到如表2中的結(jié)果。

表2 動(dòng)態(tài)選取法下資產(chǎn)方差初值對(duì)加速效果的影響Tab. 2 Effect of initial volatility in the dynamic method

表2 中，RC表示動(dòng)態(tài)選取法下當(dāng)保持其他所有參數(shù)不變而僅改變Corridor 資產(chǎn)的方差初值時(shí)得到的縮減倍數(shù)；RV表示動(dòng)態(tài)選取法下當(dāng)保持其余參數(shù)不變而僅改變Variance資產(chǎn)的方差初值時(shí)得到的縮減倍數(shù)。圖2 記錄了隨著Corridor 資產(chǎn)及Variance資產(chǎn)方差初值的變化動(dòng)態(tài)選取法下方差縮減倍數(shù)的波動(dòng)。

圖2 動(dòng)態(tài)選取法下方差初值對(duì)加速效果的影響Fig. 2 Effect of initial volatility in the dynamic method

由圖2可以看出，當(dāng)保持其他參數(shù)不變時(shí)，方差縮減倍數(shù)并不是隨著這兩類資產(chǎn)方差初值的增大線性增加，而是處于波動(dòng)上升的狀態(tài)。當(dāng)初值較小時(shí)，圖中實(shí)線及虛線均呈現(xiàn)上升的趨勢(shì)，且實(shí)線始終處于虛線的上方，說(shuō)明此時(shí)在動(dòng)態(tài)選取法下適當(dāng)增加兩標(biāo)的資產(chǎn)方差的初值均可以提高精確度，且Corridor 資產(chǎn)方差初值的改變有著更好的方差減小表現(xiàn)。明顯可以看到，虛線的整體波動(dòng)范圍較實(shí)線而言更小，實(shí)線的波動(dòng)幅度更大，這說(shuō)明Variance資產(chǎn)方差初值的改變對(duì)方差縮減倍數(shù)的影響效果更小。對(duì)于最優(yōu)值的確定有待進(jìn)一步的討論分析。

3.2 模型參數(shù)對(duì)產(chǎn)品價(jià)格的影響分析

進(jìn)一步地，考察了Switch Corridor 方差互換的價(jià)格與兩個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)模型參數(shù)之間的關(guān)系：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r、長(zhǎng)期均值θ、回復(fù)速度κ、方差初值v0及相關(guān)系數(shù)ρ1、ρ2、ρ，如圖3所示。

由3a 可以看到，隨著Corridor 資產(chǎn)所在金融市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的增加，產(chǎn)品價(jià)格會(huì)有小幅度的波動(dòng)上升；然而對(duì)于Variance資產(chǎn)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的改變，產(chǎn)品價(jià)格基本維持在0. 165 附近，沒(méi)有明顯的增加。在圖3b 中，Corridor 資產(chǎn)的長(zhǎng)期均值增加會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)品價(jià)格小幅下降；而Variance 資產(chǎn)長(zhǎng)期均值的增加會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)品價(jià)格較大幅度的上升；在圖3c 中，隨著Corridor資產(chǎn)的回歸速度的增加，產(chǎn)品的價(jià)格以一個(gè)非常小的幅度波動(dòng)增加；而Variance 資產(chǎn)的回復(fù)速率的增加則會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)品價(jià)格緩慢遞減；在圖3d 中，產(chǎn)品價(jià)格與Corridor 資產(chǎn)的方差初值呈現(xiàn)出負(fù)相關(guān)的趨勢(shì)；而與Variance 資產(chǎn)的波動(dòng)率初值大致成正比例關(guān)系，且幅度相對(duì)較大；由3e和3f可知，產(chǎn)品價(jià)格受資產(chǎn)相關(guān)系數(shù)影響較小，沒(méi)有明顯的趨勢(shì)。

總體而言，標(biāo)的資產(chǎn)的長(zhǎng)期均值θ以及方差初值v0對(duì)Switch Corridor 方差互換產(chǎn)品價(jià)格的影響程度更大；除無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率及相關(guān)系數(shù)之外，Corridor 資產(chǎn)對(duì)價(jià)格的影響大多呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)，而Variance 資產(chǎn)對(duì)產(chǎn)品價(jià)格的影響大多呈現(xiàn)正相關(guān)，且Variance 資產(chǎn)參數(shù)變動(dòng)對(duì)產(chǎn)品價(jià)格的影響程度要高于Corridor資產(chǎn)。這些特征與Switch Corridor 方差互換的收益函數(shù)是相吻合的。

圖3 模型參數(shù)對(duì)產(chǎn)品價(jià)格的影響Fig. 3 Price of product against parameters

4 結(jié)語(yǔ)

本文首先基于仿射擴(kuò)散模型的性質(zhì)推導(dǎo)出了函數(shù)波動(dòng)率的幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型下Switch Corridor 方差互換價(jià)格的解析解，以此作為控制變量對(duì)高維Heston 模型下的該產(chǎn)品的模擬定價(jià)進(jìn)行加速，并采用了3種布朗運(yùn)動(dòng)波動(dòng)率的選取方法進(jìn)行了對(duì)比分析，同時(shí)考察了影響方差互換產(chǎn)品價(jià)格的因素。結(jié)果表明對(duì)于該產(chǎn)品而言，基于動(dòng)態(tài)波動(dòng)率的該控制變量是極其有效的，大大減小了蒙特卡羅的模擬誤差，提高了計(jì)算效率，為其他隨機(jī)波動(dòng)率模型下Outperformance Corridor Variance Swap 等同類多標(biāo)的資產(chǎn)的方差互換產(chǎn)品的定價(jià)研究提供思路。

作者貢獻(xiàn)申明：

馬俊美：總體研究方向的確定，文章的撰寫(xiě)。

余 律：GBM下產(chǎn)品解析解的推導(dǎo)，文章的撰寫(xiě)。

賈曉雨：程序的實(shí)現(xiàn)。