融通算術(shù)教學(xué) 發(fā)展代數(shù)思維

○夏小進

運算教學(xué)在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位。運算遵循一定的法則，按照一定的步驟，經(jīng)歷較長時間的數(shù)量加工與操作求得答案，這個過程是程序性的，體現(xiàn)的是算術(shù)思維。而代數(shù)思維是由關(guān)系或結(jié)構(gòu)來描述的，它的目的是發(fā)現(xiàn)（一般化的）關(guān)系，明確結(jié)構(gòu)，并把它們連接起來，是表征和分析數(shù)量關(guān)系、解決問題、陳述和證明一般規(guī)律的有效途徑。

盡管《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》已將“數(shù)與代數(shù)”設(shè)置為獨立的學(xué)習(xí)領(lǐng)域，并對小學(xué)代數(shù)課程內(nèi)容進行了清晰的表述，但算術(shù)和代數(shù)之間的一致性和整體性仍未盡如人意。如何在算術(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維，實現(xiàn)算術(shù)教學(xué)與代數(shù)教學(xué)的有效銜接與融通？這是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)必須正視、思考和解決的問題。我們可以從以下幾個方面展開思考。

一、在觀察中感悟代數(shù)思維的結(jié)構(gòu)性

小學(xué)算術(shù)中蘊含著不少代數(shù)思維的素材，在低年級就可以適時向?qū)W生滲透一定形式和層次的代數(shù)思維。教師要引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)的眼光觀察算術(shù)問題，關(guān)注算術(shù)中的結(jié)構(gòu)，思考、識別、提取包含于其中的關(guān)系，感受其中結(jié)構(gòu)的變換和表達。

例如下面這道題，在□里填上合適的數(shù)。

以第一個算式為例，有兩種思考方法：第一種方法是先計算等號左邊，再依據(jù)“除數(shù)=被除數(shù)÷商”算出右邊方框里的數(shù)，體現(xiàn)了算術(shù)思維的程序性；第二種方法則從整體上觀察分析，36縮小4倍后是9，要想得數(shù)相等，右邊方框里的數(shù)應(yīng)該是24縮小4倍后的結(jié)果，從而快速得出答案6，避免了繁瑣的計算，體現(xiàn)了代數(shù)思維的結(jié)構(gòu)性。

這道題根據(jù)“商不變”“和不變”“差不變”“積不變”規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生從對數(shù)量的加工與操作轉(zhuǎn)向?qū)λ闶浇Y(jié)構(gòu)的探討，從算術(shù)練習(xí)轉(zhuǎn)向了代數(shù)學(xué)習(xí)，提升了思維水平，并能有效推動后續(xù)學(xué)習(xí)，如分?jǐn)?shù)的約分、比的化簡等。

二、在探尋中體悟代數(shù)推理的實用性

代數(shù)推理要求較高的抽象思維能力和演繹論證能力，具有豐富的思維訓(xùn)練價值，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，促進小學(xué)生從具體形象思維向抽象邏輯思維過渡。小學(xué)高年級算術(shù)教學(xué)可以提供適當(dāng)?shù)臋C會，引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)的思維思考算術(shù)問題，探尋蘊藏其中的代數(shù)關(guān)系和結(jié)構(gòu)。

例如，在學(xué)習(xí)與倍數(shù)相關(guān)的內(nèi)容時，呈現(xiàn)下列算式，要求學(xué)生先筆算。

教師可以設(shè)計如下的教學(xué)流程——

小結(jié)：學(xué)生算完后總結(jié)這些數(shù)都是4的倍數(shù)。

提問：仔細觀察這些數(shù)，它們有什么共同之處？

預(yù)設(shè)：這些數(shù)的末兩位都是4的倍數(shù)。

猜想：一個數(shù)的末兩位是4的倍數(shù)，那這個數(shù)本身也一定是4的倍數(shù)。

啟發(fā)：你能證明這一猜想嗎？

驗證：兩位以上的自然數(shù)，我們都可以用（100x+ab）來表示，其中ab就是它的末兩位，因為100是4的倍數(shù)，所以100x也一定是4的倍數(shù)，如果ab是4的倍數(shù)，那么它們的和（100x+ab）也一定是4的倍數(shù)。

這種規(guī)律的探尋過程既有合情推理，又有初步的演繹推理。學(xué)生在觀察、猜想、歸納、證明的過程中不僅獲得了數(shù)學(xué)知識，發(fā)展了代數(shù)推理能力，也培養(yǎng)了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦硇跃窈涂茖W(xué)態(tài)度。

三、在分析中領(lǐng)悟代數(shù)表達的多樣性

代數(shù)知識可被展示為言語表征、直觀表征（動作、實物和圖畫等）、符號表征等多種形式，每種表征都反映了某一方面的特征。借助多元表征有利于學(xué)生從多角度展開數(shù)學(xué)探索，既豐富了對數(shù)學(xué)的理解，又豐富了問題解決的策略。教師應(yīng)創(chuàng)造機會引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)的語言從多角度表達算術(shù)問題，培養(yǎng)代數(shù)思維，發(fā)展學(xué)生的思維能力。

例如，計算：1005×2004-1004×2005。

由于直接計算特別繁瑣，教師可以引導(dǎo)學(xué)生從整體上觀察這個算式，嘗試從多角度分析、表征算式的結(jié)構(gòu)，發(fā)展代數(shù)思維，加強數(shù)學(xué)理解。

表征一：字母符號表征

表征二：圖形表征

把1005×2004表征為長方形AEFG的面積，1004×2005表征為長方形ABCD的面積。于是原式就被表征為求長方形AEFG與長方形ABCD的面積之差，也就是求長方形DHFG與長方形EBCH的面積之差，容易看出長方形DHFG與長方形EBCH的 寬 都 是1，所以兩者之差為：2004×1-1004×1=1000。

四、在對比中體會代數(shù)方法的優(yōu)越性

算術(shù)方法是設(shè)法通過已知量求出未知量，在此過程中未知量被置于特殊地位，學(xué)生是逆向思維解題。如果題干中有多條信息且彼此存在復(fù)雜關(guān)系時，學(xué)生難免會產(chǎn)生一些困惑，從而產(chǎn)生解題障礙；而用代數(shù)方法解題屬于順向思維，先用字母代替未知數(shù)，等于增加了一項條件，未知量和已知量均參與運算，這就可以順利建立等量關(guān)系。隨著學(xué)習(xí)的深入，問題難度逐漸加深，代數(shù)方法的優(yōu)勢越發(fā)明顯。教學(xué)中應(yīng)加強學(xué)生對代數(shù)方法的學(xué)習(xí)、理解與運用，使學(xué)生意識到算術(shù)方法的局限性，從而自發(fā)產(chǎn)生代數(shù)學(xué)習(xí)的動力和興趣。

例如，這道題：某工廠生產(chǎn)A、B兩種商品，生產(chǎn)的A商品比B商品少12件。已知B商品全部合格，而A商品只有合格，兩種商品合格的共有57件，兩種商品各生產(chǎn)了多少件？

用算術(shù)方法解決這個問題需要較多的逆向思考和較復(fù)雜的解題技巧；而用代數(shù)方法（方程）可以根據(jù)題意正向建立等量關(guān)系式：合格的A商品數(shù)+合格的B商品數(shù)=57件。設(shè)生產(chǎn)A商品x件，則生產(chǎn)B商品（x+12）件，列方程為=57。從而簡化解題過程，順利解出答案。

綜上，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生意識到代數(shù)思維的優(yōu)越性，讓代數(shù)思維方式成為學(xué)生的內(nèi)在需要，促進學(xué)生從算術(shù)思維向代數(shù)思維的跨越，為小學(xué)和初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的有效銜接搭建橋梁。