順應(yīng)思維生長(zhǎng)規(guī)律 凸顯算理算法生成
——《分?jǐn)?shù)乘法》教材解讀與教學(xué)建議

○劉愛東

《分?jǐn)?shù)乘法》是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)第一單元的內(nèi)容，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了整數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)以及分?jǐn)?shù)加法等知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行編排的，其教學(xué)目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生探索、理解并掌握分?jǐn)?shù)乘法的意義和計(jì)算方法，拓展乘法運(yùn)算的意義，并能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。這些是小學(xué)階段重要的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。一方面，有關(guān)分?jǐn)?shù)的知識(shí)和方法都比較抽象，對(duì)發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力有著重要的促進(jìn)作用；另一方面，學(xué)好這部分內(nèi)容，可以使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法之間的聯(lián)系，豐富對(duì)現(xiàn)實(shí)世界基本數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)；同時(shí)，也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法、分?jǐn)?shù)四則混合運(yùn)算以及有關(guān)分?jǐn)?shù)實(shí)際問題打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

一、關(guān)注內(nèi)容變化，明晰思維起點(diǎn)

與實(shí)驗(yàn)教材相比，新教材除了把原《分?jǐn)?shù)乘法》單元中“倒數(shù)”的內(nèi)容移至《分?jǐn)?shù)除法》單元外，教學(xué)內(nèi)容上主要有三個(gè)方面的變化。

1.突出乘法意義的擴(kuò)展，厘清了分?jǐn)?shù)乘法的意義。

傳統(tǒng)教學(xué)通常把分?jǐn)?shù)乘法的意義分成兩個(gè)部分進(jìn)行教學(xué)，一是分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的意義與整數(shù)乘法相同，都表示求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便計(jì)算，二是一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義與整數(shù)乘法不同，表示求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少。新教材從乘法的本質(zhì)出發(fā)，把分?jǐn)?shù)乘法的意義和整數(shù)乘法的意義統(tǒng)一歸結(jié)為“幾個(gè)幾”（這里的兩個(gè)“幾”既可以是整數(shù)，也可以是分?jǐn)?shù)），并用“幾的幾分之幾（幾倍）”的語言來描述，既降低了思維的難度，又凸顯出數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

根據(jù)這樣的思路，教材編排了三道例題來教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法的意義和計(jì)算。例1通過創(chuàng)設(shè)分蛋糕的情境，引導(dǎo)學(xué)生探索的計(jì)算方法。學(xué)生通常會(huì)根據(jù)整數(shù)乘法的意義，應(yīng)用連加的計(jì)算方法推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的方法。例2通過回憶舊知“1桶水有12L”“3桶水共多少升”，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)量關(guān)系“單位量×數(shù)量=總量”列出算式12×3后，想“求3個(gè)12L，就是求12L的（）倍是多少”，把意義的理解聚焦到“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”上來。依循這樣的過程學(xué)習(xí)“桶水是多少升”，組織學(xué)生結(jié)合直觀圖和分?jǐn)?shù)的意義，探究發(fā)現(xiàn)的意義就是求“12L的是多少”，進(jìn)而得出“一個(gè)數(shù)乘幾分之幾就是求這個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”。把“一個(gè)數(shù)的幾倍”擴(kuò)展到了“一個(gè)數(shù)的幾分之幾”，使學(xué)生理解到分?jǐn)?shù)乘法的意義和整數(shù)乘法的意義本質(zhì)上完全一致，從而完成乘法意義的擴(kuò)展。在此基礎(chǔ)上，例3求“公頃的，列成算式也就水到渠成了。

2.凸顯生活實(shí)踐的需要，增加分?jǐn)?shù)與小數(shù)相乘的內(nèi)容。

實(shí)驗(yàn)教材中沒有分?jǐn)?shù)與小數(shù)相乘的教學(xué)內(nèi)容，但在日常生活和未來的學(xué)習(xí)中，會(huì)遇到許多分?jǐn)?shù)與小數(shù)相乘的情況。當(dāng)分?jǐn)?shù)的分母能夠與小數(shù)直接約分時(shí)，如果學(xué)生還是把小數(shù)改寫成分?jǐn)?shù)再進(jìn)行約分，或者把分?jǐn)?shù)改寫成小數(shù)再計(jì)算，其繁瑣程度和出錯(cuò)概率無疑會(huì)大大增加，因此，新教材安排了例5，分別計(jì)算和通過教學(xué)使學(xué)生明白，當(dāng)遇到分?jǐn)?shù)的分母能夠與小數(shù)直接約分時(shí)可以先約分再計(jì)算。這樣的編排，一方面有助于學(xué)生形成更合理的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面有助于溝通分?jǐn)?shù)與小數(shù)之間的聯(lián)系，有利于促進(jìn)學(xué)生在實(shí)際計(jì)算中，養(yǎng)成根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)靈活選擇計(jì)算方法的好習(xí)慣，提高運(yùn)算能力。

3.彰顯解決問題的方法，調(diào)整了用分?jǐn)?shù)乘法解決實(shí)際問題的類型。

新教材在學(xué)生理解與掌握“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”這一基本問題的基礎(chǔ)上，增加了例8“連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”的實(shí)際問題。這類問題需要通過“中間量”搭建起已知量和所求量之間的“橋梁”，解決的關(guān)鍵在于，要把較復(fù)雜的問題化歸為基本的“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少”，并牢牢抓住這一基本數(shù)量的關(guān)鍵要素：這個(gè)數(shù)是誰？是誰的幾分之幾？所求到的量是什么？

而求“比一個(gè)數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少”的實(shí)際問題，與實(shí)驗(yàn)教材相比，由兩個(gè)例題縮減為一個(gè)，只安排了例9解決求比一個(gè)數(shù)多幾分之幾的數(shù)是多少，將“求比一個(gè)數(shù)少幾分之幾的數(shù)是多少”放在“做一做”中讓學(xué)生鞏固掌握。

二、把握教材特點(diǎn)，彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

1.整體建構(gòu)，前后知識(shí)聯(lián)系緊密。

為了便于組織教學(xué)，教材將安排的9個(gè)例題整合成三個(gè)教學(xué)段落。其中，第一段4個(gè)例題：例1教學(xué)分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的計(jì)算方法，例2教學(xué)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，并由此拓展乘法運(yùn)算的意義，例3教學(xué)分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘的方法，例4教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法中的約分；第二段3個(gè)例題：例5教學(xué)分?jǐn)?shù)與小數(shù)相乘的計(jì)算方法，例6、例7教學(xué)分?jǐn)?shù)乘法與加、減法混合運(yùn)算，以及根據(jù)運(yùn)算定律進(jìn)行分?jǐn)?shù)乘法的簡(jiǎn)便計(jì)算；第三段2個(gè)例題：例8教學(xué)兩步連乘的實(shí)際問題，例9教學(xué)求比一個(gè)數(shù)多幾分之幾是多少的實(shí)際問題。第一段重在分?jǐn)?shù)乘法的意義和計(jì)算方法，第二段重在分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算的拓展，第三段重在分?jǐn)?shù)乘法的應(yīng)用，三個(gè)段落循序漸進(jìn)、層次分明，內(nèi)在邏輯關(guān)系十分清晰。

2.借助直觀，豐盈過程外顯算理。

教材充分借助幾何直觀的作用，發(fā)揮直觀圖、連續(xù)性直觀文本、線段圖等易于直接觀察和動(dòng)手操作的優(yōu)勢(shì)，使內(nèi)在的思考過程顯性化，讓抽象的邏輯思維和空間想象能力得到有效的提升。例1借助直觀的蛋糕圖和分?jǐn)?shù)的意義，引導(dǎo)學(xué)生得出分?jǐn)?shù)乘整數(shù)的計(jì)算方法。例3借助3幅連續(xù)的矩形直觀圖和分?jǐn)?shù)的意義理解分?jǐn)?shù)乘法的算理，以動(dòng)態(tài)的方式、可視的形式幫助學(xué)生理解數(shù)與量之間的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)換。例9借助畫線段圖的策略，直觀顯示嬰兒每分鐘心跳次數(shù)與青少年每分鐘心跳次數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生利用圖形解決分?jǐn)?shù)乘法實(shí)際問題的意識(shí)和能力。

3.重視素養(yǎng)，解題策略開放靈活。

教材編排在解題方法策略多樣化方面十分突出，策略的開放使解決問題從關(guān)注形式轉(zhuǎn)到關(guān)注本質(zhì)，避免了學(xué)生機(jī)械套用公式解題，促使學(xué)生把注意力更多地放在解決問題的過程和方法上。例6提供了兩種方法，可以先算出一條長(zhǎng)與一條寬之和，再乘2求周長(zhǎng)；也可以先算出兩條長(zhǎng)和兩條寬，再相加求周長(zhǎng)，很自然地呈現(xiàn)出兩級(jí)運(yùn)算的題和帶小括號(hào)的題，再根據(jù)“分?jǐn)?shù)混合運(yùn)算的順序和整數(shù)混合運(yùn)算的順序相同”的提示，讓學(xué)生自主選擇喜歡的方法解決問題。例8也提供了兩種方法，可以先求出蘿卜地的面積，也可以先求出紅蘿卜地占大棚面積的幾分之幾。例9可以先求出嬰兒每分鐘比青少年多跳的次數(shù)，也可以先求嬰兒每分鐘心跳次數(shù)是青少年的幾分之幾。

三、提出教學(xué)建議，培育核心素養(yǎng)

1.把計(jì)算教學(xué)與解決實(shí)際問題的教學(xué)有機(jī)結(jié)合。

本單元教材一共安排了9個(gè)例題，其中有8個(gè)例題是與生活現(xiàn)實(shí)密切聯(lián)系的實(shí)際問題。因此，教學(xué)中要十分重視聯(lián)系現(xiàn)實(shí)情境，促進(jìn)學(xué)生自主探究、遷移類推、自主建構(gòu)。教學(xué)例1時(shí)，可以從切生日蛋糕的情境引入，用“‘每人吃2個(gè)，3人一共吃多少個(gè)’怎樣列式”“分別表示什么意思”“怎樣計(jì)算”等問題，引發(fā)學(xué)生重溫“整數(shù)乘法的意義和分?jǐn)?shù)加法計(jì)算”等舊知，并以此為基礎(chǔ)，鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合蛋糕圖，自主類推學(xué)習(xí)“每人吃個(gè)，3人一共吃多少個(gè)”，使學(xué)生逐步理解分?jǐn)?shù)乘法的算理，掌握分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的計(jì)算方法。例8通過求“紅蘿卜地有多少平方米”這一連續(xù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少的實(shí)際問題，讓學(xué)生學(xué)會(huì)分?jǐn)?shù)連乘的方法。這樣，結(jié)合解決實(shí)際問題的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生探索并理解分?jǐn)?shù)乘法的意義和計(jì)算方法，既有利于聯(lián)系現(xiàn)實(shí)問題情境，深入理解分?jǐn)?shù)乘法的意義，也有利于經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)問題中抽象出數(shù)量關(guān)系的過程，從而積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思考和解決實(shí)際問題的能力。

2.深度理解分?jǐn)?shù)乘法的算理和算法。

（1）借助幾何直觀，凸顯思維過程。

對(duì)于分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算，學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn)在于算理的理解，即計(jì)算方法形成的過程及其意義的理解。為此，教師要充分借助幾何直觀，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算方法的探究過程，化抽象、復(fù)雜為形象、簡(jiǎn)潔，正確理解分?jǐn)?shù)乘法的算理和算法。教學(xué)例3分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘時(shí)，可以借助長(zhǎng)方形示意圖動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)運(yùn)算過程。先讓學(xué)生通過觀察表示數(shù)量關(guān)系的示意圖，并聯(lián)系分?jǐn)?shù)乘法的意義，提出關(guān)于分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)計(jì)算方法的猜想，再將一張空白的長(zhǎng)方形紙看成1公頃開展操作驗(yàn)證，上下對(duì)折后，左右又均分成5份，給其中的一份畫上陰影，展開后觀察陰影部分占長(zhǎng)方形面積的幾分之幾，就是結(jié)果，進(jìn)一步感知猜想的合理性。接著讓學(xué)生在長(zhǎng)方形紙上表示的計(jì)算結(jié)果，最后啟發(fā)學(xué)生觀察每個(gè)乘法算式，以及由畫圖操作所得到的計(jì)算結(jié)果，比較、分析每一道算式中積的分子、分母與兩個(gè)因數(shù)的分子、分母的關(guān)系，歸納總結(jié)出分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法。這樣的學(xué)習(xí)過程，符合學(xué)生的年齡和思維特點(diǎn)，有助于學(xué)生借助直觀理解抽象問題的經(jīng)驗(yàn)的積累。

（2）加強(qiáng)類比歸納，發(fā)展數(shù)學(xué)思考。

數(shù)學(xué)知識(shí)和方法之間總是有內(nèi)在聯(lián)系的，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)并溝通這種聯(lián)系，不僅有助于學(xué)生更加透徹地理解所學(xué)的知識(shí)和方法，而且有助于優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解。教學(xué)例2求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，一方面要通過適當(dāng)?shù)谋容^，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到它與“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少”看似數(shù)量關(guān)系不同，但它們的數(shù)學(xué)本質(zhì)卻是一樣的，“幾分之幾”和“幾倍”都表示兩個(gè)數(shù)量之間的比的關(guān)系，只是前者比值小于1，后者比值大于1；另一方面，有了上述的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生就有可能自主探索較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)實(shí)際問題。例6、例7分?jǐn)?shù)乘法與加、減法的混合運(yùn)算，以及根據(jù)運(yùn)算定律進(jìn)行分?jǐn)?shù)乘法的簡(jiǎn)便計(jì)算，學(xué)生在學(xué)習(xí)整數(shù)乘法時(shí)都有過類似的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)、方法的積累，這里只是把整數(shù)換成了分?jǐn)?shù)。教學(xué)中，要通過類比歸納，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的道理，學(xué)生自然而然地會(huì)把這部分知識(shí)同化到已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中來。

3.在分?jǐn)?shù)乘法拓展中提高運(yùn)算能力。

運(yùn)算能力不僅僅指依據(jù)法則和運(yùn)算律等正確計(jì)算的能力，還包括尋找更加簡(jiǎn)潔的運(yùn)算方法的意識(shí)，以及對(duì)運(yùn)算結(jié)果合理性的把握能力。教學(xué)中，要注意發(fā)揮例題和習(xí)題的教學(xué)價(jià)值，著力引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)計(jì)算規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律合理、靈活地計(jì)算。教學(xué)例5分?jǐn)?shù)與小數(shù)相乘的計(jì)算方法時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在約分前先要認(rèn)真審題，當(dāng)遇到分?jǐn)?shù)的分母能夠與小數(shù)直接約分時(shí)要先約分再計(jì)算，這樣可以使計(jì)算簡(jiǎn)便。教學(xué)例8兩步連乘的實(shí)際問題時(shí)，要讓學(xué)生通過比較懂得，我們可以有兩種方法進(jìn)行計(jì)算：一是先把前兩個(gè)數(shù)相乘，再用乘得的積與第三個(gè)數(shù)相乘，二是根據(jù)已有的約分以及乘法運(yùn)算律的經(jīng)驗(yàn)，將題中每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母分別看成一個(gè)整體進(jìn)行一次性約分，即題中的任意一個(gè)分子可以與任意一個(gè)分母進(jìn)行約分，所有分子相乘的積作積的分子，所有分母相乘的積作積的分母。顯然，后者更加簡(jiǎn)潔，需要大力提倡，讓學(xué)生盡可能掌握這種方法。而例9求“比一個(gè)數(shù)多幾分之幾是多少”的實(shí)際問題中的兩種解法，學(xué)生可以根據(jù)實(shí)際情況靈活應(yīng)用。

資料存盤

1.《分?jǐn)?shù)乘法》的課標(biāo)解讀。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在“學(xué)段目標(biāo)”的第二學(xué)段中提出：掌握必要的運(yùn)算技能。在“課程內(nèi)容”的第二學(xué)段中提出：能分別進(jìn)行簡(jiǎn)單的小數(shù)和分?jǐn)?shù)（不含帶分?jǐn)?shù)）的加、減、乘、除運(yùn)算及混合運(yùn)算（以兩步為主，不超過三步）；能解決小數(shù)、分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的簡(jiǎn)單實(shí)際問題；經(jīng)歷與他人交流各自算法的過程，并能表達(dá)自己的想法。

2.最早的分?jǐn)?shù)乘法。

最早的分?jǐn)?shù)乘法運(yùn)算見于中國(guó)古代的《九章算術(shù)》，該書稱分?jǐn)?shù)乘法為乘分，其法則是：“母相乘為法，子相乘為實(shí)，實(shí)如法而一?！弊g為今文是：分母相乘作積的分母，分子相乘作積的分子。用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)符號(hào)可表示為：

3.湯斯托爾的分?jǐn)?shù)乘法。

在歐洲，湯斯托爾1552年發(fā)表的用拉丁文寫的算術(shù)書中，說明時(shí)，先將正方形垂直地均分成5個(gè)長(zhǎng)條，然后再水平地均分成5個(gè)長(zhǎng)條（如圖），這樣就分成了25個(gè)小正方形，其中每一個(gè)小正方形的面積是大正方形面積的