牛頓力學(xué)與分析力學(xué)對動力學(xué)問題的解法比較

呂 嫣, 崔 崧, 李慧玲

(沈陽師范大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 沈陽 110034)

0 引 言

理論力學(xué)是理工科學(xué)生一門重要的基礎(chǔ)理論課,屬于理論物理的范疇。從研究問題和解題方法角度來看,理論力學(xué)分為兩大體系,分別是牛頓力學(xué)體系和分析力學(xué)體系[1-3]。牛頓力學(xué)是從作用效果角度總結(jié)出來的一套理論,注重觀察到的現(xiàn)象和結(jié)果,所涉及的量多為矢量,如力和動量,所以也稱為矢量力學(xué)。分析力學(xué)從內(nèi)在的本質(zhì)角度去分析研究物體運(yùn)動變化的原因,從一種更為抽象的角度歸納力學(xué)概念,所涉及的量多為標(biāo)量,如功和能量。分析力學(xué)是在牛頓力學(xué)基礎(chǔ)之上發(fā)展起來的,分析力學(xué)方程可以由牛頓力學(xué)方程導(dǎo)出,因此分析力學(xué)和牛頓力學(xué)同樣適用于宏觀物體的低速運(yùn)動,但分析力學(xué)本身是一個(gè)獨(dú)立、完整的理論體系[4-7]。牛頓力學(xué)和分析力學(xué)都是解決力學(xué)問題,但它們在解題思想和方法上卻是完全不同的。牛頓力學(xué)對每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行受力分析,分別列出它們的動力學(xué)方程,并且對于不同的坐標(biāo),不同的研究對象有著不同的方程式。而分析力學(xué)將系統(tǒng)作為一個(gè)整體來處理,采用獨(dú)立的廣義坐標(biāo)確定系統(tǒng)的位置,其動力學(xué)方程描述了整個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動規(guī)律,對任何坐標(biāo)、任何力學(xué)研究對象均適用[8-18]。下面就通過一個(gè)例子對兩種方法在處理力學(xué)問題時(shí)的不同做一比較。

例題有一光滑圓形金屬絲圈,半徑為r,它以一定角速度ω繞豎直直徑轉(zhuǎn)動。一質(zhì)量為m的小環(huán)套在圓圈上。初始時(shí),小環(huán)在圓圈的最高點(diǎn)并無初速地沿圓圈滑下,當(dāng)小環(huán)和圓圈中心的連線與豎直方向的直徑成θ角時(shí),求小環(huán)的運(yùn)動微分方程及其所受的約束反作用力。

1 用牛頓力學(xué)方法求解

圖1 例題圖

式(1)為沿切向方程,即為小環(huán)的運(yùn)動微分方程。式(2)為沿主法線方向,即半徑方向方程,式(3)為沿副法線方向(垂直紙面向里)方程。又由式(1),并考慮到初始條件可得

(4)

由式(2)及式(3)得圈對小環(huán)的約束反作用力為

式中Rn和Rb為約束反作用力沿主法線和副法線方向的分量。

本題屬于轉(zhuǎn)動參照系中的動力學(xué)問題。應(yīng)用牛頓力學(xué)解決此類問題，首先要進(jìn)行的就是受力分析，由于是在非慣性系中運(yùn)動，除了考慮質(zhì)點(diǎn)所受的主動力和約束反作用力外，還需引入慣性離心力和科里奧利力兩個(gè)慣性力。判斷出各力的方向，應(yīng)用轉(zhuǎn)動參照系中牛頓運(yùn)動定律，列出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動微分方程，并根據(jù)不同方向動力學(xué)方程解出所受的約束反作用力。此種方法不僅可以給出運(yùn)動微分方程，還可以求出約束反作用力。

2 用分析力學(xué)方法求解

2.1 用拉格朗日方程求解

金屬絲圈是光滑的,小環(huán)所受的主動力只有重力,且為保守力,所以小環(huán)為完整保守力學(xué)體系。其自由度為1,選取θ為廣義坐標(biāo),體系的動能為

(7)

取過圓心的水平面為零勢能面,則體系勢能為

V=mgrcosθ

(8)

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

(9)

與該題對應(yīng)的保守系的拉格朗日方程為

(10)

計(jì)算得

將式(11)、式(12)代入式(10)中得小環(huán)運(yùn)動微分方程形式為

(13)

拉格朗日方程分為基本形式的拉格朗日方程和保守力系的拉格朗日方程，它們是一組數(shù)目等于體系自由度的二階常微分方程。對于非保守力系，需要求出體系的動能和廣義力，而對于保守力系，需要求出體系的拉格朗日函數(shù)。拉格朗日函數(shù)為體系的動能與勢能之差，它是力學(xué)體系的特性函數(shù)，表征著約束、運(yùn)動狀態(tài)、相互作用等性質(zhì)。此種方法不需要受力分析，給出系統(tǒng)的動能、勢能，寫出拉格朗日函數(shù)，代入到保守力系的拉格朗日方程中即可求解。

2.2 用哈密頓正則方程求解

體系的哈密頓函數(shù)為

(14)

其中

(15)

(16)

由哈密頓正則方程

式(17)對時(shí)間求導(dǎo),并將式(18)代入,得

(19)

整理得小環(huán)運(yùn)動微分方程為

(20)

此結(jié)果與前面相同。利用此方法求解需由拉格朗日函數(shù)計(jì)算出哈密頓函數(shù),將用廣義坐標(biāo)和廣義動量表示的哈密頓函數(shù)代入到正則方程計(jì)算。哈密頓正則方程是一組方程數(shù)目是廣義坐標(biāo)數(shù)目二倍的一階微分方程組,相比較于拉格朗日方程其階數(shù)降低了,但方程數(shù)目是其二倍,對于多自由度的力學(xué)體系,這一對比更為明顯。

2.3 用哈密頓原理求解

完整保守系的哈密頓原理為

(21)

將式(9)代入上式,得

(22)

其中

(23)

將式(23)代入式(22),得

(24)

因?yàn)棣摩葇t1=0,δθ|t2=0,再由δθ任意性,得

(25)

哈密頓原理是采用變分法來挑選動力軌道的,由此可以確定力學(xué)體系的運(yùn)動規(guī)律。應(yīng)用哈密頓原理可推出很多其他原理、方程和定律。應(yīng)用該方法時(shí),直接將力學(xué)體系的拉格朗日函數(shù)代入到哈密頓原理中進(jìn)行計(jì)算,因此它也是一組二階微分方程組,數(shù)目與廣義坐標(biāo)數(shù)目相同。

3 結(jié) 論

對于同一動力學(xué)問題，牛頓力學(xué)方法和分析力學(xué)方法得到相同的結(jié)果。從解題過程中可以看出，牛頓力學(xué)方法物理圖像直觀、清晰，但不能避開約束力。約束越多，方程數(shù)目越多，會給求解帶來困難。分析力學(xué)方法不用受力分析，避開了約束力，方程更為簡潔。在分析力學(xué)范圍內(nèi)又給出了三種解題方法，分別是利用拉格朗日方程、哈密頓正則方程和哈密頓原理來求解。由拉格朗日方程可以推導(dǎo)出哈密頓原理，而由哈密頓原理又可推導(dǎo)出哈密頓正則方程，所以三種方程是相通的，但由于方程的數(shù)目不同，所需代入的函數(shù)不同，所以在求解時(shí)又有一定的選擇性。對于完整保守力學(xué)體系，可采用三種方法之一求其運(yùn)動規(guī)律。對于較復(fù)雜的動力學(xué)問題，采用分析力學(xué)方法求解較為方便，但不能求出約束反作用力，所以對于題干要求求解約束力的問題，還要采用牛頓力學(xué)方法解決。