高中數(shù)學(xué)解題中函數(shù)思想的應(yīng)用

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在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用函數(shù)思想,可以將復(fù)雜難懂的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成同學(xué)們熟悉的函數(shù)模型,運(yùn)用函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)順利解決問題。但是如何將函數(shù)思想靈活地應(yīng)用在數(shù)學(xué)解題中,是同學(xué)們面臨的最大問題,下面就此進(jìn)行分析,希望能起到拋磚引玉的作用。

1.在方程解題中的應(yīng)用

方程直接貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)生涯,其重要性不言而喻。同學(xué)們在解決方程問題時(shí),可以將函數(shù)思想應(yīng)用其中,將復(fù)雜的方程公式轉(zhuǎn)化成函數(shù)模型,利用函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)達(dá)到順利解決問題的目的,以此提高解決方程問題的準(zhǔn)確性。在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中,方程問題比較容易出錯(cuò),常常會(huì)因?yàn)橛?jì)算錯(cuò)誤而影響最終結(jié)果的準(zhǔn)確性。而函數(shù)思想的應(yīng)用,可以將方程中的未知數(shù)以對應(yīng)關(guān)系的方式呈現(xiàn)出來,利用函數(shù)圖像的方式確定最終結(jié)果,提高了解題效率和準(zhǔn)確性。

例如,已知方程x2-ax-bx+ab=2有兩個(gè)根,其中a＜b,求方程的兩個(gè)根與a、b大小的關(guān)系。

同學(xué)們剛看到這一問題時(shí),會(huì)感到非常迷茫,不知道應(yīng)該從哪里入手,問題中未知量過多,無法確定最終的答案。而函數(shù)思想的應(yīng)用,可以將方程問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題,通過函數(shù)與圖像的結(jié)合,確定問題的答案。根據(jù)函數(shù)特點(diǎn),先將方程x2-ax-bx+ab=2轉(zhuǎn)化成f(x)=(x-a)(x-b)-2,f1(x)=(x-a)(x-b)的形式。然后根據(jù)函數(shù)方程畫出兩個(gè)不同的圖形(圖像略),確定函數(shù)圖像的開口方向,最終得到方程的兩個(gè)根與a、b之間的大小關(guān)系。

2.在數(shù)列解題中的應(yīng)用

函數(shù)與數(shù)列之間具有比較密切的關(guān)系。數(shù)列作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一部分,不僅是學(xué)習(xí)的重點(diǎn),也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容。應(yīng)用函數(shù)思想解決數(shù)列問題時(shí),可以將數(shù)列的項(xiàng)定義為函數(shù)的值、序號(hào)定義為函數(shù)中的自變量。通過知識(shí)的轉(zhuǎn)化,將數(shù)列問題簡單化、具體化,以此提高解決問題的效率。

例如,已知S2n=4n2+2n+1,求Sn。

同學(xué)們在解決這一問題時(shí),容易受到慣性思維的影響導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。實(shí)際解題中,可以先利用函數(shù)思想將問題轉(zhuǎn)變成函數(shù)的形式,如f(2n)=4n2+2n+1。然后利用函數(shù)知識(shí)中的換元法,用n代替2n,得到函數(shù)公式f(n)=n2+n+1,最終得到數(shù)列的和Sn。

3.在不等式解題中的應(yīng)用

不等式問題中會(huì)涉及區(qū)間、最值的問題。當(dāng)同學(xué)們遇到不等式求值或者值域區(qū)間的問題時(shí),常常會(huì)出現(xiàn)無從入手的情況。函數(shù)思想的應(yīng)用,可以幫助大家厘清解題思路,使同學(xué)們快速發(fā)現(xiàn)解答這一問題的方法與技巧。

例如,已知函數(shù)f(x)在定義域(0,+∞)上為增函數(shù),且滿足f(xy)=f(x)+f(y),若f(3)=1,求不等式f(x)+f(x-8)≤2的解。

解決上述問題時(shí),先利用函數(shù)思想將不等式轉(zhuǎn)化成函數(shù)f(x)形式,然后利用已知條件f(3)=1,f(xy)=f(x)+f(y),進(jìn)行分析,確定解題思路。解題過程：由f(3)=1,得f(9)=f(3)+f(3)=2,因?yàn)閒(x)+f(x-8)=f[x(x-8)],所以f[x(x-8)]≤f(9),f(x)在定義域(0,+∞)上為增函數(shù),解不等式,最終得到原不等式的解為{x|8＜x≤9}。

結(jié)束語：綜上所述,函數(shù)思想可以應(yīng)用在解答方程問題、數(shù)列問題、不等式問題中,能夠?qū)栴}簡單化,可以提高答案的準(zhǔn)確率。所以,在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,同學(xué)們應(yīng)重視該思想方法的學(xué)習(xí)及應(yīng)用,以此提高解決問題的能力,提升知識(shí)應(yīng)用的能力。