高中物理“逐差法”研究綜述與教學(xué)建議*

宋 靜

(福州教育研究院 福建 福州 350001)

林 欽

(福建師范大學(xué)物理與能源學(xué)院 福建 福州 350108)

“逐差法”是物理實驗中處理數(shù)據(jù)的一種重要方法，因用其處理數(shù)據(jù)的方法常在高考物理實驗試題中出現(xiàn)，使得中學(xué)物理教師對該方法格外關(guān)注. 在“中國知網(wǎng)”以“逐差法”為關(guān)鍵詞檢索發(fā)現(xiàn)有219篇研究，其中“基礎(chǔ)教育與中等職業(yè)教育”領(lǐng)域最多，有79篇文獻(數(shù)據(jù)截止投稿時). 中學(xué)物理教師有關(guān)“逐差法”的研究隨著2001年、2006年、2014年和2017年高考試題的考查，一次又一次出現(xiàn)高峰.

中學(xué)物理教師所關(guān)注的問題是什么？每次討論的焦點是否出現(xiàn)變化？多年持續(xù)的討論有沒有得到公認(rèn)的結(jié)果？我們對現(xiàn)有的研究文獻進行梳理，嘗試在回答這些問題的基礎(chǔ)上，明確中學(xué)物理實驗中“逐差法”的應(yīng)用方法和考查目標(biāo)，為“逐差法”的教學(xué)提供參考.

分析發(fā)現(xiàn)，中學(xué)物理教師討論的“逐差法”普遍圍繞兩個實驗進行：“勻變速直線運動”和“自由落體運動”，即圍繞“如何利用逐差法處理打點計時器得到的勻變速直線運動的紙帶”(有59篇)，學(xué)者所探討的問題主要有兩類：一是“逐差法與兩段法處理數(shù)據(jù)的差異”[1～4]，二是“奇數(shù)項數(shù)據(jù)如何使用逐差法”[5～7]. 下面我們就從這兩方面的研究入手，梳理學(xué)者們的研究.

1 “逐差法”研究爭議問題的探析

1.1 “逐差法”還是“兩段法”

如圖1所示是自由落體運動實驗中打點計時器打出的紙帶，各點時間間隔是T.

圖1 “測量自由落體運動加速度”實驗數(shù)據(jù)6組

應(yīng)用“逐差法”計算勻變速直線運動的加速度過程如下.

(1)

若用“兩段法”計算加速度，可記0～3點的位移為s′，3～6點的位移為s″，運動時間則為3T，計算過程如下

(2)

比較式(1)和(2)發(fā)現(xiàn)，“逐差法”和“兩段法”的數(shù)據(jù)處理的過程和結(jié)果是完全一致的.于是有教師認(rèn)為，應(yīng)用“兩段法”處理數(shù)據(jù)更簡便[8,9].

1.2 奇數(shù)項數(shù)據(jù)取舍問題

如圖2所示的紙帶上只有5段數(shù)據(jù)，應(yīng)用“逐差法”時需要舍棄某一段數(shù)據(jù). 有學(xué)者認(rèn)為應(yīng)該舍棄第一段(s1段)，理由是第一段數(shù)值最小，測量的相對誤差較大. 也有學(xué)者認(rèn)為應(yīng)該舍棄中間段(s3段)，理由是舍棄s3段數(shù)據(jù)后“逐差”的差值比舍棄s1段數(shù)據(jù)“逐差”的差值大，計算結(jié)果誤差小[10].

圖2 “測量自由落體運動加速度”實驗數(shù)據(jù)5組

從雙方的理由可以發(fā)現(xiàn)，前者是站在“測量相對誤差”的角度，在測量儀器精度確定的情況下，測量結(jié)果越大，相對誤差越小，舍棄測量結(jié)果數(shù)值較小的s1段，可以減小誤差. 后者則是基于“計算相對誤差”的角度進行分析的，在儀器測量誤差一定的情況下，數(shù)據(jù)差值越大(s5-s2>s5-s3)，誤差越小.

在勻變速直線運動實驗中，顯然這兩方面的誤差都不可忽視[11]. 但何種誤差的影響更小則與每次實驗測量的偶然誤差、打點計時器的隨機誤差有關(guān)，無法一概而論. 于是有學(xué)者呼吁“不要再考逐差法”了[12].

2 “逐差法”的內(nèi)涵辨析

梳理上述兩個爭議的問題，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)者們討論的“逐差法”是：在處理數(shù)據(jù)時，將測量得到的數(shù)據(jù)按自變量(時間t)的大小順序排列后平分為前后兩組，先求出兩組中對應(yīng)項(因變量s)的差值(即求逐差)，然后取其平均值[13]. 且絕大部分學(xué)者都將該定義當(dāng)成普遍的共識，沒有標(biāo)注概念的定義來源. 為此，我們有必要先探尋一下“逐差法”的定義.

最早提出逐差法的文獻可以追溯到1953年的北京大學(xué)普通物理教研組提出“用逐差法處理數(shù)據(jù)減小誤差”[14]. 龔鎮(zhèn)雄、潘小青等在普通物理實驗數(shù)據(jù)處理中對“逐差法”的介紹是[15,16]：

在預(yù)測某一物理規(guī)律滿足冪函數(shù)關(guān)系y=a0+a1x+a2x2+a3x3+…時，只要找到冪函數(shù)各項的系數(shù)，就清楚這一物理規(guī)律了. 在處理實驗數(shù)據(jù)時采用逐差法.

(1)如果y與x是一次函數(shù)關(guān)系，利用一次逐差消去常數(shù)項即可得到一次項的系數(shù).

(2)若y與x是二次函數(shù)關(guān)系，利用一次逐差消去常數(shù)項，二次逐差消去一次項，即可得到二次項的系數(shù).

(3)……

即“逐差法”的本意是通過“尋找冪函數(shù)系數(shù)ai”的方式尋找數(shù)據(jù)背后的規(guī)律.

但是，中學(xué)物理實驗中應(yīng)用逐差法的目的是為了求自變量x，以自由落體運動實驗的紙帶為例(數(shù)據(jù)如圖2所示)，按照逐差法處理數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)結(jié)果為零，希望求得的是重力加速度g. 計算過程如下(計時零點速度為v0)

一次逐差：Δs1=s4-s2=2at2； Δs2=s3-s1=2at2

二次逐差：Δs2-Δs1=0

可以發(fā)現(xiàn)，一次逐差時已經(jīng)消除了1次方項，二次逐差時則消除了2次方項. 因此無論數(shù)據(jù)有多少段，二次逐差的結(jié)果都是零，無法獲得二次項的系數(shù).

但是，我們可以在一次逐差后，直接求a的平均值

即

因此，在中學(xué)“測量勻變速直線運動加速度”的實驗中，教師們沒有探索“因自變量之間的關(guān)系”的意圖，是在已知位移和時間關(guān)系的前提下，計算加速度的平均值.

可見，我們在處理勻變速直線運動數(shù)據(jù)處理時的“逐差法”并不具備嚴(yán)格意義上的“逐差探索因自變量關(guān)系”的意義. 只有處理數(shù)據(jù)過程上的相似，是一種概念上的“借用”. 即中學(xué)物理教師們所討論的“逐差法”意圖是“逐項相減”“充分利用數(shù)據(jù)，減小實驗誤差”. 在“測量勻變速直線運動加速度”的實驗中，不論應(yīng)用“兩段法”還是“逐差法”處理數(shù)據(jù)，都能實現(xiàn)“充分利用數(shù)據(jù)，減小實驗誤差”的目的，只存在名稱上的差異.

3 “逐差法”教學(xué)與考試價值追求

如上所述，中學(xué)物理實驗處理數(shù)據(jù)時使用“逐差法”的目的在于充分利用數(shù)據(jù)和減小實驗誤差，我們的教學(xué)和考試都圍繞這個核心價值展開.

在打點計時器研究勻變速直線運動實驗中，誤差主要來源于兩方面：一是摩擦的影響，二是打點計時器點跡漂移的誤差. 摩擦力的影響是全局的，與取哪段數(shù)據(jù)無關(guān)；點跡漂移則會對測量結(jié)果造成較大影響[17]. 因此，數(shù)據(jù)處理時，我們通常要求學(xué)生“選取清晰的點、選取間距大的點”，這是減小測量相對誤差的要求；要求學(xué)生“跳著逐差”，是基于通過“逐差”消除中間各點左右漂移誤差的要求.這些教學(xué)要求充分體現(xiàn)了逐差法教學(xué)的價值.

以大家普遍關(guān)注的2017年高考試題為例，我們也可以發(fā)現(xiàn)命題教師也是圍繞著“減小誤差”這個核心價值去的[18]：無論學(xué)生舍棄哪段數(shù)據(jù)進行計算，結(jié)果相差不大(差異為0.001)[19,20]，判卷時都是對的. 試題的目的在于引導(dǎo)教學(xué)關(guān)注數(shù)據(jù)處理的方法、減小誤差的方法，而不是考查學(xué)生是否理解如何逐差的誤差更小.

4 “逐差法”數(shù)據(jù)處理的教學(xué)建議

我們討論用何種方法處理數(shù)據(jù)，其根本目的在于培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探究和科學(xué)態(tài)度核心素養(yǎng)，讓他們明確實驗是有誤差的，誤差的影響是可以通過改進實驗方案和改善數(shù)據(jù)處理方式等手段減小的. 為此，教學(xué)中我們不妨讓學(xué)生用“鄰差法”處理數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)實驗中數(shù)據(jù)的問題，然后引導(dǎo)分析誤差產(chǎn)生的原因，探討如何才能最大程度減小這些誤差，充分利用數(shù)據(jù)等等.

總之，教學(xué)中我們要關(guān)注的是學(xué)生對“逐差法”內(nèi)涵和價值的理解，對減小實驗誤差影響方法的理解和掌握，而不應(yīng)該拘泥于何種數(shù)據(jù)處理的細(xì)節(jié)精度更高. 與其糾結(jié)“如何逐差”不如關(guān)注“如何教給學(xué)生數(shù)據(jù)分析和處理的方法”.