利用剛體的平面平行運(yùn)動證明平行軸定理*

申慶徽 陳 兵

(山東科技大學(xué)電子信息工程學(xué)院 山東 青島 266590)

平行軸定理是剛體轉(zhuǎn)動的一個重要知識點(diǎn), 它反映了剛體繞相互平行的不同轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動慣量之間的關(guān)系. 在大部分的教材中對該定理的證明都是從轉(zhuǎn)動慣量的定義出發(fā)[1]. 本文從剛體的平面平行運(yùn)動模型出發(fā), 通過分析運(yùn)動的動能推出了平行軸定理.如圖1所示, 考慮任意剛體作平面平行運(yùn)動, 純滾動要求剛體與平面之接觸點(diǎn)在接觸那一瞬間為相對靜止, 沒有任何的相對滑動或滾動, 即相對速度為零, 此接觸點(diǎn)即為速度瞬心. 此時, 剛體可以看成繞通過該瞬心的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動, 且轉(zhuǎn)動的角速度為ω. 設(shè)該剛體繞垂直于平面且通過瞬心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為IO, 則剛體運(yùn)動的總動能為

圖1 剛體的純滾動模型

(1)

另一方面, 由柯尼希定理可知剛體平面平行運(yùn)動的總動能等于質(zhì)心的動能與剛體繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動動能之和[2], 即

(2)

其中,IC為剛體繞過質(zhì)心C軸的轉(zhuǎn)動慣量,m為剛體的質(zhì)量,vC為剛體質(zhì)心C平動速度的大小. 由于平面平行運(yùn)動剛體的角速度與相互平行的轉(zhuǎn)軸位置無關(guān)[3],即質(zhì)心平動的速度

vC=ω×RC

vC=|ω×RC|=ωRC

代入式(2)可得

(3)

對比式(1)和式(3)不難發(fā)現(xiàn)

(4)

此即平行軸定理.

上述分析并非只適用于轉(zhuǎn)動瞬心的轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量之間的關(guān)系, 還可以推廣到任意情況. 在圖1中, 考慮任意轉(zhuǎn)軸A, 設(shè)其相對瞬心的位置矢量為rA, 相對于質(zhì)心的位置矢量為d. 設(shè)質(zhì)元dm相對于O點(diǎn)的位置矢量為r, 根據(jù)前面的討論知，質(zhì)元dm的線速度為v=ω×r. 根據(jù)動能的定義

(5)

以A為參考點(diǎn)剛體的動能表達(dá)形式可以寫為

(6)

mω2(RC-rA)·rA

(7)

上式等號右邊第一項(xiàng)可以理解為轉(zhuǎn)軸A的平動動能，第二項(xiàng)表示剛體繞轉(zhuǎn)軸A的轉(zhuǎn)動動能，第三項(xiàng)表示對前兩項(xiàng)動能的補(bǔ)償量.不難看出，當(dāng)rA=RC時即A點(diǎn)與質(zhì)心C重合，式(7)即為柯尼希定理；當(dāng)rA=0時,即A點(diǎn)與速度瞬心O重合，式(7)退化為式(1). 此外，比較式(7)與式(3)可得

(8)

整理得

IA=IC+m(|RC-rA|)2=IC+md2

(9)

此即剛體繞任意轉(zhuǎn)軸A的轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量之間的關(guān)系，也就是平行軸定理.