漸近搜索算法在軟土基坑基底抗隆起上限分析中的應(yīng)用

洪利，仉文崗

(重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院, 重慶 400045)

基坑坑底抗隆起穩(wěn)定性驗(yàn)算是軟土地區(qū)基坑設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容之一。目前，基坑抗隆起計(jì)算主要包括極限平衡方法[1-4]、強(qiáng)度折減有限元法[4-6]和上限分析法[7-8]。上限分析法源于Drucker[9]提出的極限分析理論，Chen等結(jié)合巖土材料的特性，將上限分析法應(yīng)用于邊坡的穩(wěn)定性分析和地基承載力分析[10-15]。上限分析法主要有上限分析有限元[16]、多塊體法[14]、連續(xù)速度場(chǎng)[8]等多種實(shí)現(xiàn)手段。其中，上限分析有限元法最為復(fù)雜，需要編制完整的有限元程序，目前，暫無成熟的上限分析有限元軟件，因此，多以后兩種計(jì)算方法為主。連續(xù)速度場(chǎng)需預(yù)先假設(shè)破壞面中的一些參數(shù)，因此，計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性很大程度上依賴于假設(shè)參數(shù)的合理性。多塊體法不需預(yù)先假設(shè)破壞面，可以很好地與漸近搜索算法結(jié)合。

漸近搜索算法是先利用Monte Carlo思想隨機(jī)生成初始破壞面，然后利用“單個(gè)結(jié)點(diǎn)搜索+整體搜索”的方法，通過多輪搜索，使初始破壞面逐漸逼近臨界破壞面，目前已成功運(yùn)用于邊坡穩(wěn)定與地基承載力上限分析的破壞面搜索中[11,14]。筆者主要描述基坑抗隆起上限分析中的破壞面搜索技術(shù)，并給出破壞面搜索的優(yōu)化問題表達(dá)；對(duì)搜索程序中的關(guān)鍵參數(shù)調(diào)試進(jìn)行說明，最后通過實(shí)例計(jì)算與對(duì)比分析檢驗(yàn)漸近搜索算法的應(yīng)用效果。

1 多塊體上限法計(jì)算基坑抗隆起穩(wěn)定性

1.1 上限分析基本原理

極限分析上限定理有多種表示方法，此處采用能量方程表達(dá)式，即對(duì)于任何運(yùn)動(dòng)許可的破壞機(jī)構(gòu)，內(nèi)能耗散率不小于外力功功率，如式(1)。

(1)

應(yīng)用上限方法求解的一般過程：運(yùn)動(dòng)許可破壞機(jī)構(gòu)的建立，相容速度場(chǎng)的計(jì)算，上限分析功率方程求解，安全系數(shù)計(jì)算。

1.2 運(yùn)動(dòng)許可機(jī)構(gòu)建立及相容速度場(chǎng)計(jì)算

參考極限平衡法與強(qiáng)度折減有限元法所分析得到的基坑隆起破壞面，以及Goh[3]、Faheem等[6]、秦會(huì)來等[7]所做研究，假設(shè)內(nèi)支撐與支護(hù)墻體構(gòu)成的支護(hù)系統(tǒng)具備足夠的剛度(即暫不考慮支護(hù)系統(tǒng)剛度的影響)，因此，墻后土體的破壞面軌跡豎直向下，其余部分則采用“近似圓弧滑動(dòng)法”，如圖1所示。

圖1 上限分析運(yùn)動(dòng)許可機(jī)構(gòu)Fig.1 Kinematically admissible failure mechanism of upper bound analysis

如圖1所示，許可機(jī)構(gòu)以圓弧滑動(dòng)面為主要參考對(duì)象，破壞面由n+1個(gè)結(jié)點(diǎn)構(gòu)成，共有多邊形塊體n個(gè)(其中2個(gè)四邊形塊體，其余為三角形塊體)。為保證計(jì)算的準(zhǔn)確性，運(yùn)動(dòng)許可機(jī)構(gòu)的圓弧部分應(yīng)用足夠數(shù)量的三角形塊體。圖1中：B為基坑寬度；H為開挖深度；D為支護(hù)結(jié)構(gòu)嵌入深度；li為各塊體的破壞面長(zhǎng)度；ki為各塊體之間接觸面長(zhǎng)度；相容速度場(chǎng)由vi、vi,i+1構(gòu)成，vi為各塊體破壞面處的速度矢量，vi,i+1為相鄰塊體之間接觸處的速度矢量；θi為vi+1正方向與豎直向下方向的夾角。相容速度場(chǎng)滿足矢量運(yùn)算法則

vi+1=vi+vi,i+1

(2)

由式(2)可知，式中的3個(gè)速度矢量恰好構(gòu)成矢量三角形，由于功率方程計(jì)算中只用到速矢量的相對(duì)大小，可令v1=1，由算法給出初始破壞面后，所有速度矢量方向均為已知，此時(shí)，依據(jù)矢量三角形計(jì)算法則即可依次求出所有速度矢量的大小。速度矢量的詳細(xì)計(jì)算及推導(dǎo)，可參考秦會(huì)來等[15]、鄒廣電[17]的相關(guān)文獻(xiàn)。

1.3 功率方程的建立

由式(1)知，功率方程包含方程左端的外力功率和右端內(nèi)能耗散項(xiàng)。外力功率項(xiàng)主要包括地面超載和土體自重兩兩部分。內(nèi)能耗散項(xiàng)主要包括塊體破壞面處內(nèi)能消耗、塊體之間接觸面處內(nèi)能消耗、支護(hù)結(jié)構(gòu)與土體接觸面內(nèi)能消耗3部分。如式(3)所示。

fv1l1

(3)

式中：f=αSu，α為墻與土體之間的摩擦系數(shù)，依據(jù)Goh等[18]的建議，可取0.5～1之間，砂性土取0，黏性土取1。

1.4 安全系數(shù)的計(jì)算

參考強(qiáng)度折減法的原理，在式(3)的基礎(chǔ)上也可引入安全系數(shù)，定量評(píng)估基坑的抗隆起穩(wěn)定性。定義安全系數(shù)為

(4)

由式(4)可得安全系數(shù)為總耗散功率與總外力功率的比值。式(4)中的安全系數(shù)與強(qiáng)度折減法的安全系數(shù)有相同的含義，均表示抗剪強(qiáng)度安全儲(chǔ)備。式(4)中，不排水抗剪強(qiáng)度越大，安全系數(shù)值越大，表示安全系數(shù)儲(chǔ)備越充分。相似地，式(4)中的安全系數(shù)也可以劃分為3個(gè)階段：Fs大于1、等于1、小于1；分別對(duì)應(yīng)土體穩(wěn)定、極限平衡、土體失穩(wěn)破壞3種情況。

2 漸近搜索算法的實(shí)現(xiàn)

2.1 破壞面搜索過程的優(yōu)化問題表述

由以上的計(jì)算過程可知，不同的破壞機(jī)構(gòu)，具有不同的速度場(chǎng)，安全系數(shù)也不同。所以，破壞面的搜索過程實(shí)質(zhì)上可以歸結(jié)為求安全系數(shù)最小值的問題，其中，破壞面的形狀、相容速度場(chǎng)大小及方向等均為約束條件。優(yōu)化表達(dá)見式(5)。

(5)

目標(biāo)函數(shù)為FS(xi,yi)，通過不斷更新各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)，使FS取得最小值。約束條件有兩個(gè)：1)塊體節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)自右向左為單調(diào)不增數(shù)列(x1=x2為墻后土體破壞面豎直向下段，-B≤xn為保證破壞面不穿越支護(hù)結(jié)構(gòu)截面的幾何條件)；2)保證θi為單調(diào)遞增數(shù)列，在搜索過程中維持破壞面“上凹”。Goh等[18]、陳祖煜[19]、張魯渝等[20]指出，在邊坡破壞面的搜索中，破壞面的上凹會(huì)自動(dòng)實(shí)現(xiàn)，無須將保持破壞面上凹作為約束條件；Greco[11]、秦會(huì)來等[14]則建議在邊坡搜索過程加入保持破壞面“上凹”為約束條件。考慮到基坑的破壞面較邊坡復(fù)雜，筆者在編制計(jì)算程序時(shí)對(duì)兩種方法均進(jìn)行了測(cè)試，根據(jù)最后的計(jì)算結(jié)果，加入“上凹”約束條件具有更高的計(jì)算效率，建議在搜索程序中加入此約束條件。

2.2 初始破壞面的確定

初始破壞面既可以人為指定，也可以隨機(jī)生成， Greco[11]、秦會(huì)來等[14]、陳祖煜[19]均采用4結(jié)點(diǎn)隨機(jī)生成的初始破壞面；考慮到基坑破壞面較復(fù)雜，本文采用7結(jié)點(diǎn)隨機(jī)初始破壞面。參考軟土基坑抗隆起穩(wěn)定性分析方面已有的研究成果，控制初始破壞面在水平方向上邊界為0.5B～1B。由式(6)～式(19)可計(jì)算出初始破壞面各處結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值。

x1=x2=-x6=(0.5+0.5R1)·B

(6)

y1=0,y2=y6=H+D

(7)

x3=0.5x1

(8)

(9)

y3=y2+(x2-x3)·tan(η1)

(10)

x4=0

(11)

y4=H+D+x1

(12)

x6=-x1

(13)

x5=-0.5x6

(14)

(15)

y5=y6-(x6-x5)·tan(η2)

(16)

y7=H

(17)

(18)

x7=x6+(y7-y6)·cot(η3)

(19)

式中：R1、R2、R3為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。在編制計(jì)算程序時(shí)，應(yīng)注意x7為破壞面最左側(cè)結(jié)點(diǎn)，需滿足式(5)中-B≤xn的約束條件。

2.3 破壞面的搜索

破壞面的搜索分為結(jié)點(diǎn)搜索和整體搜索兩個(gè)階段。結(jié)點(diǎn)搜索階段主要確定破壞面的形狀和大小，而整體搜索階段主要確定破壞面的大小。

2.3.1 結(jié)點(diǎn)搜索階段 結(jié)點(diǎn)搜索主要是針對(duì)每個(gè)結(jié)點(diǎn)逐個(gè)搜索；如圖2所示，每個(gè)結(jié)點(diǎn)給定8個(gè)方向(地表和開挖面的結(jié)點(diǎn)只允許水平方向移動(dòng))，依次進(jìn)行搜索，只要有一個(gè)方向搜索成功，即更新該結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，并進(jìn)入下一個(gè)結(jié)點(diǎn)的搜索；若所有方向搜索均失敗，則該結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)保持原值，并將該結(jié)點(diǎn)的搜索步長(zhǎng)減半?！八阉鞒晒Α笔侵冈摻Y(jié)點(diǎn)沿某方向移動(dòng)后破壞面的安全系數(shù)減小。結(jié)點(diǎn)搜索的公式為

(20)

式中：λi為各結(jié)點(diǎn)的搜索步長(zhǎng)，根據(jù)算例的計(jì)算結(jié)果，建議初始步長(zhǎng)取B/1 000；Nx、Ny分別有-1、0、1共3種取值，通過組合，實(shí)現(xiàn)對(duì)8個(gè)方向的搜索。

2.3.2 整體搜索階段 考慮到結(jié)點(diǎn)搜索的先后順序會(huì)對(duì)最終的搜索結(jié)果造成影響，在結(jié)點(diǎn)搜索的基礎(chǔ)上，增加整體搜索階段。具體做法是，在依次完成8個(gè)節(jié)點(diǎn)的搜索后，加入一輪整體搜索，即破壞面整體“外擴(kuò)”或“內(nèi)縮”；坐標(biāo)更新公式為

(21)

式中：i為結(jié)點(diǎn)序號(hào)；k為搜索的次數(shù)(依次搜索完各結(jié)點(diǎn)計(jì)為一次)。

坐標(biāo)更新后，安全系數(shù)減小，則保留更新后的結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)；否則，將保留原坐標(biāo)值。重復(fù)進(jìn)行結(jié)點(diǎn)搜索與整體搜索，滿足收斂準(zhǔn)則后，可認(rèn)為搜索完成。

搜索算法流程圖如圖3所示。圖3所示為7結(jié)點(diǎn)破壞面搜索流程，在實(shí)際求解過程中，往往7個(gè)結(jié)點(diǎn)不夠，必須具備一定數(shù)量的結(jié)點(diǎn)，才能夠捕捉到破壞面的幾何特征。因此，學(xué)者們提出了多種擴(kuò)充結(jié)點(diǎn)的方法，筆者采用張魯渝等[20-22]建議的辦法，即初始破壞面采用較少的結(jié)點(diǎn)，先進(jìn)行數(shù)次搜索，破壞面初步穩(wěn)定后；在每段滑面的中點(diǎn)處內(nèi)插結(jié)點(diǎn)進(jìn)行第2輪、第3輪的計(jì)算，直至安全系數(shù)及破壞面達(dá)到收斂條件。每一輪的計(jì)算流程與圖3所示7結(jié)點(diǎn)計(jì)算流程相同。

圖3 搜索算法流程圖Fig.3 Flow diagram of search method

另一方面，搜索算法還可能會(huì)陷入局部最優(yōu)解的情況，從而搜索不到全局最優(yōu)解[14,19]。為避免此問題，可設(shè)置多組初始破壞面，再?gòu)闹羞x取安全系數(shù)最小的一組為最終結(jié)果。以3.1節(jié)中的算例為例，按式(6)～式(19)計(jì)算生成50組初始滑面，如圖4所示。

圖4 50條隨機(jī)產(chǎn)生的初始破壞面Fig.4 50 initial four-point failure surfaces generated by Monte Carlo method

2.4 收斂準(zhǔn)則

由圖3可知，收斂準(zhǔn)則由安全系數(shù)差值和搜索步長(zhǎng)兩個(gè)指標(biāo)構(gòu)成，且它們均與破壞面結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)有關(guān)，指標(biāo)閾值由式(22)、式(23)計(jì)算。

(22)

λi

(23)

3 搜索算法應(yīng)用效果檢驗(yàn)

3.1 計(jì)算方案及計(jì)算參數(shù)設(shè)置

為檢驗(yàn)搜索算法的應(yīng)用效果，采用9個(gè)算例來檢測(cè)。設(shè)置一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)算例檢驗(yàn)算法的可用性，同時(shí)，在此基礎(chǔ)上設(shè)置兩組對(duì)比算例，觀察開挖寬度(4個(gè))和支護(hù)結(jié)構(gòu)嵌入深度(4個(gè))對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，將程序計(jì)算結(jié)果與目前公認(rèn)的一些結(jié)論相比較，初步檢驗(yàn)算法的準(zhǔn)確性。計(jì)算參數(shù)見表1。

表1 算例分析參數(shù)設(shè)置Table 1 Parameters of case study

如表1所示，標(biāo)準(zhǔn)算例中，開挖寬度取20 m，支護(hù)結(jié)構(gòu)嵌入深度取10 m，其余均取表中值。對(duì)比算例中，控制單一參數(shù)變化，其余參數(shù)均取標(biāo)準(zhǔn)算例中的參數(shù)值。

3.2 算例計(jì)算結(jié)果分析

算例采用4輪搜索，每輪的結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為7、11、19、35；根據(jù)式(22)，4輪的搜索步長(zhǎng)閾值設(shè)置為10-4、5×10-5、10-5、10-6；4輪的搜索次數(shù)分別預(yù)設(shè)為150、150、100、80。各階段的搜索結(jié)果及破壞面形狀見圖5和圖6。

圖5 安全系數(shù)收斂過程Fig.5 Convergence process of safety factor

圖6 破壞面優(yōu)化過程Fig.6 Optimizing process of the failure surface

由圖5和圖6可知，隨著破壞面結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的增加，破壞面的形狀和安全系數(shù)趨于穩(wěn)定。其中，第3階段和第4階段安全系數(shù)差值僅為0.003 2，相對(duì)誤差小于1%，表明搜索算法應(yīng)用效果較好；且各階段的收斂速度均很快，可適當(dāng)減小每階段的搜索次數(shù)。依據(jù)圖6，建議前3個(gè)階段搜索次數(shù)控制在60～80次，第4階段搜索次數(shù)控制在40～60次。由圖7也可以觀察到，第3階段和第4階段的破壞面位置基本一致，因此，搜索算法應(yīng)控制在3～4輪即可(即破壞面結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)20～40)，不宜過多或者過少。

除標(biāo)準(zhǔn)算例外，設(shè)置了兩組對(duì)比算例，觀察支護(hù)結(jié)構(gòu)嵌入深度和基坑寬度對(duì)安全系數(shù)及破壞面的影響，計(jì)算結(jié)果如圖7、圖8所示。

圖7 不同支護(hù)結(jié)構(gòu)嵌入深度時(shí)基坑抗隆起失穩(wěn)面Fig.7 Failure surfaces of basal heave with different depths of supporting structures

圖8 不同開挖寬度時(shí)基坑抗隆起失穩(wěn)面Fig.8 Failure surfaces of basal heave with different excavation widths

由圖8可見，隨著支護(hù)結(jié)構(gòu)嵌入深度的增加，基坑失穩(wěn)面逐漸擴(kuò)大，安全系數(shù)逐漸提高，符合常規(guī)的有限元軟件計(jì)算結(jié)果及工程經(jīng)驗(yàn)[23-24]。嵌入深度較小時(shí)，坑底隆起破壞面可能延伸至整個(gè)基坑寬度；嵌入深度較大時(shí)，隆起破壞面向支護(hù)墻側(cè)靠近，這是因?yàn)榧僭O(shè)支護(hù)墻體為剛性，因此，增加嵌入深度對(duì)阻斷隆起破壞面的延伸效果顯著。

由圖9可見，開挖寬度對(duì)基坑抗隆起失穩(wěn)面影響較大，隨著開挖寬度的增加，抗隆起失穩(wěn)面不斷擴(kuò)大，且失穩(wěn)面的半徑約為開挖寬度的0.9倍，這一結(jié)果更傾向于Prandtl失效模式；同時(shí)，安全系數(shù)也隨著開完寬度的增加而減小，這也同樣符合常規(guī)的有限元計(jì)算結(jié)果和工程經(jīng)驗(yàn)[6]。

綜合上述的算例分析可以看出，搜索算法在基坑抗隆起分析中具有良好的應(yīng)用效果。

4 實(shí)際工程案例分析

選用唐震等[8]、Chang[25]的案例進(jìn)行分析。Chang應(yīng)用上限分析方法重新分析了基坑的抗隆起穩(wěn)定性，并推導(dǎo)出簡(jiǎn)易公式用于計(jì)算基坑抗隆起安全系數(shù)。唐震等采用連續(xù)機(jī)構(gòu)場(chǎng)進(jìn)行上限分析。

計(jì)算所需參數(shù)以及計(jì)算結(jié)果見表2(各符號(hào)的意義同表1)。

由表2可知，Chang提出的簡(jiǎn)易計(jì)算公式雖然計(jì)算簡(jiǎn)單，但得出的安全系數(shù)誤差較大，普遍偏小，而且接近臨界狀態(tài)時(shí)可能出現(xiàn)誤判。唐震等采用的連續(xù)機(jī)構(gòu)場(chǎng)法計(jì)算結(jié)果偏保守，對(duì)于重要建筑物的穩(wěn)定性分析較為適用；而多塊體法的計(jì)算結(jié)果則在兩者之間，兼具經(jīng)濟(jì)性和安全性的要求。

表2 各案例安全系數(shù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparisons of safety factors among different methods in different cases

5 結(jié)論

將漸近搜索算法與多塊體上限法相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了基坑抗隆起上限分析。針對(duì)多塊體上限法的理論要求，給出了初始破壞面的生成公式、幾何約束條件與收斂條件；結(jié)合算例分析，就破壞面結(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)、搜索步長(zhǎng)、搜索次數(shù)等參數(shù)進(jìn)行討論，并給出建議值。為避免出現(xiàn)局部最優(yōu)解，采用設(shè)置多組初始破壞面的方法。通過實(shí)例分析以及與其他上限分析方法的對(duì)比可知，漸近搜索算法應(yīng)用效果良好，為解決基坑抗隆起分析中破壞面的確定提供了一種新的計(jì)算方法。

筆者在運(yùn)用算法進(jìn)行分析時(shí)，并未考慮支護(hù)結(jié)構(gòu)剛度、基巖埋置深度等因素，因此，如何在上限分析(或安全系數(shù))的計(jì)算中考慮這些因素，將是下一步研究的重點(diǎn)。