Taylor多項(xiàng)式模型在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的應(yīng)用

文麗敏 高國(guó)明 白春華

摘要：在學(xué)生教育中，把理論教學(xué)和實(shí)踐教學(xué)有機(jī)地融合起來，從而使學(xué)生較為輕松有效地學(xué)習(xí)?！兜卮诺仉娪^測(cè)》實(shí)驗(yàn)是地球物理專業(yè)的一門實(shí)踐課程，包括模擬實(shí)驗(yàn)及儀器實(shí)驗(yàn)部分，而模擬實(shí)驗(yàn)主要是將已學(xué)的編程語言應(yīng)用到專業(yè)數(shù)據(jù)處理中，而地磁數(shù)據(jù)處理是以后學(xué)生進(jìn)行科研的基礎(chǔ)。地磁場(chǎng)模型是研究地磁場(chǎng)空間分布與時(shí)間變化規(guī)律的主要手段，包括全球和局部地區(qū)兩類模型，Taylor多項(xiàng)式級(jí)數(shù)法是地磁場(chǎng)模型中在局部磁場(chǎng)分析中廣泛采用的方法，該模型的最大優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單，使用方便。我們?cè)O(shè)計(jì)利用Taylor多項(xiàng)式模型計(jì)算中國(guó)地區(qū)地磁場(chǎng)長(zhǎng)期變化的實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生掌握建立地磁場(chǎng)Taylor多項(xiàng)式模型的原理和方法，編程計(jì)算中國(guó)地區(qū)地磁場(chǎng)的長(zhǎng)期變化，做出地磁場(chǎng)X，Y和Z分量的長(zhǎng)期變化圖。

關(guān)鍵詞：TaVlor多項(xiàng)式;地磁場(chǎng)模型;地磁場(chǎng)分量;實(shí)驗(yàn)教學(xué)

中圖分類號(hào)：TP311 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1009-3044（2020）29-0156-04

現(xiàn)階段的學(xué)生教育中，在理論教學(xué)的基礎(chǔ)上，強(qiáng)調(diào)實(shí)踐教學(xué)。而把理論教學(xué)和實(shí)踐教學(xué)有機(jī)地融合起來，理論直接指導(dǎo)實(shí)踐，實(shí)踐中又更好地領(lǐng)會(huì)理論，從而使學(xué)生較為輕松有效地學(xué)習(xí)[1]。地球物理專業(yè)通過定量的物理方法研究地球，對(duì)地球的物理場(chǎng)分布和變化進(jìn)行觀測(cè)，研究范圍包括地球的地殼、地幔、地核和大氣層。因此本專業(yè)開設(shè)了《地磁地電觀測(cè)》實(shí)驗(yàn)課，是一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程。相對(duì)于其他專業(yè)課，該課程是一門理論與實(shí)驗(yàn)并重的專業(yè)基礎(chǔ)課[2]，其以地磁學(xué)和地電學(xué)等專業(yè)課程為理論基礎(chǔ)，學(xué)生通過模擬編程和使用儀器進(jìn)行實(shí)際觀測(cè)，熟悉地球物理中的地磁場(chǎng)和地電場(chǎng)的數(shù)據(jù)處理和各種常規(guī)儀器的使用方法。因此我們?cè)谠O(shè)計(jì)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)時(shí)，既要考慮到學(xué)生已經(jīng)具有的專業(yè)知識(shí)，又要在此基礎(chǔ)上給學(xué)生一定的實(shí)習(xí)空間。Taylor多項(xiàng)式模型實(shí)驗(yàn)就是為了鍛煉學(xué)生的實(shí)際動(dòng)手能力，將理論與實(shí)際數(shù)據(jù)分析結(jié)合起來，提高學(xué)生的創(chuàng)新能力而設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)。通過此實(shí)驗(yàn)，將Taylor多項(xiàng)式模型應(yīng)用于中國(guó)及鄰區(qū)地磁場(chǎng)分量的計(jì)算，使學(xué)生掌握了Taylor多項(xiàng)式模型的原理及方法，為以后學(xué)習(xí)中要進(jìn)行的數(shù)據(jù)分析計(jì)算打下基礎(chǔ)。

1 地磁場(chǎng)建模的方法

地磁場(chǎng)模型是研究地磁場(chǎng)空間分布與時(shí)間變化規(guī)律的主要手段，包括全球和局部地區(qū)兩類模型[3]。現(xiàn)在應(yīng)用的全球地磁場(chǎng)模型是國(guó)際地磁參考場(chǎng)（IGRF），由國(guó)際地磁學(xué)與高空大氣物理學(xué)協(xié)會(huì)采用來自衛(wèi)星磁測(cè)的地磁數(shù)據(jù)研究得到的全球球形模型，該模型每五年為一個(gè)間隔[4]。IGRF描述的地球磁場(chǎng)的時(shí)空分布尺度較大，因此對(duì)于局部的小尺度磁異常研究，其精度就不能滿足需要，因此，有必要建立局部地區(qū)的地磁場(chǎng)模型。局部磁場(chǎng)分析中廣泛采用的方法有Taylor多項(xiàng)式級(jí)數(shù)法、曲面樣條函數(shù)方法、矩諧分析方法、球冠諧分析方法等[5-6]。矩諧分析和球冠諧分析方法基于高斯磁位理論，滿足位理論的物理限制，所獲得的模型物理意義明確，表示位場(chǎng)的三維結(jié)構(gòu)比較方便。因此地磁場(chǎng)的三維結(jié)構(gòu)及其變化過程可以利用這類模型進(jìn)行理論分析與探討。曲面樣條函數(shù)和Taylor多項(xiàng)式等方法在地磁場(chǎng)建模中也得到了廣泛應(yīng)用，該方法分別對(duì)地磁場(chǎng)的獨(dú)立分量在某一空間區(qū)域內(nèi)的分布進(jìn)行擬合[7]。

我們?cè)谶M(jìn)行地磁場(chǎng)建模時(shí)，選擇建模方法的依據(jù)主要有物理的合理性、計(jì)算的穩(wěn)定性、級(jí)數(shù)的收斂性、計(jì)算的準(zhǔn)確性、功能的多樣性、使用的方便性等[8]，這些從物理意義、計(jì)算及使用等方面提出了要求，成為我們建模的關(guān)鍵。

Taylor多項(xiàng)式模型的最大優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單，使用方便，因此我們?cè)O(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)就是利用Taylor多項(xiàng)式模型計(jì)算中國(guó)地區(qū)地磁場(chǎng)長(zhǎng)期變化，通過此實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生掌握建立地磁場(chǎng)Taylor多項(xiàng)式模型的原理和方法，編程計(jì)算中國(guó)地區(qū)地磁場(chǎng)的長(zhǎng)期變化，做出地磁場(chǎng)X，Y，和Z分量的長(zhǎng)期變化圖。

2 Taylor多項(xiàng)式原理

Taylor多項(xiàng)式是以1715年發(fā)表了泰勒公式的英國(guó)數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒的名字來命名的，是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式，廣泛地應(yīng)用到數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、社會(huì)科學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域[9]。

用Taylor多項(xiàng)式對(duì)地磁場(chǎng)的不同分量進(jìn)行擬合，其數(shù)學(xué)描述如下：

A和B相當(dāng)于已知，我們用最小二乘法求解出X，得到待定系數(shù)a00，a10，a11，…，a33，即X已經(jīng)求出。再利用X及A既可以求出不同經(jīng)緯度點(diǎn)的地磁場(chǎng)分量。本實(shí)驗(yàn)要求求出中國(guó)地區(qū)地磁場(chǎng)X、Y，和Z分量，并做出他們的長(zhǎng)期變化圖。

3 用Taylor多項(xiàng)式建立地磁場(chǎng)模型需要注意的問題

3.1 計(jì)算區(qū)域及計(jì)算中心的選取

選擇計(jì)算區(qū)域?yàn)榫匦螀^(qū)域，本實(shí)驗(yàn)為5° - 55°N和70° -140°E。計(jì)算中心即為展開原點(diǎn)，特勒多項(xiàng)式展開原點(diǎn)（φ0，λ0）可在計(jì)算區(qū)域的中心附近，取整度，以使計(jì)算更為方便，本實(shí)驗(yàn)為（36°N，105°E）。展開原點(diǎn)的位置的選擇可以變化，但是我們計(jì)算得到的系數(shù)也會(huì)相應(yīng)地發(fā)生變化，但是這并不影響地磁場(chǎng)的擬合效果。

3.2 模型資料的選取

在本實(shí)驗(yàn)中我們選取中國(guó)地區(qū)2010年地磁觀測(cè)數(shù)據(jù)X、Y和Z分量TaYlor多項(xiàng)式模型。

3.3 截?cái)嚯A數(shù)N的確定

Taylor多項(xiàng)式模型的截?cái)嚯A數(shù)N的選擇尤其重要，因?yàn)镹對(duì)模型計(jì)算結(jié)果的影響較大。N太高不僅會(huì)增加計(jì)算的難度，還會(huì)有邊界效應(yīng)，產(chǎn)生畸變;N太低模型的空間分辨率差，不能清楚地表示地磁場(chǎng)的分布。如何確定N是模型的關(guān)鍵，主要根據(jù)區(qū)域模型計(jì)算的均方偏差確定N。我們計(jì)算得到的均方偏差與全球模型的均方偏差進(jìn)行對(duì)比，不要比后者大;同時(shí)隨截N的增加，基本趨于穩(wěn)定。通過實(shí)際計(jì)算結(jié)果，我們發(fā)現(xiàn)選用N=5更為合適[7]。

4 Taylor多項(xiàng)式模型在實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用

1）根據(jù)以上原理編制程序cal_tarlor.m，計(jì)算中國(guó)地區(qū)地磁場(chǎng)長(zhǎng)期變化Taylor多項(xiàng)式模型系數(shù)。

caLtarlor.m

clear all

year=2010;

gh=strcat（ ' sv ' ，int2str（year）， ' .dat 7）;

d=load（gh）;

wd=d（：，2）-36;

jd=d（：，l）-105;

k=2;

xl=[jd jd.^2 jd.^3 jd.^4 jd.^5];

x2=[wd wd.*j d wd.*j d.^2 wd.*j d.^3 wd.*j d.^4];

x6=wd.^5;

xx=[ones（size（wd》 xl x2 x3 x4 x5 x6];

for i=1：7

a=xx＼y;

end

ghh=strcat（ 'xishu_tarlor' ，int2str（year）， ' .dat '）;

dlmwrite（ghh，hh， ' delimiter'， '＼t' ， 'precision'， ' %15.lOf'）;

clear hh;

2）計(jì)算 X， Y， Z三分Y量磁場(chǎng)的長(zhǎng)期變化 ，運(yùn)行程序 geom_tldxs.m進(jìn)行計(jì)算 。

geom_tldxs.m

clear

year=2010;

gh=strc at （ 'xishu_tarlor ' ，int2str（year）， ' .dat '）;

aa=load（gh）;

wd=5：5：55;

jd=70：5：140;

f0=36.0;

lt0=105;

for ii=1：7

for il=l：length（wd）

x=（wd（il）-f0）;

for jl=l：length（jd）

y=（jd（jl）-lt0）;

hh=O;n=0;

for i=0：5

for j=0：5-i

hh=hh+a（n）*x^i*y^j;

end

end

f（ii）.dd（il，jl）=hh;

end

end

end

fx=strc at （ ' x_sv r ，int2str（year） ， r .dat'）;

fy=strcat（' y_sv ' ，int2str（year） ， ' .dat'）;

fz=strcat（ r Z_Sy r ，int2str（year）， r .dat '）;

dlmwrite （fx，f（l）.dd， 'delimiter'， '＼t '， r precision'， ' %10.5f'）

dlmwrite（fy，f（2）.dd，'delimiter'， '＼t r ， r precision'， r %10.5f'）

dlmwrite （fz，f（3）.dd， ' delimiter' ， '＼t' ， ' precision' ， ' 0-10 10.5f'）

a=size（f（l）.dd）;

phi=jd;

wd=wd;

wdd=length（phi）;

tx=zeros（l，a（l）*a（2》;

ty=zeros（l，a（l）*a（2》;

tz=zeros（l，a（l）*a（2》;

for i=l：a（l）

end

for i= 1 ：length（wd）

jwdd《（i-l）*wdd+l）：（i*wdd），2）=wd（i）*ones（wdd，l）;

jwdd《（i-l）*wdd+l）：（i*wdd），l）=phi';

end

X2=Dwdd tx'];

Y2=Dwdd ty'];

22=[jwdd tz'];

%據(jù)數(shù)

file=strcat（' x-sv '，int2str（year），' s.dat '）;

dlmwrite（f'ile，X2， 'delimiter'， '＼t '， ' precision '， r %15.5f'）;

file=strcat（ 'y_Sy '，int2str（year），' s.dat ' ）;

dlmwrite（file，Y2， 'delimiter'，'＼t'， 'precision'， r %15.5f'）;

file=strcat（ ' z_sv '，int2str（year）， ' s.dat ' ）;

dlmwrite （file，22， ' delimiter' ， '＼t' ， ' precision ' ， ' %15.5f '）;

3）運(yùn)行程序 sv_zuotu.m，做出中國(guó)地區(qū)地磁場(chǎng)長(zhǎng)期變化 WJTaylor多項(xiàng)式模型圖 。

sv_zuotu.m

clear

fl=['Xr 'yr 'Z'l;

FLk['Xr 'yr 'Z'];

x=70：140;

y=5：55;

year=2010;

for hg=1：7

file=strcat（fl （h g）， '_sv ' ，int2str（year）， ' .dat '）;

z=load（file）;

x=70：140;

y=5：55;

[cc，hhl=contourf（x，y，z，14， r LineStyle'， 'none'）;

colorbar（'location'， 'EastOutside'， 'FontSize'， 7.5， 'Position'，[0.915 0.208 0.019 0.616l， 'FontWeight '， 'bold '， 'Fontname'， 'timesnew romanr1.

hold on

h_text=clabel（cc，hh， r LabeISpacingr ，300， r FontSize ' ，6.5）;

for kkl=l ：length（h_text）

set（h_text（kkl）， 'string' ， sprintf（r % 2.lf'， get（h_text（kkl）， 'user-

end

h=contourc（x，y，z，14）;

dnn=l;dn=0;

while dnn<=size（h，2）

dnn=dnn+h（2，dnn）;

dnn=dnn+l;

dn=dn+l;

end

kk=l;

for i=2：dn

kk=kk+h（2，kk）+l;

end

k2=1;

k=2;

for i=l：dn

k2=k2+h（2，k2）;

k2=k2+1;

k=k2+1;

if hy（i）<0

plot（x，y， ' w-.'， 'LineWidth'，0.5）

hold on

else

plot（x，y， 'k_ '， 'LineWidth'，0.5）

hold on

end

end

set（gca， r PlotBoxAspectRatio '，[1 0.6 1]）;

set（gca， 'LineWidth'，l）;

set（gca， 'FontSize'，7.5）;

set（gca， 'XLim'，[70 140]， 'YLim ' ，[15 55]）

set（gca， 'XTick'，[70：10：140D;

set（gca， 'YTick'，[15：5：55]）;

set（gca， 'XTickLabel'，{'700E'，'800E'，'900E'，'IOOoE'，'1100E'，'1200E'，'1300E'，'1400E'D

set（gca， 'YTickLabel'， { r 150N'， '200N'， '250N'， '300N'， '350N '， r400N '，'450N '，'500N '， '550N'}）

if hg<=5

ghhh=strcat（ ' sv- ' ，F(xiàn)LL（hg），L '，int2str（year）， '

（ nT/a） '）;

else

ghhh=strcat（' sv- ' ，F(xiàn)LL（hg）， ' - '，int2str（year）， '

（ ＼circ/a） '）;

end

title（ghhh， 'FontSize'，7.5， r LineStyle'， 'none '， 'Fontname '， 'timesnew roman1

hold on

dat=load（r data_china_ditu.dat '）;

plot（dat（：，l），dat（：，2），'k-.' ， ' LineWidth'，0.5）

hold off

set（gcf， 'PaperPositionMode （ ，7manual'， r PaperUnits '， 'centime_

'PaperPosition'，[1 1 7.48 5.625D;

set（gca， 'FontSize' ，7.5， ' FontName '， 'Times New Roman 7）;

ghh=strcat（' sv- '，fl（hg）， ' _ '，int2str（year）， ' .tiff '）;

print（'-dtiff '，'_r600'，[ghh '.tiff'l）;

End

通過此實(shí)驗(yàn)，將Taylor多項(xiàng)式模型應(yīng)用于中國(guó)及鄰區(qū)地磁場(chǎng)分量的計(jì)算，使學(xué)生掌握了Taylor多項(xiàng)式模型的原理及方法，為以后學(xué)習(xí)中要進(jìn)行的數(shù)據(jù)分析計(jì)算打下基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]王典，劉財(cái)，劉洋，等.基于教學(xué)實(shí)習(xí)的地震資料解釋課程“理實(shí)一體化”教學(xué)研究[J].教育現(xiàn)代化，2018，5（31）：73-74.

[2]朱銳，蔡敦波，魯統(tǒng)偉，等.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)理論與實(shí)驗(yàn)混合教學(xué)方法的探索[J].教育現(xiàn)代化，2017，4（50）：175-176.

[3]柳士俊周小剛孫涵安振昌，用于區(qū)域地磁場(chǎng)模型計(jì)算的三維Taylor多項(xiàng)式方法[J].地球物理學(xué)進(jìn)展，2011，26（4）：1165-1174.

[4]王明，莫長(zhǎng)濤，康崇，等.超小尺度地磁場(chǎng)泰勒多項(xiàng)式建模方法[J].哈爾濱商業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，30（3）：323-326。

[5]喬玉坤，王仕成，張金生，等.泰勒多項(xiàng)式擬合法在區(qū)域地磁場(chǎng)建模中的應(yīng)用研究[J]工程地球物理學(xué)報(bào)，2008，5（3）：294-298.

[6]徐文耀，地磁學(xué)[M].北京：地震出版社，2003.

[7]顧左文，安振昌，高金田，等.2003年中國(guó)及鄰區(qū)地磁場(chǎng)模型的計(jì)算與分析[J].地震學(xué)報(bào)，2006，28（2）：141-149，221.

[8]安振昌.地磁場(chǎng)多項(xiàng)式模型的分析與討論[Jl.地球物理學(xué)報(bào)，2001，44（z1）：45-50.

[9]高文武.泰勒多項(xiàng)式的教學(xué)探討[J]，宿州學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，30（5）：119-121.

【通聯(lián)編輯：唐一東】

作者簡(jiǎn)介：文麗敏（1975-），女，遼寧新民人，云南大學(xué)地球物理系講師，工科碩士，研究方向：主要從事地磁學(xué)研究。