看“一”的眼光

□郜舒竹

“一”也叫“單位（Unit）”，數(shù)學(xué)課程中許多內(nèi)容都與單位的選擇、使用、分解、組合、轉(zhuǎn)化有關(guān)。看“一”的眼光，指的是對(duì)單位的選擇和使用。作為人的認(rèn)知能力，這種眼光對(duì)于建立數(shù)學(xué)課程內(nèi)容之間的聯(lián)系以及解決問(wèn)題過(guò)程中方法的原創(chuàng)生成，都會(huì)起到重要作用。

一、什么是“單位”

通常的數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中，會(huì)把“一，十，百，千……”叫作十進(jìn)制記數(shù)法的“計(jì)數(shù)單位”或“記數(shù)單位”；把小數(shù)中的“0.1,0.01,0.001……”叫作小數(shù)單位；把“這樣分子是1的分?jǐn)?shù)叫作“分?jǐn)?shù)單位”；把“米，厘米，毫米……”叫作長(zhǎng)度單位，諸如此類(lèi)用于量的“度量（Measurement）”，還有面積單位、體積單位、角的度量單位、質(zhì)量（重量）單位、時(shí)間單位、貨幣單位、溫度單位，等等。

這樣的單位具有相對(duì)“客觀(guān)、統(tǒng)一、確定”的特點(diǎn)?！翱陀^(guān)”指的是外在于學(xué)習(xí)者的主觀(guān)意愿；“統(tǒng)一”指的是長(zhǎng)期以來(lái)人們的普遍公認(rèn)并且約定俗成，遵循這樣統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，可以實(shí)現(xiàn)盡人皆知、沒(méi)有歧義的表達(dá)。正是這樣的客觀(guān)性和統(tǒng)一性使得單位具有了約定俗成的“確定性”，不會(huì)依據(jù)人的主觀(guān)意愿進(jìn)行改變。因此，這種單位實(shí)質(zhì)是一種具有普遍意義并且約定俗成的語(yǔ)言，是實(shí)現(xiàn)表達(dá)和交流的工具。這種具有客觀(guān)性、統(tǒng)一性和確定性的單位可以稱(chēng)之為“標(biāo)準(zhǔn)單位（Standard Units）”。

從認(rèn)知的角度看，單位實(shí)質(zhì)是人對(duì)待“一”的看法和想法，有了“一”，才能使得“幾”或“多少”具有確定的意義。如果把看待和選擇“一”的過(guò)程視為人的主觀(guān)行為或思維過(guò)程，這樣的過(guò)程也叫作“單位化（Unitizing）”，是人的一種認(rèn)知方式，也可以認(rèn)為是人的一種認(rèn)知能力，具有主觀(guān)、個(gè)性和多樣的特點(diǎn)。

正如古希臘歐幾里得在《原本》中把“單位”定義為“每件事都是單位”[1]，而表達(dá)多少的數(shù)（自然數(shù)）是單位的復(fù)合。比如通常所說(shuō)的“6個(gè)蘋(píng)果”，是把“1個(gè)蘋(píng)果”視為“一”。如果改變對(duì)“一”的看法，把“2個(gè)蘋(píng)果”視為“一”，那么“6”這個(gè)數(shù)就變?yōu)椤?”，6個(gè)蘋(píng)果的說(shuō)法就變?yōu)椤?對(duì)蘋(píng)果”。再比如“6根筷子”中的“6”是將“1根筷子”看作“一”。如果改變看法，把“2根筷子”視為“一”，那么“6根筷子”的說(shuō)法就變成“3雙筷子”。原本用數(shù)“6”表達(dá)的對(duì)象，改變?yōu)橛脭?shù)“3”來(lái)表達(dá)。

因此可以說(shuō)，用于表達(dá)“幾”的數(shù)，是相對(duì)于“一”而言的，看待“一”的眼光，決定了用哪個(gè)數(shù)表示“幾”。因此數(shù)是人頭腦中建構(gòu)的概念，屬于抽象的范疇。

更進(jìn)一步，還可以把“6個(gè)蘋(píng)果”這個(gè)整體視為“一”，這時(shí)其中的“1個(gè)蘋(píng)果”就需要用分?jǐn)?shù)“來(lái)表達(dá)，其中的“2個(gè)蘋(píng)果”就變?yōu)槿绻选?個(gè)蘋(píng)果”看作“1對(duì)蘋(píng)果”，那么“6個(gè)蘋(píng)果”的表達(dá)就變?yōu)椤?對(duì)蘋(píng)果”，同樣把“3對(duì)蘋(píng)果”視為“一”，這時(shí)“1對(duì)蘋(píng)果”（2個(gè)蘋(píng)果）的表達(dá)就成為分?jǐn)?shù)這樣用變化的眼光看待單位的過(guò)程，體現(xiàn)了”的意義，也就是分?jǐn)?shù)中“約分”的過(guò)程，小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中也叫作“分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)”。

按照這樣的理解，單位實(shí)質(zhì)是人與環(huán)境互動(dòng)中，對(duì)客觀(guān)對(duì)象生成看法和想法過(guò)程中的產(chǎn)物，是思維中形成的對(duì)象或?qū)嶓w（Conceptual Entity），是人主觀(guān)生成或“建構(gòu)（Construction）”出來(lái)的產(chǎn)物。相對(duì)于前面所說(shuō)的客觀(guān)、統(tǒng)一和確定的標(biāo)準(zhǔn)單位，這樣主觀(guān)建構(gòu)的單位也叫作意念中的單位，簡(jiǎn)稱(chēng)為“意念單位（Conceptual Unit）”[2]，具有主觀(guān)、個(gè)性和多樣的特點(diǎn)。

意念單位作為一種思維形式，類(lèi)似于認(rèn)知語(yǔ)言學(xué)中“意象圖式轉(zhuǎn)換（Image Schema Transformation）”下的“一多轉(zhuǎn)換（Multiplex-Mass）”，簡(jiǎn)單說(shuō)就是“視多為一”或“視一為多”的思維方式和表達(dá)方式，把“很多”看作并表達(dá)為“一群”，“一群”是由很多“1個(gè)”組成，因此“一群”中的“一”，同時(shí)也有“多”的含義。如果把“一”與“多”視為對(duì)立的雙方，“一多轉(zhuǎn)換”表現(xiàn)為對(duì)立的雙方的相互轉(zhuǎn)化，滲透了辯證思維中對(duì)立統(tǒng)一的觀(guān)念。

因此對(duì)于單位的認(rèn)識(shí)，一方面，可以認(rèn)為是約定俗成的標(biāo)準(zhǔn)單位，具有客觀(guān)、統(tǒng)一和確定的特點(diǎn)。另一方面，也可以認(rèn)為是主觀(guān)、個(gè)性和多樣的意念單位，意念單位的生成、使用和轉(zhuǎn)化，就成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)逐步經(jīng)歷并提升的認(rèn)知能力。

二、情境相同，算式多樣

對(duì)于整數(shù)乘法算式，比如“3×2＝6”，如果其中的因數(shù)“3”表示類(lèi)似于前面蘋(píng)果的“3個(gè)”對(duì)象，這時(shí)“3”的意義就是“多”，表示3個(gè)“一”，這里的“一”表示的是“1個(gè)”對(duì)象。算式中另一個(gè)因數(shù)“2”，其意義是把“3個(gè)”視為“一”，表示包含2個(gè)這樣的“一”，這里的“一”不再是“1個(gè)”，而是“3個(gè)”，是把“3個(gè)”這樣的“多”視為“一”。

第一個(gè)因數(shù)“3”表達(dá)的是具體“對(duì)象（Object）”的屬性，第二個(gè)因數(shù)“2”則不同，表達(dá)的是包含這種具體對(duì)象的“類(lèi)（Collection）”或“集合（Set）”。類(lèi)在認(rèn)知科學(xué)中往往用熟悉的“容器（Container）”進(jìn)行隱喻或類(lèi)比。因此“3×2＝6”的運(yùn)算過(guò)程，可以理解為將3個(gè)對(duì)象分2次放入2個(gè)容器中，進(jìn)而產(chǎn)生了一個(gè)包含6個(gè)對(duì)象的新容器（如圖1）。

圖1“3×2＝6”容器示意圖

放入之前因數(shù)“3”表示“3個(gè)”對(duì)象，放入容器過(guò)程中是將“3個(gè)”對(duì)象視為“一”，結(jié)果的2類(lèi)合并成為一個(gè)新的類(lèi)，包含6個(gè)對(duì)象。

因此，運(yùn)算“乘”在思維中具有“進(jìn)入（Into）”的意義，前面提及的歐幾里得《原本》中對(duì)于乘法的定義就表達(dá)了這樣的意義。17世紀(jì)英國(guó)著名數(shù)學(xué)家、牛頓的老師艾薩克·保羅（Isaac Barrow：1630—1677）所著英文版《原本》第7卷的命題16這樣描述乘法：“如果兩個(gè)數(shù)A，B相乘，其中一個(gè)進(jìn)入另外一個(gè)，產(chǎn)生兩個(gè)數(shù)AB，BA，那么這兩個(gè)數(shù)相等。”[3]這一命題實(shí)際敘述了乘法所滿(mǎn)足的交換律，其中對(duì)乘法過(guò)程就使用了“進(jìn)入（Into）”的表述。后來(lái)歐洲許多算術(shù)教科書(shū)中都沿用了這樣的表述。[4]

接下來(lái)的問(wèn)題是在整數(shù)乘法意義的基礎(chǔ)上，如何認(rèn)識(shí)一個(gè)分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘？如何使得分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的意義與整數(shù)乘法意義進(jìn)行銜接？通常的做法是利用分?jǐn)?shù)加法。比如“利用相同加數(shù)求和，改寫(xiě)為“進(jìn)行計(jì)算。事實(shí)上，還可以運(yùn)用意念單位的改變，認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)乘整數(shù)。

如果將算式“3×2＝6”中因數(shù)3表示的3個(gè)對(duì)象，看作是包含于9個(gè)對(duì)象中的一個(gè)局部。把“9個(gè)”對(duì)象視為“一”，那么3個(gè)對(duì)象相對(duì)于這個(gè)“一”，就成為與圖1所示整數(shù)乘法同樣的過(guò)程得到的6個(gè)對(duì)象，相對(duì)于9個(gè)對(duì)象這個(gè)“一”來(lái)說(shuō)，就成為（如圖2）。

圖2“”直觀(guān)示意圖

對(duì)于除法運(yùn)算也是類(lèi)似，比如將6個(gè)蘋(píng)果平均分給2個(gè)人，每人分3個(gè)，用整數(shù)除法算式表示為“6÷2=3”。如果把6個(gè)蘋(píng)果看作是從9個(gè)蘋(píng)果中取出來(lái)的，把“9個(gè)”看作“一”，那么6個(gè)蘋(píng)果相對(duì)于這個(gè)“一”，就成為分得的結(jié)果每人3個(gè)，相對(duì)于“一”，就成為相應(yīng)的算式就成為：

因此從實(shí)際情境看，將6個(gè)蘋(píng)果平均分給2個(gè)人的過(guò)程，是一個(gè)客觀(guān)的事件或過(guò)程，人用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)這個(gè)事件時(shí)，就有主觀(guān)、個(gè)性和多樣的特點(diǎn)。如果把“1個(gè)蘋(píng)果”視為“一”，符號(hào)表達(dá)就是“6÷2=3”；把“9個(gè)蘋(píng)果”視為“一”，列出的算式就成為因此可以知道數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程的一個(gè)重要特征：情境相同，算式多樣。

計(jì)算教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容是理解算式的意義，這樣的意義一方面來(lái)源于具體的涉身活動(dòng)和經(jīng)驗(yàn)，另一方面是建立與已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系。用變化的眼光看單位，可以將整數(shù)和分?jǐn)?shù)視為同樣對(duì)象的不同表達(dá)，分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)實(shí)質(zhì)是人的建構(gòu)，源于人看待單位眼光的改變。

如前所述，類(lèi)似于此約分的過(guò)程，是看“一”的眼光發(fā)生了兩次變化的結(jié)果。第一次是將“3個(gè)”視為“一”，從而“9個(gè)”就成為“3”，這個(gè)“3”表達(dá)的是3組，每一組中包含“3個(gè)”。第二次是將“3組”視為“一”，每一組就成為其中的“6個(gè)”就是“2組”，自然成為

三、方法的方法

數(shù)學(xué)教學(xué)中一個(gè)需要研究的問(wèn)題是如何幫助學(xué)生原創(chuàng)生成解決問(wèn)題的方法，也即讓學(xué)生經(jīng)歷思考“方法的方法（Methodology）”的過(guò)程。表面看不同的算法或解題方法，實(shí)質(zhì)是在同樣或類(lèi)似的看法和想法中生成的，這樣的看法和想法是高于操作性方法的“大想法（Big Idea）”。下面以小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中與分?jǐn)?shù)相關(guān)的問(wèn)題為例加以說(shuō)明。與分?jǐn)?shù)相關(guān)的問(wèn)題通常分為三類(lèi)。

第一類(lèi)：求一個(gè)數(shù)的幾分之幾，用乘法。

第二類(lèi)：求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾，用除法。

第三類(lèi)：已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)，用除法。

其中第三類(lèi)問(wèn)題也稱(chēng)為“知幾求一”的問(wèn)題，被認(rèn)為是與分?jǐn)?shù)相關(guān)問(wèn)題中最困難的。在人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)除法”單元中的例題敘述為：

像這樣“模仿+記憶+練習(xí)”的學(xué)習(xí)方式，自然缺失了意義的理解。學(xué)生對(duì)于整數(shù)除法的已有經(jīng)驗(yàn)是“等分”和“包含”，而此時(shí)所出現(xiàn)的算式“35÷用等分和包含都很難解釋其意義。為了規(guī)避這種困難，如今教科書(shū)中通常采用方程的方法解決問(wèn)題，其算理的依據(jù)是乘除運(yùn)算的互逆關(guān)系。

設(shè)爸爸體重為xkg，依據(jù)等量關(guān)系“爸爸體重減去小明體重比爸爸輕的部分等于小明體重”，列出方程，通過(guò)解方程得到爸爸體重為75kg。這樣的處理能夠?qū)崿F(xiàn)算法的合理性，但仍然缺乏對(duì)算式意義的理解。事實(shí)上，如果以變化的眼光看待“一”，可以結(jié)合學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)，生成多種自然而然且合情合理的方法。

圖3方法一：小明體重示意圖

圖4方法一：爸爸體重示意圖

問(wèn)題自然而然地轉(zhuǎn)化為用整數(shù)可以解決的問(wèn)題：已知一個(gè)數(shù)的7倍等于35，求這個(gè)數(shù)的15倍是多少？可以用下面算式計(jì)算出結(jié)果：

方法2：視“小明體重”為“1”（如圖5）。

圖5方法二：小明體重示意圖

如果視小明體重為“1”，那么爸爸體重就相當(dāng)于將小明體重平均分為7份中的15份，用假分?jǐn)?shù)表達(dá)為或用帶分?jǐn)?shù)表達(dá)為“”（如圖6）。

圖6方法二：爸爸體重示意圖

這時(shí)問(wèn)題已經(jīng)轉(zhuǎn)變?yōu)榍笠粋€(gè)數(shù)的幾倍或幾分之幾的指向乘法計(jì)算的問(wèn)題：求35的是多少？運(yùn)用乘法可以計(jì)算出爸爸體重：

除了上面兩個(gè)方法，還可以把“爸爸和小明體重總和”看為“1”，此時(shí)相當(dāng)于將“1”平均分為22份，小明體重為其中的7份，用分?jǐn)?shù)表達(dá)為；爸爸體重為其中的15份，用分?jǐn)?shù)表達(dá)為如圖7）。有了這樣的表達(dá)，自然建立了小明體重和爸爸體重之間的關(guān)系，學(xué)生可以在明晰關(guān)系的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生出多樣的算法。

圖7方法三：體重總和示意圖

綜上，看“一”的眼光是單位化的認(rèn)知方式和能力，是把“一”或“單位”視為意念中的對(duì)象或?qū)嶓w，是主觀(guān)、個(gè)性和多樣的思維產(chǎn)物。靈活多樣地選擇和使用單位，可使得數(shù)量以及數(shù)量關(guān)系的表達(dá)方式隨之變化。同樣的對(duì)象出現(xiàn)不同的表達(dá)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符號(hào)的語(yǔ)言特征，即表達(dá)方式的多樣性。

不僅如此，看待單位眼光的改變，使得解決問(wèn)題的方法呈現(xiàn)多樣化，表面看是不同的方法，其背后具有同樣的大想法。如果把解題時(shí)列出算式并且計(jì)算出結(jié)果的過(guò)程叫“做法”，那么對(duì)于單位的選擇和使用，就體現(xiàn)了這種做法的想法，也就是方法的方法。

數(shù)學(xué)教育的初心是教育，教育的初心是人的發(fā)展。充分利用數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中所蘊(yùn)含著的育人因素，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中親力親為地經(jīng)歷認(rèn)知過(guò)程、發(fā)展認(rèn)知能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的教育功能，應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)追求的目標(biāo)。