雙圓弧齒廓諧波齒輪傳動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法*

沈云波，支立輝，賈婧瑜，朱育權(quán)

(西安工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710021)

諧波齒輪傳動(dòng)由波發(fā)生器、柔輪和剛輪構(gòu)成，通過柔輪的彈性變形實(shí)現(xiàn)柔輪和剛輪嚙合的一種行星齒輪傳動(dòng)形式[1]，具有高速、高效、大承載力和結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于軍事領(lǐng)域、航空領(lǐng)域和機(jī)器人研究領(lǐng)域等需要高端機(jī)械裝備傳動(dòng)裝置的特殊領(lǐng)域[2-3]。文獻(xiàn)[4]采用直線作為諧波齒輪齒廓，保證了定傳動(dòng)比和一定的承載能力，但設(shè)計(jì)中沒有考慮到柔輪輪齒傳動(dòng)中的法向變形，因而不能得到很好的傳動(dòng)性能。由于漸開線齒廓研制較為簡(jiǎn)單，從20世紀(jì)60年代起，漸開線齒形是目前發(fā)展最為成熟且應(yīng)用最廣泛的一種齒廓曲線[5]。但漸開線諧波齒輪在空載狀態(tài)下，共軛區(qū)域小，柔輪受載變形后易產(chǎn)生邊緣接觸，甚至尖點(diǎn)接觸等問題。不同于漸開線齒形，雙圓弧齒形諧波齒輪傳動(dòng)嚙合中的雙共軛使該傳動(dòng)系統(tǒng)具有更大的承載能力、更高的傳動(dòng)精度和較小的啟動(dòng)力矩[6]。因此，研究雙圓弧齒廓諧波齒輪傳動(dòng)具有一定的學(xué)術(shù)意義和較高的應(yīng)用價(jià)值。波發(fā)生器使得柔輪產(chǎn)生彈形變形并與剛輪嚙合傳動(dòng)，因而柔輪變形嚙合轉(zhuǎn)角的計(jì)算就比較復(fù)雜。文獻(xiàn)[7]提出了一種計(jì)算方法，簡(jiǎn)化了柔輪變形轉(zhuǎn)角的計(jì)算過程，但僅適用于對(duì)傳動(dòng)精度要求不高的情況；文獻(xiàn)[8]給出了高精度諧波齒輪設(shè)計(jì)中柔輪變形轉(zhuǎn)角的精確計(jì)算方法，但總體計(jì)算量較大，且計(jì)算過程易出錯(cuò)；文獻(xiàn)[9]總結(jié)了兩種諧波齒輪嚙合方程的建立方法，一是通過曲線包絡(luò)法建立嚙合方程；二是利用運(yùn)動(dòng)學(xué)法建立諧波齒輪的嚙合方程，并詳細(xì)論證了這兩種方法的可行性。此外，在諧波齒輪傳動(dòng)嚙合仿真分析、新材料應(yīng)用和刀具設(shè)計(jì)等方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者均做了大量研究工作，其研究成果對(duì)后續(xù)研究的開展具有重要參考價(jià)值[10-15]。因此，在上述研究的基礎(chǔ)上，考慮柔輪變形后中線伸長(zhǎng)，提出柔輪在嚙合中轉(zhuǎn)角位置計(jì)算的方法，根據(jù)諧波齒輪嚙合理論，建立由柔輪齒形推導(dǎo)剛輪齒形的模型，以齒側(cè)間隙最小、有效嚙合齒高最大為優(yōu)化目標(biāo)，采用加權(quán)求和法建立多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，進(jìn)行諧波齒輪齒廓參數(shù)優(yōu)化和仿真分析。

1 諧波齒輪傳動(dòng)數(shù)學(xué)模型

諧波齒輪運(yùn)轉(zhuǎn)中柔輪中線的變形規(guī)律由波發(fā)生器決定，其直接影響諧波齒輪的傳動(dòng)性能。因此，根據(jù)已知的數(shù)學(xué)模型和柔輪中線變形規(guī)律研究剛輪和柔輪輪齒間的嚙合關(guān)系，即是研究如何確定剛輪的齒廓數(shù)學(xué)模型。

1.1 柔輪雙圓弧-直線齒廓數(shù)學(xué)模型

圖1 柔輪雙圓弧-直線齒廓Fig.1 Double arc flexspline-straight tooth profile

(1)

式中：xM為點(diǎn)M在X1方向的坐標(biāo)；yM為點(diǎn)M在Y1方向的坐標(biāo)；r為分度圓半徑。

(2)

(3)

式中：xN為N點(diǎn)在X1方向的坐標(biāo)；yN為N點(diǎn)在Y1方向的坐標(biāo)；z1為齒數(shù);ad為齒頂寬度。

(4)

右側(cè)BC段切線齒廓數(shù)學(xué)模型：

(5)

式中：rBC為BC段上點(diǎn)的坐標(biāo)；nBC為BC段上點(diǎn)的公法矢；滿足s∈(l1,l2)，l2=l1+h1/cosδ，其中h1為直線段徑向高度。

(6)

1.2 柔輪轉(zhuǎn)角精確計(jì)算方法

圖2 諧波傳動(dòng)坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate system of harmonic drive

考慮柔輪中線在變形后有少量伸長(zhǎng)，計(jì)算1/4圓周上的伸長(zhǎng)量，并將其平均分配到1/4圓周上的每個(gè)輪齒中，則有

(7)

其中l(wèi)w為每個(gè)輪齒所對(duì)應(yīng)的中線伸長(zhǎng)量。

設(shè)1/4圓周上第i個(gè)齒對(duì)應(yīng)的共軛角度為φ1，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度為正，則圖2中各角度關(guān)系為

(8)

其中u0為柔輪輪齒的最大徑向變形量。

1.3 剛輪齒廓數(shù)學(xué)模型的建立

柔輪和剛輪兩齒廓共軛接觸，由運(yùn)動(dòng)學(xué)法推導(dǎo)兩齒廓共軛傳動(dòng)的嚙合方程如下：

(9)

式中：ni為齒廓上接觸點(diǎn)的公法矢；ri為柔輪齒廓坐標(biāo)；B為關(guān)系矩陣，且

(10)

實(shí)際上式(9)中只含一個(gè)未知量φ1，也稱為諧波齒輪傳動(dòng)的共軛角度，φ1值確定的區(qū)間為柔輪和剛輪的共軛區(qū)域。

由圖2所示坐標(biāo)系，柔輪坐標(biāo)系S1到固定坐標(biāo)系S2的坐標(biāo)變換矩陣為

(11)

則剛輪理論齒廓的數(shù)學(xué)模型如下：

(12)

計(jì)算得到柔輪齒廓的共軛齒廓。已知一個(gè)弧長(zhǎng)離散點(diǎn)對(duì)應(yīng)兩個(gè)φ1解，則一組弧長(zhǎng)離散點(diǎn)對(duì)應(yīng)兩組φ1解，因此，剛輪的理論齒廓有兩條。

2 諧波齒輪齒形優(yōu)化設(shè)計(jì)

多齒對(duì)嚙合是諧波齒輪保持傳動(dòng)穩(wěn)定性和承載能力的重要條件，其取決因素有兩條：一是裝配狀態(tài)下側(cè)隙分布，齒側(cè)間隙減小且嚙合區(qū)間變化不大時(shí)更容易形成多齒對(duì)嚙合；二是柔輪的有效嚙合齒高，輪齒接觸面隨有效嚙合齒高增大而增大，從而改善柔輪的受力狀況。因此，齒形優(yōu)化的目的在于優(yōu)化齒側(cè)間隙和有效嚙合齒高，提高諧波齒輪傳動(dòng)的平穩(wěn)性。

2.1 目標(biāo)函數(shù)與優(yōu)化變量

齒側(cè)間隙是相互嚙合齒面間沿圓周方向的最小間隙，未受載時(shí)的齒廓間最短距離稱為法向齒側(cè)間隙，齒側(cè)間隙與最短距離的關(guān)系如圖3所示。固定坐標(biāo)系S2(O2，X2，Y2) 與柔輪輪齒固連；A1為變形后柔輪輪齒上某一齒廓點(diǎn)；α1為A1點(diǎn)的法線n斜率；B1為法線與剛輪齒廓的交點(diǎn)；α2為直線A1O2斜率。

圖3 齒側(cè)間隙與最短距離的關(guān)系Fig.3 The relation diagram between gear backlash and the shortest distance

將柔輪齒廓離散化為k-1段，即過這k個(gè)離散點(diǎn)作法線，有k條法線與剛輪齒廓相交，獲得沿法線的k個(gè)距離(L1，L2，L3，…，Lk)，則

(13)

式中:Lmin為法向間隙；jmin為齒側(cè)間隙。

求解式(13)中的jmin的值，且共軛角度φ1不同，所得出的jmin的值不同。有效嚙合齒高為

hn=rag-rab+u0。

(14)

式中：hn為有效嚙合齒高；rag為柔輪齒頂圓半徑；rab為剛輪齒頂圓半徑；u0為柔輪輪齒的最大徑向變形量。

最小目標(biāo)函數(shù)為

minF(X)=w1·jmin+w2·hn。

(15)

式中：F(X)為目標(biāo)函數(shù)；w1為齒側(cè)間隙的權(quán)重；w2為有效嚙合齒高的權(quán)重。

2.2 優(yōu)化實(shí)例

諧波齒輪參數(shù)如下：模數(shù)m=0.35 mm，柔輪齒數(shù)z1=160，剛輪齒數(shù)z2=162，頂隙系數(shù)c*=0.35，節(jié)厚比k=1.3，柔輪凹齒廓圓弧所對(duì)應(yīng)圓心角αf=28°。優(yōu)化前后的柔輪齒廓參數(shù)、剛輪齒廓參數(shù)見表1和表2。

表1 優(yōu)化前后柔輪齒廓參數(shù)Tab.1 Flexspline profile before and after optimization

表2 優(yōu)化前后剛輪齒廓參數(shù)(mm)Tab.2 Rigid gear profile before and after optimization(mm)

根據(jù)優(yōu)化的各種變量參數(shù)，計(jì)算得到優(yōu)化前后側(cè)隙值分別為3.5 μm和2.4 μm；優(yōu)化前后有效嚙合齒高分別為0.455 mm和0.433 mm。即優(yōu)化后的齒側(cè)間隙相對(duì)于優(yōu)化前的齒側(cè)間隙減少了1.1 μm，有效嚙合齒高減小了0.022 mm，相對(duì)于齒側(cè)間隙，有效嚙合齒高的變化不大。

3 諧波齒輪傳動(dòng)嚙合仿真分析

3.1 共軛區(qū)域分析

構(gòu)建輪齒數(shù)學(xué)模型，結(jié)果如圖4所示。以嚙合弧長(zhǎng)S為橫坐標(biāo)，以共軛角度φ1為縱坐標(biāo)，得到優(yōu)化前后的共軛區(qū)域比較圖；其中有兩條曲線分別代表不同的共軛區(qū)域，下側(cè)曲線所代表嚙合區(qū)共軛區(qū)域，上側(cè)曲線代表嚙入?yún)^(qū)共軛區(qū)域?！半p共軛”現(xiàn)象是雙圓弧齒廓所獨(dú)有的，即任意取一個(gè)嚙合弧長(zhǎng)值，分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)共軛角度值，則在未受載情況下，齒廓的同一位置處有兩個(gè)輪齒在參與嚙合；任意取一個(gè)共軛角度值，將會(huì)在上方曲線或下方曲線處對(duì)應(yīng)兩個(gè)嚙合弧長(zhǎng)值，即同樣在未受載情況下，柔輪齒廓上同時(shí)有兩點(diǎn)參與嚙合。實(shí)線表示優(yōu)化前共軛區(qū)域，虛線表示優(yōu)化后共軛區(qū)域，發(fā)現(xiàn)兩虛線和兩實(shí)線輪廓近似相同，優(yōu)化前后共軛區(qū)域無(wú)明顯變化。

圖4 優(yōu)化前后共軛區(qū)域比較Fig.4 Comparison of conjugate regions before and after optimization

3.2 柔輪運(yùn)動(dòng)軌跡分析

以一定的角度將柔輪旋轉(zhuǎn)，使其輪齒剛好位于剛輪齒槽內(nèi)，從而能完整地模擬柔輪輪齒嚙合的運(yùn)動(dòng)軌跡，明顯觀察到兩個(gè)輪齒間的側(cè)隙變化情況，運(yùn)動(dòng)的總體軌跡如圖5所示。圖5可以清晰地看到柔輪輪齒從右下方嚙入與剛輪嚙合，完全嚙合后從左下方嚙出，最終脫離，整體運(yùn)動(dòng)軌跡是內(nèi)凹曲線，每一個(gè)輪齒的位置所對(duì)應(yīng)一條運(yùn)動(dòng)軌跡。同時(shí)，柔輪齒廓始終在剛輪齒廓內(nèi)部，運(yùn)動(dòng)過程中沒有產(chǎn)生干涉。

圖5 柔輪總體運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.5 The overall trajectory of the flexspline

3.3 齒側(cè)間隙對(duì)比分析

由于柔輪輪齒的運(yùn)動(dòng)情況均相同，所以，僅需考慮其中任意一個(gè)輪齒的嚙合過程，仿真得到的側(cè)隙分布如圖6所示。從圖6可以看出，整個(gè)過程中側(cè)隙值始終大于0，即整個(gè)嚙合過程沒有發(fā)生干涉現(xiàn)象。在輪齒嚙合過程中，側(cè)隙值基本都在6 μm以下，即在這種條件下受載傳動(dòng)的側(cè)隙值得以補(bǔ)償。同時(shí)，運(yùn)動(dòng)過程中多齒嚙合可以保證較高的承載能力和穩(wěn)定性。

圖6 側(cè)隙分布圖Fig.6 The distribution of gear backlash

圖6中對(duì)比發(fā)現(xiàn)，優(yōu)化后齒側(cè)間隙明顯變小。當(dāng)共軛區(qū)域無(wú)明顯變化且齒側(cè)間隙有明顯減小時(shí)，有利于改善柔輪的受力狀況，提高其運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性和承載能力。

4 結(jié) 論

研究了雙共軛雙圓弧諧波齒輪齒形建模過程，提出了通過齒廓參數(shù)優(yōu)化減小齒側(cè)間隙，提高運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)性和承載能力的方法，得到結(jié)論為

1) 建立了雙圓弧-直線的柔輪齒廓結(jié)構(gòu)，計(jì)算了嚙合中柔輪的變形轉(zhuǎn)角，推導(dǎo)了剛輪齒形。

2) 建立了齒輪優(yōu)化數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行優(yōu)化求解，優(yōu)化后的齒側(cè)間隙減小了30%。

3) 仿真了優(yōu)化前后諧波齒輪傳動(dòng)的嚙合，結(jié)果表明了雙圓弧諧波齒輪具有“雙共軛”特點(diǎn)，相比漸開線諧波齒輪極大地提高了傳動(dòng)的平穩(wěn)性和承載能力。