案例教學法在計算機專業(yè)數學課中的應用

趙爾敦，張茂元

（華中師范大學 計算機學院，湖北 武漢 430079）

0 引言

理工科研究生側重于工程應用與實踐，研究生階段的教學時間短，數學類課程不宜采用本科的教學模式，分多課程、多學期完成。因此，在研一階段開設矩陣分析與統(tǒng)計理論課程，綜合講授研究生階段所需數學基礎知識，是一個有效的方式，但在有限的課時內采用傳統(tǒng)的講授和課程作業(yè)等方式，顯然難以奏效，這就需要采取新的教學模式。

基于案例模式的教學方法已經有大量的研究，在本科生專業(yè)課中得到廣泛運用[1-3]，隨著研究生規(guī)模擴大，在研究生的專業(yè)課程建設中也逐步采用了案例教學方法?；谘芯可c本科生學校目標的不同，文獻[4]和[5]探索了研究生教學中的一些問題和特點，文獻[6]和[7]則分別基于科研成果或科研問題探索了基于案例教學的運用方式。但對于研究生數學學位課，其基礎性和理論性都很強，如何加強理論基礎的同時，采用案例教學模式，助力學生盡快走向實際科研，則是一個值得研究的新問題。

1 案例教學模式的內容

1.1 案例驅動教學模式的特點

本文根據理工科研究生對數學知識的特殊要求，改變傳統(tǒng)的教學模式，進行教學新方法的探索和研究，本文采用的案例驅動教學模式主要特點有：

（1）采用綜合性工程案例作為教學主要內容。由工程項目的需求引導出相關知識，激發(fā)學生的學習興趣，讓學生在工程問題的求解中，加深對知識的理解，克服灌輸式教學方式的枯燥乏味，使教學效果更顯著。

（2）基于案例實踐的教學方式。將多個理論知識點貫穿在綜合的工程問題中進行教學，不再以某個單一的理論知識點為單元進行講授，讓知識以相互聯(lián)系的應用方式呈現(xiàn)在學生面前，從而讓學生在解決問題的實踐過程中發(fā)現(xiàn)和掌握知識，提高教學效果。

（3）本模式將充分體現(xiàn)學以致用，用以促學的觀念，并加以實踐運用。

1.2 案例驅動教學的具體內容

本模式通過當今科技新領域的實用工程案例，選擇教學內容和資源，并引導整個教學過程。

（1）探索研究生數學課工程案例驅動的教學新方法。從理論上分析工程案例驅動教學方法的可行性及存在的問題，研究如何在數學課中采用案例驅動的教學方法，制訂工程案例驅動教學的教學流程。

（2）研究綜合的、特色明顯的、能體現(xiàn)綜合多個知識點的工程案例，并建設相關案例資源。在目前熱門或領先的專業(yè)領域，抽取出能綜合體現(xiàn)若干數學知識點的實際工程問題，構建出求解整個工程問題的詳細過程，展示所學數學知識點的內容及運用方式。

（3）探索工程案例教學的實踐方法。根據工程案例驅動教學方法，利用建設的案例資源，在實際教學中進行教學實踐、積累經驗、評估效果、總結效果，得出可供參考的結論。

（4）建設較為完整的案例驅動教學教案、教學資源。

2 需要解決的若干問題

1）工程案例驅動的教學方式和方法。

案例驅動的教學方法，將不再以單個知識點為單位逐一展開，而采用在各知識點的簡單介紹之后，直接引入工程案例，在工程案例的解決過程中，探求所需要掌握的知識點，引導學生尋求和學習相關知識，從而將所學知識和工程案例有機地融合起來，達到理論與實踐相結合的學習目的。這是一種全新的模式，學生的學習環(huán)境和方式與傳統(tǒng)方式很不一樣，教師如何進行組織和引導，采用何種形式，如分組還是獨立完成學習和作業(yè)，都是需要研究和解決的問題。

2）理論知識點的概括與整理。

案例驅動的教學方法，重點是如何概括和整理知識，選擇合適的案例進行高效的教學。根據課程內容要求和學時安排，如何將知識點進行分割、組織成案例，案例需要重點展示哪些知識點等，是設計一個好的案例必須考慮的問題。因此，在案例選擇之前必須充分概括和整理教學知識點。

3）典型工程案例選擇和建設。

案例驅動的教學方法，重點是案例的選擇和建設。好的案例能兼顧工程應用背景，同時能夠將知識點綜合概括。確定工程案例選擇的一般方法和原則，選擇出典型的工程案例，是需要具體解決的重要問題。

4）工程案例驅動教學的實踐過程與方法。

如何在教學實踐中具體實踐案例驅動的教學方式，以達到較好的教學效果，是實施案例驅動教學需要解決的一個主要問題。方法和案例資源能否有效，重要的是在實踐中得到檢驗。

3 教學內容的組織——以矩陣分析與統(tǒng)計理論課程為例

我們以矩陣分析與統(tǒng)計理論課程為例，根據課程內容，選擇大數據領域、網絡信息領域、機器視覺等領域的科研問題作為案例。

3.1 課程理論的精煉、提升與疏導

由于課程課時有限而內容較多，應在課本知識的基礎上，對課程結構的組織思路進行梳理，對主要理論內容進行提升和精煉，有選擇性地進行教學，同時結合本領域科研發(fā)展方向的概念、算法等講授。案例教學法主要著眼于實踐，因此需在概念理解上進行提升。

1）矩陣分析部分內容的提升與疏導。

以矩陣分析中的線性空間內容為例，可以將向量和線性空間的概念高度抽象；從本科高等數學中的“二維向量空間”概念推廣到一般“廣義的向量空間”概念，強調向量的高度抽象化的理解。指出向量不限于某種具體形式，可以是任何抽象的對象，如函數、自己定義任何對象等，而線性空間是滿足一定條件的向量集合等。

對于不好理解的概念，則采用理論到具體的方式舉例，加深理解，如空間、子空間、子空間的和、直和等概念，學生不好理解，在課堂上采用學生熟知的幾何直線、平面、超平面等具體化空間進行子空間、和空間、直和、正交補等概念和運算的講授，形象具體。

2）數理統(tǒng)計部分內容的提升與疏導。

以本部分的主要概念進行梳理，強調統(tǒng)計理論的總體目標是從樣本推斷出總體性質這一基本點，同時對本科階段學習的隨機變量、參數估計、假設檢驗等概念和理論進行理解上的提升。

例如概率、隨機變量的概念可以從測度論的理論高度上進行闡述，講述概率測度、概率空間等概念，而隨機變量實質上則是某個實驗結果空間上的一種映射等。

再如極大似然估計方法的實質，在理論上可以重新定義和理解：設樣本為一多元隨機向量，則似然函數即為多元隨機向量的密度函數，樣本隨機向量在密度函數最大處即是極值上概率強度最大。用這種觀點進行解釋和定義，不僅容易理解，更將學生引導到多元統(tǒng)計分析的思維方式，進行了一種概念和理論的提升。另外，用隨機向量的概念來理解，既是矩陣分析知識的抽象和應用，又加強了對日后科研工作中會遇到的一些數學概念的理解。

又如假設檢驗的概念，重點講述假設檢驗的實質，即用機器學習中的分類觀點進行解釋：對于假設檢驗中的拒絕域概念，給出一個新視角：假設檢驗→拒絕域→分類問題。這樣不僅能從理論高度重新認識假設檢驗問題的實質，又能將知識點引入學生們感興趣的、目前熱門的機器學習等科研方向上來，從而加強案例教學模式的效果。

3.2 案例的選擇

案例的選擇一般應緊密結合教材核心內容和當前最新科研方向，做到既能契合重點部分的內容，同時兼顧教學前后的內容。

如對線性空間、坐標變換的內容，可以選擇機器視覺中的應用案例：工業(yè)相機的校準問題。該問題可以通過這樣的概念轉換過程進行引導：相機的成像原理→相機坐標、世界坐標→剛體變換、平移變換→仿射變換、透視變換→成像畸變、校準算法等。

又如對內積、距離等概念，可以從大數據中的特征選擇、特征向量、向量相似度等工程背景中去定義和選擇案例。在基向量的講授中，則可引入徑向基函數及其應用的案例等。

再如對矩陣范數、矩陣微分內容，則可以選擇目前廣泛關注的支持向量機、卷積神經網絡，優(yōu)化問題中的案例，從而引出梯度下降搜索算法、神經網絡的訓練過程、常見二次型的優(yōu)化模型的求解等內容。

在統(tǒng)計理論中，則可以選擇機器學習中最常用的一些算法和應用作為案例：如多元回歸、邏輯回歸的具體應用等，距離判別、聚類等的應用；主成分分析在人臉識別中的應用等案例。

4 教學過程和考核方式

4.1 教學過程

本模式教學過程和方法較為靈活，可以采用多種不同的方式、在不同的環(huán)境下教學。一般應包括理論講授過程、課后作業(yè)過程、自學與討論過程、案例實踐過程等幾個環(huán)節(jié)，采用以下教學流程進行：概述→概念講授→案例的數學模型→理論知識學習→知識應用與實踐→文獻閱讀與創(chuàng)新。

（1）概述：講述理論內容的知識背景，應用領域和應用方式，通過案例引出科技問題，并引導出所需本課程的概念、知識點。

（2）概念講授方式：通過類比的方式，重點闡述概念的理解，比如矩陣向量的范數、矩陣和向量的極限，可以類比到數的絕對值、數列的極限等概念，力求學生對概念有較深入的理解。

（3）案例的數學模型：通過知識的介紹，引導學生針對提出的科研案例問題，利用數學理論建立數學模型。

（4）理論知識學習：針對提出的案例問題和確立的數學模型，選擇性學習課本知識；學習方法是，教師初步講解理論知識，重點鼓勵通過學生自學、討論、課后作業(yè)的方式完成定理的證明和例題的閱讀，節(jié)約有限的課堂時間。

（5）知識應用與實踐：通過理論知識的學習，利用科學計算軟件求解出所建立的數學模型，這部分可通過課外或實踐課完成；可以分成兩部分來實現(xiàn)，第一部分，要求學生在理論作業(yè)完成過程中充分學習和運用Matlab 等科學計算軟件；第二部分，則要求學生在工程案例實踐中，對數學模型設計算法，采用Matlab 等計算軟件進行工程案例的實踐計算。

（6）文獻閱讀與創(chuàng)新：應用所學概念，查閱相關的英文文獻，結合自己的研究方向，利用本課程的知識進行文獻閱讀，指導學生建立科研問題的數學模型，并加以計算實踐。

4.2 考核過程

考核過程可以分為平時和期終兩個階段，平時以考勤、課堂討論、理論作業(yè)、案例實踐作為考核方式，期終考試則可以采用理論考試和文獻閱讀兩部分組成，既考查平時的學習情況，又考查學生理論學習和實際科研能力。

5 實施的效果

本教學模式在本院進行的教學實踐中，初步達到了以下效果。

（1）學生對課程體系的認識、課程的應用上有較好的理解，認識到該課程的重要性和實用性。

（2）學生的理論水平有所提高，在較高層次上來理解課程概念與內容，有助于學生在文獻閱讀、新知識的學習和應用上，提高信心，提高分析和解決問題的能力。

（3）學生的目標有所變化，不再是為做題而做題，而是以解決科研問題為目標進行學習，逐步實現(xiàn)科研實踐與理論學習相結合，如很多學生與教師交流時，討論的不再單純是課程知識，而是自身科研工作中具體問題。

（4）在講授過程中，逐步不再以課本為藍本，而是從教師的自身理解和科研體會中，對課程內容進行新的構思，逐步完善基于案例驅動的教學方法。

（5）設計了案例驅動教學的課程標準和規(guī)范的教學流程，逐步完成綜合矩陣分析、應用統(tǒng)計課程的工程案例資源建設和教學課件的制作。

6 結語

針對計算機專業(yè)這類實踐性比較強的理工科專業(yè)，在數學理論基礎課中采用基于案例的教學模式，看似不務正業(yè)，實則能大大提高學生的學習興趣，從而改善教學效果。但是一種新的模式的教學，往往存在許多亟待解決的問題，如教材知識的提煉、實踐案例的選擇、教學方式和進程的安排等，則需要更長時間的探索和研究。