帶著“問題”去旅行

彭惲

摘要：實(shí)踐表明，小學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)概念的支撐。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞，也是構(gòu)成數(shù)學(xué)體系的基石。而真實(shí)課堂是提升學(xué)生概念理解的重要途徑，教師應(yīng)著眼于從“思維滴落的真實(shí)”“思考留落的真實(shí)”“想象灑落的真實(shí)”三個(gè)維度，進(jìn)行課堂教學(xué)的實(shí)踐研究，以實(shí)現(xiàn)真實(shí)課堂的科學(xué)構(gòu)建，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的整體提升。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念;真實(shí)課堂;深度學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞，形成數(shù)學(xué)概念是發(fā)展學(xué)生思維能力的重要因素。在小學(xué)階段，數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)也是培育學(xué)生核心素養(yǎng)的支撐，是形成數(shù)學(xué)品格的標(biāo)志。相關(guān)調(diào)查顯示，目前的概念課教學(xué)普遍存在“重講解、輕感悟，重結(jié)果、輕過程”的學(xué)習(xí)傾向，當(dāng)遇到真正意義的數(shù)學(xué)概念問題時(shí)，大部分學(xué)生仍然手忙腳亂，甚至束手無策。

作為一線教師的我們又該如何改變現(xiàn)行概念課堂的現(xiàn)狀，把對數(shù)學(xué)概念的理解轉(zhuǎn)化為發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)的實(shí)踐行為呢？本文以蘇教版教材四年級上冊“認(rèn)識射線和直線”一課為例，從不同維度對概念課教學(xué)進(jìn)行分析和闡述。

一、追根溯源，尋找思維滴落的“真實(shí)”

現(xiàn)行教學(xué)中經(jīng)常上演著這樣一種課堂尷尬：“我很渴，老師卻只給我一點(diǎn)水。”學(xué)生的真實(shí)問題無法得到滿足，而對于已經(jīng)明了的知識點(diǎn)，教師卻不厭其煩地去“夯實(shí)”，課堂也呈散狀分布。在打磨這節(jié)課時(shí)，為了避免出現(xiàn)這樣的尷尬，我們進(jìn)行了前測調(diào)查和研究。

（一）概念的調(diào)查：你對線有哪些疑惑？需要老師幫你解決哪些問題？

結(jié)果表明，對于這個(gè)問題，全班有42人提到了射線和直線的概念，占總?cè)藬?shù)的91.3%;有27人提到了直線、射線和線段的關(guān)系，占總?cè)藬?shù)的58.7%。可以看出，學(xué)生們對于概念本質(zhì)的研究有很濃的興趣，甚至有一位學(xué)生提到“在數(shù)學(xué)中，如果沒有點(diǎn)，會(huì)有線嗎？”這樣的問題。

這個(gè)問題有些出乎意料，原本認(rèn)為學(xué)生們只會(huì)淺表提問，提出一些非正式的知識點(diǎn)，但這位孩子是從幾何形體的整體性來思考的，更大的可能是他確實(shí)已經(jīng)具備了從一維到二維轉(zhuǎn)化的思維能力。這也引起了我的思考。

（二）前測之思考

由上述調(diào)查可見：不同孩子的不同疑問是真實(shí)的、有研究價(jià)值的。尤其是這句：“沒有點(diǎn)會(huì)有線嗎？”留給了孩子們無限想象的空間。布魯納曾說過：“任何知識都可以用智力上恰當(dāng)?shù)姆绞剑探o任何年齡的兒童。”的確，在真實(shí)的課堂中，我們應(yīng)面對學(xué)生的真實(shí)問題。雖然有些問題遠(yuǎn)超課標(biāo)要求，但只要有價(jià)值，我們就要用恰當(dāng)?shù)姆绞街笇?dǎo)學(xué)生去思考，讓學(xué)生形成對知識的感悟。

所以，我把本節(jié)課的核心思想定位在“數(shù)學(xué)抽象”上，以真實(shí)問題作為教學(xué)切入點(diǎn)，把外圍的思考和核心問題聯(lián)系起來，讓學(xué)生真實(shí)地經(jīng)歷一維、二維甚至三維的圖形抽象，且回望于“點(diǎn)動(dòng)成線”的動(dòng)態(tài)演變，幫助學(xué)生整體建構(gòu)幾何概念的思維體系。

【活動(dòng)一】問題：“沒有點(diǎn)會(huì)有線嗎？”

對于這個(gè)疑問，你們有什么想法？

生1：我覺得線是由點(diǎn)組成的。

生2：沒有點(diǎn)還是會(huì)有線。雖然線段和射線上都有點(diǎn)，但是直線上是看不到點(diǎn)的，所以直線上不存在點(diǎn)。

生3：直線是由許多個(gè)連接在一起的點(diǎn)所組成的，它們在直線上雖看不見，但一定是有的。

生4：我們可以用個(gè)生活例子來說明，比如踢球。你雖然看不到點(diǎn)，但如果球直直地向你滾來，這個(gè)球滾過的所有地方都會(huì)留下一個(gè)個(gè)點(diǎn)。

師：你們的知識真豐富！其實(shí)“點(diǎn)”是個(gè)神奇的圖形?。ǔ鍪尽稁缀卧尽窌?/p>

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得說過：“點(diǎn)是宇宙的起源，線是由無數(shù)個(gè)點(diǎn)連接而成的?！?/p>

觀察視頻：蝸牛沿直線爬行的過程，飛機(jī)沿地面滑行的過程，水滴下落的過程。

瞧，點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)了！你們看到點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)了嗎？

生：這些物體都是從一個(gè)起點(diǎn)出發(fā)的。

生：這些物體都是沿著直直的方向在往前運(yùn)動(dòng)。

生：它們從一端直直地移動(dòng)到了另一端。

說明：點(diǎn)沿著直直的線平移一段距離，它就形成了一條線段。

布魯納說過：“獲得的知識，如果沒有完整的結(jié)構(gòu)把它們連在一起，那是一種多半會(huì)遺忘的知識?！?教師在講解概念時(shí)，需要讓學(xué)生在心理上建立起適當(dāng)?shù)恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個(gè)人內(nèi)部知識網(wǎng)絡(luò)的一部分。而在初等幾何的學(xué)習(xí)過程中，大多數(shù)的概念都直接來源于現(xiàn)實(shí)生活，因此，建立直線概念，最直接的方式就是借助直觀模型的演示去打開思路、加深理解，在想象和推理中構(gòu)造概念。這也是一種數(shù)學(xué)思維的初步啟蒙。

可以看出，學(xué)生基于前測所進(jìn)行的數(shù)學(xué)思考是有效的，基于課前研究進(jìn)行的概念描述是準(zhǔn)確的。這樣的概念學(xué)習(xí)，既展現(xiàn)了學(xué)生原始的思維軌跡，也真實(shí)地經(jīng)歷了多維圖形的數(shù)學(xué)抽象，為后續(xù)整體建構(gòu)幾何概念提供了豐富而多元的學(xué)習(xí)素材。

二、注重滲透，尋繹思考留落的“真實(shí)”

數(shù)學(xué)課堂要重視數(shù)學(xué)思想、觀念、方法的教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生將真實(shí)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，并尋找問題的解決方法，有時(shí)還需對問題做出解釋和討論。但這些過程都不應(yīng)是老師全盤托出，而應(yīng)組織有效的教學(xué)過程，幫助他們?nèi)ブ鲃?dòng)思考、有效提取，從而真正理解基本的數(shù)學(xué)知識和技能、數(shù)學(xué)思想和方法，以促進(jìn)幸福課堂的最終形成，促進(jìn)學(xué)生思維品質(zhì)的提升。

【活動(dòng)二】演示點(diǎn)動(dòng)成線的運(yùn)動(dòng)路徑。

猜想：如果沿著這樣的路徑一直運(yùn)動(dòng)下去，它可能會(huì)形成什么？（射線）射線是一種怎樣的圖形？你能將射線畫下來嗎？（學(xué)生嘗試畫圖）

師：你是怎樣將射線畫在紙上的？說說你的想法。

生1：射線有一個(gè)端點(diǎn)，我從這個(gè)端點(diǎn)開始，一直畫到這張紙邊上為止，表示它是無限長。

師：它表示出無限延伸了嗎？

生2：因?yàn)樯渚€是無限長的，我就想到了數(shù)軸。數(shù)軸和射線都可以無限延長，所以我用箭頭來表示向著這個(gè)方向無限延長。

生3：我的想法和他一樣，但我想到了用省略號來表示無限延長畫不完的部分。

生4：射線是沒有盡頭的，它怎么畫也畫不完，所以我只要先畫一個(gè)端點(diǎn)，再畫一條直直的線就可以了。

師：你們說的話都不相同，但你們的想法都是一樣的。

生1：它們都向著一端在無限延長。

生2：它們從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，可以向不同的方向無限延長。

師：這樣的線看似有限，實(shí)則是無限的，這就是數(shù)學(xué)的魅力。它也留給了我們更多想象的空間。

概念教學(xué)不只是傳授定義，也不只是注重?cái)?shù)學(xué)形式層面的東西，更應(yīng)重視數(shù)學(xué)思維能力的教學(xué)。在教學(xué)中，只有在具體問題的解決過程中揭開顯性的知識面紗，才能尋求隱性的數(shù)學(xué)思考，以獲得理性的思維感悟。

本課例中，我們試圖從不同的角度出發(fā)，營造出智慧而高效的課堂學(xué)習(xí)環(huán)境，幫助學(xué)生把非正式的概念理解上升為模型化的數(shù)學(xué)思考。例如，當(dāng)課件動(dòng)態(tài)演示“點(diǎn)動(dòng)成線”的運(yùn)動(dòng)軌跡后，我便讓學(xué)生們想象：這樣的運(yùn)動(dòng)路徑有什么特點(diǎn)？如果一直沿著這樣的路徑運(yùn)動(dòng)下去，可能會(huì)形成怎樣的圖形？在顯性問題的指引下，學(xué)生們尋找著隱性的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在頭腦中逐漸構(gòu)造出運(yùn)動(dòng)表象，也自然弱化了概念的難點(diǎn)。

想象過后，我并沒有讓學(xué)生停止活動(dòng)，而是要求他們畫出自己心中“點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑”，再次引發(fā)了學(xué)生間的認(rèn)知沖突，使他們產(chǎn)生了用有限來表示無限的心理需求，水到渠成地理解了概念。這樣的活動(dòng)，指引著學(xué)生在化靜為動(dòng)的過程中領(lǐng)悟知識的本質(zhì)，有效建構(gòu)合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升學(xué)習(xí)能力。

三、接壤目標(biāo)，尋求想象灑落的“真實(shí)”

真實(shí)的課堂，是在價(jià)值的引領(lǐng)下自主建構(gòu)的過程，是動(dòng)態(tài)生成下自主推進(jìn)的過程。因此，課堂認(rèn)知倡導(dǎo)學(xué)生自主探究。但自主探究不等于自由研究，學(xué)生受已有知識經(jīng)驗(yàn)的限制，對問題的認(rèn)識可能一下子抓不到要害，思路比較狹窄，這時(shí)，教師不可袖手旁觀，任由學(xué)生越走越遠(yuǎn)，而是要給出清晰的思路，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效探究活動(dòng)，真切地感悟數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想。

【活動(dòng)三】猜猜信封里的新朋友

（1）線段圖（信封內(nèi)藏著一條線段）

師：你能確定它是什么圖形嗎？

生：信封里有可能是射線，也可能是直線，還可能是線段。

師：你希望老師提供些什么幫助？

生：撕開些信封，看看里面線的樣子。

教師逐步打開信封，學(xué)生逐一猜測圖形，最后呈現(xiàn)出一條線段。

生：這是一條線段，不是直線和射線。

評價(jià)：看來觀察圖形要思考得更全面一些。

（2）路線圖（信封外漏出兩個(gè)端點(diǎn)）

師：這次信封里又藏著什么圖形？

生1：一定是線段。師追問：你確定嗎？

生2：信封外面露出兩個(gè)端點(diǎn)，它肯定是線段。

生3：不一定，有可能兩點(diǎn)中間是一條彎彎的線。

生4：我覺得有可能中間畫了很多條線，因?yàn)榫统霈F(xiàn)了兩個(gè)點(diǎn)，不能確定肯定是一條線段。

師（出示3條路線）：如果讓你選，你會(huì)選擇哪一條來走？兩點(diǎn)之間所有的連線中，線段最短。這條線段的長度，就是兩點(diǎn)之間的距離。

學(xué)生的思維是由簡單到復(fù)雜、由具體到抽象、由感性到理性的，在這個(gè)螺旋式發(fā)展的過程中，教師不斷地給學(xué)生提供思維過程的“支點(diǎn)”，幫助他們不斷攀登思維的高峰，以完成知識的整體建構(gòu)，提高綜合學(xué)習(xí)能力。

從案例可以看出，教師指導(dǎo)學(xué)生在建立概念表征的同時(shí)，讓他們學(xué)會(huì)利用概念的性質(zhì)進(jìn)行抽象、推理，也是本節(jié)課重要的教學(xué)目標(biāo)之一。為了落實(shí)這一目標(biāo)，我讓學(xué)生完整經(jīng)歷了數(shù)學(xué)想象的過程，由此來體驗(yàn)數(shù)學(xué)思考的價(jià)值。如：在撕開第一個(gè)信封后，學(xué)生已經(jīng)排除了直線的可能，猜測可能是線段或射線。然而，當(dāng)?shù)诙€(gè)信封完全被打開的一剎那，學(xué)生驚訝萬分，原來不是一條線，而是多條不同的線。答案出乎所有人的意料，猛然間大家的視線都聚焦到了那位有獨(dú)特想法的孩子身上，表示對他的贊許。有的說：“兩點(diǎn)間線段最短?！庇械恼f：“這兩個(gè)地方之間只能畫出一條線段，其他都是曲線?！薄@樣的習(xí)題設(shè)計(jì)，非常有趣、有智慧。正是由于前期對線段、射線、直線的動(dòng)態(tài)感知，才幫助學(xué)生準(zhǔn)確建立了概念的模型思想。

顯然，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、拓展思維經(jīng)驗(yàn)是提升學(xué)生學(xué)習(xí)素養(yǎng)的核心力量。而一個(gè)幸福高效的教學(xué)過程，也應(yīng)是師生、生生間積極互動(dòng)與動(dòng)態(tài)生成的過程。在這個(gè)過程中，學(xué)生不僅能主動(dòng)發(fā)現(xiàn)并獲得數(shù)學(xué)思想方法，也能形成關(guān)于數(shù)學(xué)的正確觀念，從根本上培養(yǎng)學(xué)生敏捷的思維品質(zhì)。

綜上所述，一節(jié)多元化的數(shù)學(xué)概念課，需要教師善于分析學(xué)習(xí)的表象，以誘發(fā)學(xué)生真實(shí)的思考;需要教師善于把握深度融合的資源，以推進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)的形成;更需要教師善于挖掘隱藏在現(xiàn)象背后的本質(zhì)，以促進(jìn)學(xué)生良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成，最終實(shí)現(xiàn)概念的科學(xué)構(gòu)建。與此同時(shí)，孩子們才能帶著“問題”去幸福地旅行！

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（責(zé)任編輯：韓曉潔）