基于6-UCU型平臺(tái)并聯(lián)機(jī)床的軌跡時(shí)間優(yōu)化

嚴(yán)昊 吳建民

摘? 要： 本文針對(duì)基于6-UCU型Stewart平臺(tái)的并聯(lián)機(jī)床提出了一種軌跡時(shí)間優(yōu)化方法。建立該運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解模型。通過(guò)三次多項(xiàng)式插值對(duì)上平臺(tái)的軌跡點(diǎn)進(jìn)行插值，通過(guò)反解模型求出各個(gè)驅(qū)動(dòng)臂對(duì)應(yīng)的位移。建立時(shí)間優(yōu)化的模型，使用遺傳算法結(jié)合五次多項(xiàng)式插值對(duì)軌跡點(diǎn)之間的速度，加速度進(jìn)行求解。計(jì)算得出優(yōu)化后的運(yùn)行時(shí)間與未優(yōu)化前對(duì)比優(yōu)化了14.9%。最后將得到的加速度導(dǎo)入到ADMAS模型中進(jìn)行仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明該軌跡運(yùn)行平穩(wěn)，仿真測(cè)量的驅(qū)動(dòng)臂位移與計(jì)算得出無(wú)明顯差別。

關(guān)鍵詞： Stewart平臺(tái);遺傳算法;軌跡優(yōu)化

中圖分類號(hào)： TP249? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A? ? DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2020.09.030

本文著錄格式：嚴(yán)昊，吳建民. 基于6-UCU型平臺(tái)并聯(lián)機(jī)床的軌跡時(shí)間優(yōu)化[J]. 軟件，2020，41（09）：108111+118

【Abstract】： This paper proposes a trajectory time optimization method for parallel machine tools based on the 6-UCU Stewart platform. In this paper， the inverse kinematics model of the motion platform was established firstly. The trajectory points of the upper platform are interpolated by cubic polynomial interpolation， and the corresponding displacement of each driving arm is obtained by the inverse solution model. Establish a time-optimized model and use genetic algorithm combined with fifth-degree polynomial interpolation to solve the velocity and acceleration between trajectory points. It is calculated that the optimized running time is optimized by 14.9% compared with that before the optimization. Finally， the obtained acceleration was imported into the ADMAS model for simulation verification. The results show that the trajectory runs smoothly， and the measured displacement of the driving arm is not significantly different from the calculation.

【Key words】： Stewart platform; Genetic algorithm; Trajectory optimization

0? 引言

隨著機(jī)器人技術(shù)的進(jìn)步，各種各樣的機(jī)器人投入到了生產(chǎn)中取代人力進(jìn)行繁重、重復(fù)的人力勞動(dòng)?；谶@種現(xiàn)狀，一些專家學(xué)者著手研究對(duì)機(jī)器人的運(yùn)行軌跡進(jìn)行時(shí)間的優(yōu)化，來(lái)進(jìn)一步提高生產(chǎn)效率。Geering[1]等人利用Pontryagin最小化原理，提出了一種機(jī)器人最優(yōu)時(shí)間的軌跡規(guī)劃方法。Cong M[2]提出了一種基于模糊遺傳算法，基于速度和加速度的約束條件下，對(duì)軌跡運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行優(yōu)化。施祥玲等[3]以從時(shí)間、能耗、沖擊三方面考慮對(duì)串聯(lián)機(jī)械臂，建立五次非均勻有理B樣條模型，采用NSGA-II算法求解實(shí)現(xiàn)了有效的多目標(biāo)優(yōu)化。王宇[4]使用三次樣條插值對(duì)3R串聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行估計(jì)規(guī)劃，并提出了一種基于遺傳算法的時(shí)間優(yōu)化方法。

本文以6-UCU型Stewart并聯(lián)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，針對(duì)其在并聯(lián)機(jī)床的應(yīng)用場(chǎng)景，在保證其平穩(wěn)運(yùn)行的前提下，對(duì)其運(yùn)行軌跡進(jìn)行時(shí)間上的優(yōu)化。

1? Stewart反解數(shù)學(xué)模型

使用SolidWorks建立六自由度并聯(lián)機(jī)床的三維模型如圖1所示，該并聯(lián)機(jī)床由伸縮桿、刀具、主軸和機(jī)架組成，機(jī)床上下平臺(tái)分為兩層，六根可變長(zhǎng)桿件通過(guò)虎克鉸鏈與上下平臺(tái)相連。機(jī)架固定在地面，通過(guò)伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)六根伸縮桿，實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)在空間的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，從而得到動(dòng)平臺(tái)的不同位姿。主軸部件固定在動(dòng)平臺(tái)上，帶動(dòng)刀具旋轉(zhuǎn)，實(shí)現(xiàn)對(duì)工件切削的加工要求。

Stewart平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)的位置分析包括正解和逆解，正解是已知關(guān)節(jié)變量求解刀具在空間坐標(biāo)系中的位置，逆解是已知刀具位置求解各關(guān)節(jié)的變量。對(duì)于機(jī)床操控中需要對(duì)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行規(guī)劃，再利用運(yùn)動(dòng)學(xué)位置反解求得各個(gè)驅(qū)動(dòng)桿的位移變化，將驅(qū)動(dòng)桿的位移變化輸入上位機(jī)完成工件的加工。

動(dòng)平臺(tái)的位置和姿態(tài)可用定平臺(tái)的一個(gè)位置向量和一組歐拉角、、來(lái)表示。其中為回轉(zhuǎn)角，為俯仰角，為偏轉(zhuǎn)角。將動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系通過(guò)歐拉變換轉(zhuǎn)換到定坐標(biāo)系。采用齊次坐標(biāo)形式建立坐標(biāo)變換矩陣：

上平坐標(biāo)各個(gè)鉸鏈點(diǎn)的相對(duì)于定坐標(biāo)系的坐標(biāo)用矩陣和矩陣表示，上平臺(tái)各個(gè)鉸鏈點(diǎn)相對(duì)于定坐標(biāo)系的坐標(biāo)為。

2? 軌跡規(guī)劃

2.1? 軌跡方程

如圖3所示，工件上走刀銑削一個(gè)半徑為10 mm的圓錐孔，軌跡方程為：

2.2? 三次樣條插值

對(duì)上平臺(tái)的軌跡進(jìn)行三次樣條插值。三次樣條曲線是軌跡規(guī)劃常用的曲線，三次樣條插值產(chǎn)生的軌跡既能保證加速連續(xù)，加加速度無(wú)驟變又能避免高次曲線的震蕩、超調(diào)現(xiàn)象[5]。

經(jīng)過(guò)樣條插值后的軌跡點(diǎn)如圖4所示。

將密化后的軌跡點(diǎn)通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)的逆解求對(duì)應(yīng)驅(qū)動(dòng)臂的位移，將驅(qū)動(dòng)臂的位移通過(guò)五次多項(xiàng)式插值規(guī)劃上平臺(tái)在一段軌跡內(nèi)運(yùn)行時(shí)，平臺(tái)各個(gè)驅(qū)動(dòng)臂的速度和加速度。

2.3? 五次五多項(xiàng)式插值

多項(xiàng)式插值是直線插值的常用方法，多項(xiàng)式插值就是已知一個(gè)函數(shù)，如果給定在區(qū)間上的個(gè)點(diǎn)，已知在這些點(diǎn)的函數(shù)值，求得一個(gè)次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式函數(shù)的過(guò)程[5]。建立線性方程組：

由于路徑點(diǎn)已由運(yùn)動(dòng)平臺(tái)工作路徑通過(guò)反解到，通過(guò)第二章所推導(dǎo)的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，一般取其速度和加速度都為0，也可以設(shè)立其他數(shù)值。由此可以得到6個(gè)已知條件。將已知條件帶入公式（15）中聯(lián)立求解得到：

3? 軌跡優(yōu)化

3.1? 構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)

給上平臺(tái)規(guī)劃一段軌跡，將該軌跡離散為若干個(gè)離散點(diǎn)，相鄰軌跡點(diǎn)形成最小軌跡。該軌跡的實(shí)際運(yùn)行時(shí)間是若干個(gè)最小軌跡的運(yùn)行時(shí)間的和。對(duì)軌跡運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行優(yōu)化建立的目標(biāo)函數(shù)是讓所有軌跡運(yùn)行時(shí)間的總和最小，如式（18）所示：

3.2? 約束函數(shù)

約束條件主要有動(dòng)力學(xué)約束條件、機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)約束條件和其他約束條件。在機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在保證運(yùn)行速度的同時(shí)還需要避免出現(xiàn)加速度驟變對(duì)結(jié)構(gòu)造成沖擊，以及速度和加速在整個(gè)系統(tǒng)的允許范圍內(nèi)。相鄰兩個(gè)軌跡點(diǎn)之間就是一段軌跡，共有段軌跡，6個(gè)驅(qū)動(dòng)臂在不同軌跡區(qū)間所對(duì)應(yīng)的速度為、加速度為，約束方程如下所示：

已經(jīng)對(duì)五次多項(xiàng)式中各個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間的速度，加速度，加加速度進(jìn)行了推導(dǎo)，結(jié)合五次多項(xiàng)式插值計(jì)算可得到優(yōu)化目標(biāo)的約束函數(shù)為：

參考一些Stewart平臺(tái)已經(jīng)投入生產(chǎn)和使用的產(chǎn)品的參數(shù)和設(shè)計(jì)。驅(qū)動(dòng)臂一般使用伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng)，考慮該機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，選取二級(jí)電機(jī)作為驅(qū)動(dòng)電機(jī)。參照上海格吉電機(jī)科技有限公司生產(chǎn)的SEC75-R005型直角電動(dòng)缸，采用英威特SV-ML06-0R4G-2-1A0伺服電機(jī)，其額定功率1.5 KW，額定電壓220 V，額定轉(zhuǎn)速3000 r/min，最大輸出力15 KN，速度83 mm/s。

從中提取的運(yùn)動(dòng)學(xué)極限參數(shù)如表1所示。

對(duì)于軌跡進(jìn)行時(shí)間上優(yōu)化時(shí)，速度和加速是未知的。對(duì)于軌跡實(shí)際運(yùn)行時(shí)間由每段軌跡點(diǎn)所分配的速度和加速度共同決定。正常軌跡規(guī)劃時(shí)，出于軌跡平滑的考慮需要給機(jī)構(gòu)留有減速的冗余，往往速度和加速度不能達(dá)到既定的閾值，電機(jī)提速過(guò)快會(huì)造成程序報(bào)錯(cuò)。出于實(shí)際應(yīng)用的考慮，將非優(yōu)化環(huán)節(jié)下速度和加速度限定在最大輸出速度和加速度的80%。將優(yōu)化有軌跡的運(yùn)行時(shí)間與全程在穩(wěn)定速度和加速度情況下軌跡的運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行對(duì)比。

本文的優(yōu)化考慮到驅(qū)動(dòng)臂所做的為直線運(yùn)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)臂所要考慮的減速區(qū)域?yàn)轵?qū)動(dòng)臂做往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)的軌跡段，在此軌跡段將速度和加速度設(shè)定為平穩(wěn)運(yùn)行狀態(tài)，將做單一變化時(shí)的驅(qū)動(dòng)臂的速度和加速度設(shè)為極限狀態(tài)?？紤]到驅(qū)動(dòng)臂的協(xié)同性，每個(gè)驅(qū)動(dòng)臂在同一軌跡時(shí)間運(yùn)行的時(shí)間應(yīng)該相等，所以應(yīng)該選取每段軌跡區(qū)間內(nèi)最長(zhǎng)的那個(gè)機(jī)械臂的運(yùn)行時(shí)間作為該段軌跡的運(yùn)行時(shí)間。綜合考慮這兩種因素選取在該軌跡段運(yùn)行時(shí)間最長(zhǎng)的驅(qū)動(dòng)臂的運(yùn)行時(shí)間作為該軌跡段的最終運(yùn)行時(shí)間，其他驅(qū)動(dòng)臂的速度、加速度按照該軌跡段的運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行計(jì)算求解，即：

3.3? 模型求解

該模型是一個(gè)非線性規(guī)劃問題求解問題，非線性目標(biāo)求解在已搭建的數(shù)學(xué)模型中速度、加速度、加加速度的限制作為制約函數(shù)，在求解非線性方程組的算法中遺傳算法具有良好的全局搜索能力，可以快速地將解空間中的全體解搜索出，而不會(huì)陷入局部最優(yōu)解的快速下降陷阱[6]。并且利用它的內(nèi)在并行性，可以方便地進(jìn)行分布式計(jì)算，加快求解速度。求解流程圖如圖5所示。

已經(jīng)計(jì)算得出該螺旋軌跡優(yōu)化前的運(yùn)行時(shí)間為，經(jīng)過(guò)后優(yōu)化后的運(yùn)行時(shí)間為2.708309 s，未優(yōu)化的運(yùn)行時(shí)間為3.186159 s，優(yōu)化了大約14.9%。

以其中一條驅(qū)動(dòng)臂的速度和加速度為例，螺旋軌跡運(yùn)行時(shí)其圓弧的半徑是逐漸收斂的，所以驅(qū)動(dòng)臂運(yùn)行到軌跡末尾的時(shí)候運(yùn)動(dòng)的幅度更小，但往復(fù)的更加頻繁。如圖6所示，優(yōu)化前的軌跡為了避免這樣的狀態(tài)采用較為穩(wěn)定的恒定輸出，但即便是這樣當(dāng)軌跡更加收斂的時(shí)候還是會(huì)有加速度較大的突變。優(yōu)化后的軌跡對(duì)于驅(qū)動(dòng)臂運(yùn)行幅度較小、但往復(fù)頻繁的軌跡段表現(xiàn)良好。

未優(yōu)化的軌跡加速度峰值和谷值相差較大，最大的加速度將近3000 mm/s2，而優(yōu)化的后的軌跡加速度穩(wěn)定在2000 mm/s2以內(nèi)，峰值和谷值的差距并不懸殊。

如圖7所示，在軌跡單向直線運(yùn)動(dòng)時(shí)軌跡是在極限速度附近的，在驅(qū)動(dòng)臂做往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)軌跡有明顯減速和再加速到極限速度的過(guò)程，且這個(gè)過(guò)程在軌跡運(yùn)行的總時(shí)間所占的比率較大，說(shuō)明在往復(fù)階段驅(qū)動(dòng)臂的運(yùn)行是較為平穩(wěn)的。

4? 仿真驗(yàn)證

使用ADAMS搭建平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型，將優(yōu)化得到的加速度樣條導(dǎo)入到模型中[7]，在模型中建立測(cè)量，將測(cè)量采集到的位移運(yùn)行數(shù)據(jù)與軌跡規(guī)劃的運(yùn)行數(shù)據(jù)對(duì)比。

如圖8所示各個(gè)驅(qū)動(dòng)臂的位移變化圖和軌跡規(guī)劃得到的驅(qū)動(dòng)桿的位移變化量一致，優(yōu)化是從時(shí)間上進(jìn)行優(yōu)化，在驅(qū)動(dòng)臂做小位移往復(fù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，驅(qū)動(dòng)臂依舊能保持高速運(yùn)動(dòng)。

5? 結(jié)論

本文結(jié)合實(shí)際生產(chǎn)對(duì)Stewart平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行了優(yōu)化。首先對(duì)上平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行了規(guī)劃通過(guò)三次樣條插值對(duì)軌跡點(diǎn)進(jìn)行密化，保證軌跡的平滑性，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解模型對(duì)軌跡點(diǎn)求解對(duì)應(yīng)的關(guān)節(jié)位置。

建立優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)遺傳算法與五次多項(xiàng)式插值相結(jié)合解析出了時(shí)間最優(yōu)時(shí)各軌跡段的速度和加速度，時(shí)間優(yōu)化后軌跡運(yùn)行平穩(wěn)。最后通過(guò)仿真驗(yàn)證了該優(yōu)化結(jié)果。

參考文獻(xiàn)

[1]Geering H， Guzzella L， Hepner S， et al. Time-optimaland motions of robots in assembly tasks[C]. IEEE Conference on Decision and Control. IEEE， 1985： 982-989.

[2]Gao M， Ding P， Yang Y. Time-Optimal Trajectory Planning of Industrial Robots Based on Particle Swarm Optimization. Fifth International Conference on Instrumentation and Measurement，

Computer， Communication and Control. IEEE， 2016： 1934- 1939.

[3]施祥玲， 方紅根， 郭為忠. 基于五次NURBS的機(jī)械臂時(shí)間-能量-平滑性多目標(biāo)軌跡優(yōu)化[J]. 機(jī)械設(shè)計(jì)與研究， 2017， 33（01）： 12-16.

[4]王宇. 基于時(shí)間最優(yōu)的3R串聯(lián)機(jī)械手軌跡規(guī)劃及仿真的研究[D]. 沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)， 2018.

[5]陳愛波， 陳五一. 基于五次多項(xiàng)式插值的大慣量弱剛性回轉(zhuǎn)系統(tǒng)的啟動(dòng)速度控制[J]. 組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)， 2016（02）： 105-107.

[6]卓金武. MATLAB在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[M]. 第二版， 北京： 航空航天大學(xué)出版社， 2014： 76-77.

[7]宋少云， 尹芳. ADAMS在機(jī)械設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[M]， 北京： 國(guó)防工業(yè)出版社， 2015： 73-74.