向量的運算與三角形“五心”的交匯

向量，既有“數(shù)”的抽象，又有“形”的直觀，是溝通代數(shù)與幾何的橋梁.向量的運算是平面向量這一章的重點內(nèi)容，包含兩個層面：一是非坐標下的運算，二是坐標下的運算.在非坐標運算中，主要遵循“基向量”的思想，從向量加法、減法和數(shù)乘的原始定義出發(fā).

在三角形中，有一些點是比較重要的，比如三角形的“五心”，即外心、內(nèi)心、重心、垂心和旁心.下面我們先把這些點敘述一下.

1.外心：三角形三邊中垂線的交點，也就是三角形外接圓的圓心;

2.內(nèi)心：三角形三條內(nèi)角平分線的交點，也就是三角形內(nèi)切圓的圓心;

3.重心：三角形三條中線的交點;

4.垂心：三角形三條高線的交點;

5.旁心：三角形一個內(nèi)角的平分線和其他兩個內(nèi)角的外角平分線的交點，也就是三角形旁切圓的圓心.

以下各題在：內(nèi)心，外心，重心，垂心，旁心中選填

題1：已知O為△ABC所在平面內(nèi)的一定點，動點P使OP=OA+λ（AB+AC），則動點P的軌跡一定通過△ABC的.

點撥：條件中涉及的點有：O，P，A，B，C;涉及到的運算有：共起點的兩個向量相加，向量的數(shù)乘.對等式作移項處理后，涉及到共起點的兩個向量相減，至此，等式中涉及到的點由5個減少到4個.

解：取BC的中點D，由OP=OA+λ（AB+AC）得：AP=λ（AB+AC）=2λAD.說明A、P、D三點共線，又AD為△ABC的中線，點P在△ABC的中線所在的直線上，故動點P的軌跡一定通過△ABC的重心.

題2：已知O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP=OA+λ（AB|AB|+AC|AC|），則P的軌跡一定通過△ABC的.

解：AB|AB|是AB方向上的單位向量，AC|AC|是AC方向上的單位向量，根據(jù)平行四邊形法則，點P在△ABC的角平分線所在的直線上，動點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心.

評注：題1、題2考查最基本的向量的線性運算，所涉及的知識點也比較單一，需要熟練掌握向量加法的平行四邊形法則和向量減法法則：平移到同一起點、指向被減向量.

題3：研究類似條件OP=OA+λ（AB|AB|-AC|AC|）的結(jié)論.

點撥：根據(jù)前兩問的經(jīng)驗，AP=λ（AB|AB|-AC|AC|），等式右邊如果不作處理，是共起點的兩個單位向量相減.因此，可以先作一個簡單處理：減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量.

解：AB|AB|―AC|AC|=AB|AB|+CA|CA|，它是以單位向量AB|AB|和CA|CA|為兩條鄰邊的菱形的對角線，即∠BAC的外角平分線，因此P為△ABC的外角平分線上的一點，動點P的軌跡一定通過△ABC的旁心.

題4：研究類似條件OP=OA+λ（ABsinC+ACsinB）的結(jié)論.

點撥：本題向量與三角相結(jié)合，考查的內(nèi)容不單一，結(jié)合正弦定理處理.

解：由sinC=|AB|2R，sinB=|AC|2R，條件轉(zhuǎn)化為題2，即AP=2Rλ（AB|AB|+AC|AC|），因此動點P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心.

題5：研究類似條件OP=OA+λ（AB|AB|sinB+AC|AC|sinC）的結(jié)論.

解：由正弦定理：|AB|·sinB=|AC|·sinC，故OP=OA+λ（AB|AB|sinB+AC|AC|sinC）=OA+λ|AB|sinB（AB+AC），由題1知，動點P的軌跡一定通過△ABC的重心.

評注：題3、題4、題5，相比于題1、題2，思維深度更進一步，需要靈活轉(zhuǎn)化，巧妙結(jié)合正弦定理，但是方法還是題1和題2的方法.因此，在數(shù)學學習過程中，一定要關(guān)注通性、通法的領(lǐng)悟.

題6：研究類似條件OP=OA+λ（AB|AB|cosB+AC|AC|cosC）的結(jié)論.

解：根據(jù)前幾題的解題經(jīng)驗，我們知道AB|AB|cosB+AC|AC|cosC應(yīng)該是一個向量，而最終點P的軌跡主要是取決于這個向量的特點.關(guān)鍵是分母上的cosB和cosC，那么向量的哪一個公式中會出現(xiàn)余弦值呢？自然是數(shù)量積.只要把向量AB和AC都點乘BC，cosB和cosC自然就出來了：

（AB|AB|cosB+AC|AC|cosC）·BC=|AB|·|BC|cos（π-B）|AB|cosB+|AC|·|BC|cosC|AC|cosC=―|BC|+|BC|=0，

即AB|AB|cosB+AC|AC|cosC是與BC垂直的，所以動點P的軌跡一定通過△ABC的垂心.

題7：研究類似條件OP=OB+OC2+λ（AB|AB|cosB+AC|AC|cosC）的結(jié)論.

解：由條件知2OP―OB―OC=BP+CP=2λ（AB|AB|cosB+AC|AC|cosC），由題6可知BP+CP垂直于BC，取BC的中點D，即PD垂直于BC，所以動點P的軌跡一定通過△ABC的外心.

評注：題6和題7的條件結(jié)構(gòu)與前面類似，但是綜合考查了線性運算和數(shù)量積，有一定的難度，對思維的要求也逐漸提高.在考查通性通法的同時，突出考查思維能力、分析能力和解決問題的能力.因此在平時的數(shù)學學習中，不能僅僅滿足于課本知識的簡單呈現(xiàn)，要注重培養(yǎng)解題能力，提高思維能力和創(chuàng)新能力.

（作者：趙方方，江蘇省天一中學）