含等級治療率與不完全康復(fù)率的SIRS模型的分岔分析

黃春賢，周效良

(1. 閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，福建 漳州 363000; 2. 嶺南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 湛江 524048)

傳染病嚴(yán)重威脅人類的生存和發(fā)展。14世紀(jì)中葉，黑死病經(jīng)過幾次爆發(fā)，由亞洲傳到歐洲，三分之一的歐洲人因此而死亡。1720年至1722年間爆發(fā)在法國的腹股溝腺炎瘟疫令馬賽失去了一半的人口[1]。在現(xiàn)代，人們衛(wèi)生意識(shí)和社會(huì)醫(yī)療水平已今非昔比，但過度藥物治療使病毒產(chǎn)生抗藥性等問題，往往導(dǎo)致新型病毒的產(chǎn)生，這使得對傳染病的防治仍需嚴(yán)陣以待。因此，傳染疾病的控制仍然是現(xiàn)代社會(huì)亟待解決的問題[2-3]。

研究傳染病模型能為傳染疾病的控制提供有效的措施[4]。Kermack等[5]于1927年應(yīng)用動(dòng)力系統(tǒng)原理在假設(shè)人口不同類成員之間的流率相對簡單的基礎(chǔ)上建立經(jīng)典的SIR傳染病模型；隨后一些學(xué)者在此基礎(chǔ)上考慮了SIS模型[6-8]。SIR模型和SIS模型均是在極端情況下建立的，SIR模型僅考慮患病個(gè)體經(jīng)過治療必定康復(fù)成為具有免疫能力的個(gè)體[9]；SIS模型只考慮患病個(gè)體完全沒有獲取免疫能力。Gomes等[3]就該問題建立了一類非理想免疫的傳染病模型，通過分析平衡點(diǎn)的性質(zhì)，給出一些降低傳染病流行的疫苗接種措施；Gomes等[10]又考慮一類具有非理想免疫和非線性發(fā)生率的傳染病模型，得到該模型參數(shù)穿越對應(yīng)臨界值時(shí)會(huì)有后向分岔、振動(dòng)和Bogdanov-Takens分岔。為了更好地描述傳染病的傳播，馬知恩等[11]建立了一類SIRS模型，該模型考慮患者經(jīng)過治療，可能獲取完全的免疫能力或者沒有獲得免疫能力而再次成為易感者。在某些情況下，傳染病的發(fā)生率并不是雙線性的，因此，Lu等[12]考慮了一類具有廣義非單調(diào)和飽和發(fā)生率的SIRS模型，得到了該模型隨著參數(shù)的變化會(huì)發(fā)生鞍結(jié)分岔、Bogdanov-Takens分岔、Hopf分岔等。

White等[13]建立了一類海洛因毒品傳播模型，并給出該模型無海洛因吸食患者平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性分析以及有吸食患者平衡點(diǎn)的存在性；Mulone等[14]通過應(yīng)用特征方程和龐加萊-本迪克松定理對文獻(xiàn)[13]的模型的全局穩(wěn)定性進(jìn)行了分析；海洛因吸食個(gè)體通過治療成為康復(fù)個(gè)體需要一定的時(shí)間周期，因此Liu等[15]以及Huang等[16]都考慮了分布式的時(shí)滯項(xiàng)，前者得到了無海洛因吸食患者平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定和有吸食患者平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定條件，后者得到有吸食患者平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性的條件。Muroya等[17]對輕度海洛因傳播的情況提出如下帶有等級治療率以及不完全康復(fù)率SIRS模型

(1)

得到模型(1)的基本再生數(shù)為

(2)

并給出了無海洛因吸食患者平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定和有吸食患者平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定條件分別為R0<1和R0>1，式中：S、I、R分別是總?cè)巳褐幸赘袀€(gè)體的比例、患病個(gè)體的比例和康復(fù)個(gè)體的比例；d是新出生的人口比例，假定出生人口比例等于死亡人口的比例；β是易感個(gè)體與患病個(gè)體接觸成為新的患病個(gè)體的概率；ε是等級治療率；δ表示康復(fù)個(gè)體因?yàn)闆]有獲得抗體而轉(zhuǎn)化成易感個(gè)體的比率；γ是患病個(gè)體的成為康復(fù)個(gè)體的比率；σ代表康復(fù)個(gè)體因?yàn)椴煌耆委煻俅纬蔀榛疾€(gè)體的比率。該系統(tǒng)所有參數(shù)均是非負(fù)常數(shù)。

2016年，史學(xué)偉等[18]在模型(1)基礎(chǔ)上加入信息變量，得到了系統(tǒng)存在Hopf分岔；2017年，Ma等[19]在模型(1)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步考慮非線性發(fā)生率以及海洛因吸食者不能通過自身意志克服毒癮再次成為易感者，對一類具有非線性發(fā)生率的海洛因模型進(jìn)行了分岔分析，得到系統(tǒng)存在Bogdanov-Takens分岔。

本文研究模型(1)的分岔性質(zhì)。在系統(tǒng)(1)的極限集S+I+R=1上考慮系統(tǒng)(1)，可以得到系統(tǒng)(1)的約化系統(tǒng)[20-21]如下：

(3)

約化系統(tǒng)(3)的穩(wěn)定性與原系統(tǒng)(1)的穩(wěn)定性等價(jià)。為方便表示，令θ1=d+ε+γ，θ2=d+δ+σ。

1 平衡點(diǎn)分析

本章研究系統(tǒng)(3)平衡點(diǎn)的類型。系統(tǒng)(3)僅存在2個(gè)平衡點(diǎn)E0(0, 0)和E1(I*,R*)，其中：

(4)

(5)

定理1系統(tǒng)(3)的無病平衡點(diǎn)E0(0, 0)只為下面3種情況之一：

證明系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)E0(0, 0)處的Jacobi矩陣為

(6)

特征方程為

λ2+a11λ+a12=0，

(7)

式中a11=θ1+θ2-β，a12=-βθ2+θ1θ2-σγ。易知

(θ1+θ2)2-2β(θ1+θ2)+β2+4βθ2-4θ1θ2+4σγ=

β2-2β(θ1-θ2)+(θ1-θ2)2+4σγ=

[β-(θ1-θ2)]2+4σγ>0。

因此，特征方程(7)存在2個(gè)不同的實(shí)特征根。根據(jù)韋達(dá)定理得：

定理2系統(tǒng)(3)的地方病平衡點(diǎn)E1(I*,R*)只為下面3種情況之一：

證明系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)E1(I*，R*)處的Jacobi矩陣為

(8)

特征方程為

λ2+a21λ+a22=0。

(9)

把式(4)和式(5)代入得：

2 分岔分析

本章主要研究系統(tǒng)(3)的分岔性質(zhì)。定義系統(tǒng)(3)的無病平衡點(diǎn)與地方病平衡點(diǎn)的距離為

d=‖E1-E0‖2，

(10)

(11)

引理1[22]考慮帶參數(shù)φ的常微分方程組

(12)

假定0是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，即對任意φ滿足：f(0,φ)≡0。

②對應(yīng)于零特征值，A有一個(gè)非負(fù)的右特征向量ω和一個(gè)左特征向量υ，記

(13)

(14)

則當(dāng)a<0，b>0時(shí)，該系統(tǒng)發(fā)生前向分岔。該分岔的分岔圖如圖1所示。

圖1 a<0,b>0時(shí)系統(tǒng)的前向分岔Fig. 1 Bifurcation diagram of forward bifurcation for a<0, b>0

(15)

可解得特征值為

(16)

因此，Jacobi矩陣J(E0,β*)有一個(gè)零特征值，且其他特征值均為負(fù)實(shí)部的。

設(shè)W=(w1,w2)T是Jacobi矩陣J(E0,β*)的右特征向量，滿足J(E0,β*)W=0，即

(17)

解得

W=(θ2,γ)T。

(18)

設(shè)V=(v1,v2)T是Jacobi矩陣J(E0,β*)的左特征向量，滿足VJ(E0,β*)T=0，解得

V=(θ2,σ)Τ。

(19)

由系統(tǒng)(3)得到：

(20)

計(jì)算該系統(tǒng)在無病平衡點(diǎn)E0的二次偏導(dǎo)數(shù)：

易知：

(21)

(22)

由引理1，定理3得證。證畢。

3 數(shù)值模擬

本章根據(jù)以上理論分析，通過數(shù)值模擬，給出系統(tǒng)(1)的相圖和狀態(tài)變量隨時(shí)間變化的曲線圖，系統(tǒng)的參數(shù)選為下面2種情形：

圖2 β<β*時(shí)系統(tǒng)(1)的相圖Fig. 2 Phase diagram of system (1) for β<β*

圖3 系統(tǒng)(1)初始值為(0.45, 0.28)的曲線Fig. 3 Curves of system for initial condition (0.45, 0.28)

圖4 β>β*時(shí)系統(tǒng)(1)的相圖Fig. 4 Phase diagram of system (1) for β>β*

圖5 系統(tǒng)(1)初始值為(0.004 5, 0.002 8)的曲線Fig. 5 Curves of system for initial condition (0.004 5, 0.002 8)

圖6 系統(tǒng)(1)初始值為(0.21, 0.13)的曲線Fig. 6 Curves of system for initial condition (0.21, 0.13)

4 結(jié)語

本文通過對一類具有等級治療率及不完全康復(fù)率的SIRS模型的平衡點(diǎn)類型進(jìn)行分析，得到β<β*時(shí)，系統(tǒng)僅存在一個(gè)穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)E0(0, 0)；當(dāng)β>β*時(shí)，系統(tǒng)僅存在一個(gè)不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)E0(0, 0)和穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E1(I*,R*)，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)存在前向分岔，并對其進(jìn)行嚴(yán)格證明；最后數(shù)值模擬驗(yàn)證系統(tǒng)參數(shù)β越過臨界參數(shù)值β*時(shí)系統(tǒng)相圖的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生改變。