帶線性項Kirchhoff型問題的無窮多古典解

王 躍, 葉紅艷, 雷 俊, 索洪敏*

(1. 貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 貴州 貴陽 550025； 2. 貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院, 貴州 貴陽 550025)

早在1876年以前，德國物理學(xué)家Kirchhoff[1]便提出了經(jīng)典的波動方程

式中ρ、h、p0、E、L均為正數(shù)，0

解的存在性。2015年以來，該問題在國內(nèi)外受到廣大數(shù)學(xué)愛好者的關(guān)注并有大量研究成果[2-12]。特別地，文獻[2]中羅列了大量關(guān)于上述問題的研究結(jié)果，此處不再贅述。文獻[3]首次指出這類問題從某種角度可以視為負模量的Kirchhoff型問題，從而表明這類問題的研究具有一定的價值。

1 問題及主要結(jié)果

考慮含負模量的非局部Kirchhoff型問題古典解的存在性

(1)

式中：Ω?RN(N≥1)是光滑有界域；a、b、λ為任意實數(shù)(常數(shù)參數(shù)都可以)；u=u或是邊界?Ω上的單位外法向量。文獻[4]通過變分方法獲得當(dāng)N≥3，u=u，并且a、b、λ為3個正參數(shù)時，該問題至少存在一正一負2個弱解，并利用反證法說明λ較小時不存在同號解。值得一提的是, 文獻[2-12]及其引用的關(guān)于負模量問題的文獻中均利用變分方法獲得弱解的存在性，而除文獻[2-3]中給出一些表達式外，文獻[2]的引用文獻及文獻[4-12]中均沒有給出表達式。受文獻[2-4]啟發(fā)，本文考慮時問題(1)古典解的存在性，類似可以證明u=u時本文的結(jié)論同樣成立。a、b、λ的符號在問題(1)中相對具有對稱性, 從而在研究中當(dāng)a0時總假設(shè)a>0，其他情形相應(yīng)按符號對稱便已經(jīng)包含其中。本文主要結(jié)論包括定理1～3。

定理1如果a>0，則結(jié)論①～③是古典解。

2 主要結(jié)果的證明

定義1設(shè)Ω?RN，f：Ω→R，xf(x)，任給x0∈Ω，>0，若存在δ>0，使得|x-x0|<δ時總有|f(x)-f(x0)|<ε，則稱f是Ω到R的連續(xù)函數(shù)。Ω到R的連續(xù)函數(shù)全體，記為C(Ω,R)。

定義2設(shè)Ω?RN，f：Ω→R，xf(x)，若則稱f∈Li(Ω)(i是正實數(shù))。

當(dāng)然，如果一個函數(shù)存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)Green公式可以證明它也是弱導(dǎo)數(shù)。

(2)

則稱u為問題(1)的一個弱解。

(3)

根據(jù)定義4、5立即可知，如果u為問題(1)的一個古典解，則u也是問題(1)的一個弱解，因為弱解的2階偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù)存在，所以弱解不一定是古典解。下面只證的情形。

(4)

設(shè)i>1，考慮關(guān)于t的方程

(5)

當(dāng)b≠0時，方程(5)總有實值或復(fù)值的形式解

(6)

(7)

1)如果a>0且b=0，則問題(1)退化為：

2)如果a>0，b>0，則對任給的λ∈R，如果λ>0，必存在k∈N*,k≥1，使得λ0總成立。從而根據(jù)式(6)、(7)可知，問題(1)有無窮多古典解

綜上不僅證得定理1古典解的存在性，還給出一類解的抽象形式，具體表達式的例子見第3章。

定理2的證明這部分的證明依賴于定理1證明的一些結(jié)果。如果a=0，則對i>1的特征值μi及其對應(yīng)的特征函數(shù)φi，方程(5)變成

若再有bλ<0，則方程(5)變換得到的關(guān)于t的方程總有實數(shù)解

問題(1)有無窮多古典解，可以表示為

如果a=0時u是問題(1)的解，則

特別地，取v=u便可以得出a=0且bλ≥0時只有平凡解。

定理3的證明根據(jù)定義1，問題(1)的每一個古典解un必然都滿足

再根據(jù)定義2可得

都是問題(1)的古典解，并且

(8)

至此，定理3的證明已經(jīng)完成。但是，作為擴展，考慮退化的Kirchhoff型問題，即

(9)

式中Ω?RN(N≥1)是光滑有界域，λ為任意正數(shù)，u=u或是?Ω上的單位外法向量(注意N=1時Ω表示連續(xù)區(qū)間，的邊界值為u′(x)在端點處的單向?qū)?shù)值)，那么定理4成立。

定理4對任意λ>0(可以是常數(shù)也可以是參數(shù))，問題(9)有無窮多古典解。

其表明問題(9)與同邊值條件的問題-Δu=λu特征值有關(guān)，注意方程(9)不是線性的，可以發(fā)現(xiàn)un是解時后者I(tun)≡0，而前者I(tun)?0，并且t≠1時不是實值解。

3 定理1和定理2的結(jié)論舉例

(10)

(11)

根據(jù)式(10)和(11)，對任意實數(shù)λ和μ，有

當(dāng)b≠0時考慮關(guān)于μ的方程

(12)

通過式(12)可得

(13)

(14)

對所有n>N而言都是問題(1)的古典解, 因此問題(1)有無窮多古典解。

而在a>0,b<0的前提下只有u≡0滿足。所以a>0,b<0且λ≤λ1時問題(1)只有零解。

(15)

也即特征值問題：

具有無窮多古典解可以表示為式(15)，而a=0且bλ≥0時類似于例6可得出問題(1)只有零解。

4 總結(jié)與展望

作為補充，對于Kirchhoff型問題來說，含有正模量時文獻[15]考慮了帶有線性項的一種廣義形式并利用本文的方法獲得無窮多古典解，文獻[16]考慮了帶有臨界指數(shù)時的一種廣義形式并利用達到函數(shù)獲得古典解，這些問題都可以推廣到負模量的情形；而含有負模量情形的研究淵源在文獻[2]中有具體敘述，在隨后的研究情況參見文獻[17-20]及其引用文獻中的敘述。最新的結(jié)果中，文獻[17]在無界域上考慮了帶有除了-1指數(shù)外的所有指數(shù)情形并構(gòu)造出無窮多古典解，同時給出有界域上無邊界限制時的古典解(見文獻[18])，文獻[19]推廣到了變指數(shù)情形并利用變分方法獲得弱解的存在性，文獻[20]利用達到函數(shù)獲得臨界指數(shù)情形的無窮多解。注意到在無窮多解的文獻中，不難發(fā)現(xiàn)，文獻[17-18]在RN的子集中構(gòu)造出無窮多解的解析式，文獻[19]的結(jié)論是存在無窮多弱解，除文獻[15]外，本文中無論是方法、研究范圍還是所得到的結(jié)果，均體現(xiàn)出明顯的差異。而對于這一類問題，它們也屬于微分方程邊值問題的一種，也可以利用文獻[21-22]等所采用的不動點理論來研究多重解的存在性，當(dāng)然也可以利用Ljusternik-Schnirelman極小極大原理獲得無窮多解，建議使用更多方法研究這類問題，得到更多結(jié)果。