一類(lèi)分?jǐn)?shù)階微分方程的反周期邊值問(wèn)題

左佳斌，贠永震

(1. 河海大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 210098； 2. 吉林工程技術(shù)師范學(xué)院 應(yīng)用理學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130052)

在近十幾年里，分?jǐn)?shù)階微分方程在多孔介質(zhì)、流體力學(xué)、自動(dòng)控制和電動(dòng)力學(xué)等科學(xué)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，分?jǐn)?shù)階微分方程理論得到快速發(fā)展[1-19]。在對(duì)分?jǐn)?shù)階微分方程理論研究的過(guò)程中，其邊值問(wèn)題作為重要的研究方向，很多學(xué)者對(duì)此作了研究，得到大量的研究結(jié)果[12-19]。 反周期是物理學(xué)中一種重要的現(xiàn)象，對(duì)于一個(gè)變化的物理過(guò)程，可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)反周期的數(shù)學(xué)模型。對(duì)于分?jǐn)?shù)階微分方程反周期邊值問(wèn)題，現(xiàn)在已經(jīng)有學(xué)者作了研究，得到了一些研究結(jié)果[12-14,20-21]。文獻(xiàn)[12]研究了下面一類(lèi)分?jǐn)?shù)階微分方程反周期邊值問(wèn)題解的存在性

(1)

式中CDq為q階Caputo分?jǐn)?shù)階微分，f為給定的連續(xù)函數(shù)。文獻(xiàn)[12]利用一些不動(dòng)點(diǎn)定理得到該邊值問(wèn)題(1)解的存在性結(jié)論。

在血液流動(dòng)、流變學(xué)和材料科學(xué)等許多科學(xué)領(lǐng)域，出現(xiàn)了帶有p-Laplace算子的分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)學(xué)模型，因此，對(duì)于帶有p-Laplace算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題解的存在性，很多學(xué)者進(jìn)行了研究并取得大量研究結(jié)果[13-14,17-18]。文獻(xiàn)[17]研究了下面一類(lèi)帶有p-Laplace算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題解的存在性

(2)

式中：ai≠1，i=1, 2, 3；f∈C([0,T]×R,R)；x(t)∈C2([0, 1]，R)。利用Banach壓縮映像原理，文獻(xiàn)[17]得到該邊值問(wèn)題(2)在一定條件下解的存在性結(jié)論；在文獻(xiàn)[12]中，作者研究了不具有p-Laplace算子的分?jǐn)?shù)階微分方程反周期邊值問(wèn)題解的存在性。需要說(shuō)明的是文獻(xiàn)[17]中的邊值條件不是反周期形式。目前對(duì)具有p-Laplace算子的分?jǐn)?shù)階微分方程反周期邊值問(wèn)題解的存在性的研究不多[13-14,20-21]。受上述文獻(xiàn)啟發(fā)，本文考慮下面一類(lèi)帶有p-Laplace算子的非線性分?jǐn)?shù)階微分方程反周期邊值問(wèn)題解的存在性

(3)

1 相關(guān)定義及引理

第1章給出一些定義及相關(guān)引理，見(jiàn)文獻(xiàn)[1,17,19]。

定義1[1]令α>0，函數(shù)u:(0, +∞)→R的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

定義2[1]令α>0，函數(shù)u:(0, +∞)→R的Caputo分?jǐn)?shù)階微分定義為

式中n-1≤α

u(t)=c0+c1t+c2t2+…+cn-1tn-1,

式中ci∈R，i=1, 2, …,n-1，n=[α]+1。

引理2[1]令α>0，則

式中ci∈R，i=1, 2, …,n-1，n=[α]+1。

引理3[17]如果p>2且|x|、 |y|≤M，則對(duì)于p-Laplace算子φp，下面不等式成立

|φp(x)-φp(y)|≤ (p-1)Mp-2|x-y|。

引理4[19](Krasnosel’skiis不動(dòng)點(diǎn)定理) 設(shè)Ω為Banach空間X上的有界閉凸非空子集，算子Φ、Ψ滿足：(i)Φu+Ψv∈Ω，其中u、v∈Ω；(ii)算子Φ是緊的且連續(xù)；(iii)算子Ψ是壓縮映像，則存在z∈Ω，使得z=Φz(mì)+Ψz。

2 Green函數(shù)

第2章給出分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題(3)的Green函數(shù)。

引理5若1<α≤2，函數(shù)y∈C[0, 1]，則分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題

有唯一解

式中

即

因?yàn)?<α≤2，利用引理2可知

根據(jù)Caputo分?jǐn)?shù)階微分的性質(zhì)可得

因此，

3 解的存在性

第3章利用p-Laplace 算子的性質(zhì)、Bnanach壓縮映像原理和引理4給出分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問(wèn)題(3)解的存在性定理。

定義算子F:X→X為

求邊值問(wèn)題(3)的解的存在性轉(zhuǎn)化為求算子F是否存在不動(dòng)點(diǎn)。

定理1假設(shè)1

(H2) 存在常數(shù)L>0，使得當(dāng)t∈[0,T]時(shí)，對(duì)任意函數(shù)u、v∈X，有|f(t,u(t))-f(t,v(t))|≤L|u-v|成立；

則邊值問(wèn)題(3)存在唯一解。

證明由條件(H1)可得

因此，‖(Fu)(t)‖≤r，即F:Br→Br成立。

又因?yàn)閷?duì)任意u、v∈Br，當(dāng)t∈[0,T]時(shí)有

|(Fu)(t)-(Fv)(t)|≤

由條件(H3)可知,N<1時(shí)

‖(Fu)(t)-(Fv)(t)‖≤N‖u-v‖。

故算子F在Br內(nèi)為壓縮映射，由Banach壓縮映射原理可知，算子F在Br內(nèi)存在唯一不動(dòng)點(diǎn)，即邊值問(wèn)題(3)存在唯一解。證畢。

按徐演的說(shuō)法，這個(gè)版本本來(lái)要作為“云南民族民間文學(xué)叢書(shū)之一”出版，但因?yàn)檫@時(shí)由宣傳部領(lǐng)頭的，具體由一群學(xué)生組成的調(diào)查又已經(jīng)啟動(dòng)，所以出版暫停。徐嘉瑞甚至“拿出這份由出版社已經(jīng)打印成校樣的整理稿，以完全無(wú)私的精神，無(wú)條件地全部交給了學(xué)生們”。

定理2假設(shè)1

則邊值問(wèn)題(3)至少存在一個(gè)解。

因?yàn)閷?duì)任意u、v∈Br1，當(dāng)t∈[0,T]時(shí)有：

|(Φu)(t)+(Ψv)(t)|≤

因此，‖Φu+Ψv‖≤r1，即Φu+Ψv∈Br1。對(duì)任意u、v∈Br1，當(dāng)t∈[0,T]時(shí)有：

|(Ψu)(t)-(Ψv)(t)|≤

‖(Ψu)(t)-(Ψv)(t)‖≤N1‖u-v‖,

故算子Ψ在Br1內(nèi)為壓縮映射。

根據(jù)Φ的定義易知其連續(xù)。 因?yàn)閷?duì)任意u∈Br1，有

因此，算子Φ一致有界。 又因?yàn)閷?duì)任意t1、t2∈[0,T]，當(dāng)t1

因此，當(dāng)t2→t1時(shí)，有‖(Φu)(t2)-(Φu)(t1)‖→0，即算子Φ等度連續(xù)。由Arzela-Ascoli定理，Φ在Br1內(nèi)為緊算子，故由引理4可知邊值問(wèn)題(3)存在至少一個(gè)解。證畢。

4 例子

本章給出2個(gè)例子驗(yàn)證本文得到的結(jié)論。

例1 證明下面一類(lèi)分?jǐn)?shù)階微分方程反周期邊值問(wèn)題解的存在性

(4)

又因?yàn)?/p>

由定理1可知，邊值問(wèn)題(4)存在唯一一個(gè)解。證畢。

例2 證明下面一類(lèi)分?jǐn)?shù)階微分方程反周期邊值問(wèn)題解的存在性

(5)

由定理2可知，邊值問(wèn)題(5)至少存在一個(gè)解。