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    覆蓋Gorenstein AC-平坦維數(shù)

    2020-11-30 09:07:04東,
    關(guān)鍵詞:內(nèi)射模充分條件維數(shù)

    陳 東, 胡 葵

    (1. 成都大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 四川 成都 610106; 2. 西南科技大學(xué) 理學(xué)院, 四川 綿陽 621010)

    近年來, 許多學(xué)者研究了Gorenstein平坦模類的擴(kuò)張封閉性。2009年,Bennis[1]稱Gorenstein平坦模類關(guān)于擴(kuò)張封閉的環(huán)為GF-閉環(huán),同時(shí)證明了若R是GF-閉環(huán),則Gorenstein平坦模類是投射可解的。特別地,凝聚環(huán)、弱整體維數(shù)有限的環(huán)類都是GF-閉環(huán)。2015年,Bouchiba[2]引入了模的覆蓋Gorenstein平坦維數(shù),證明了對任意R-模M,若M的覆蓋Gorenstein平坦維數(shù)等于Gorenstein平坦維數(shù),則R也是GF-閉環(huán)。

    作為GF-閉環(huán)的應(yīng)用,文獻(xiàn)[3]研究了Gorenstein-平坦模類的穩(wěn)定性,證明了GF-閉環(huán)上Gorenstein-平坦模類都具有穩(wěn)定性。用GF2(R)(或GF(2)(R)) 表示滿足以下條件的模M構(gòu)成的類,如果存在Gorenstein-平坦模Gi、Gi的正合列

    …→G1→G0→G0→G1→…

    使得M?Ker(G0→G0),且對每個(gè)Gorenstein內(nèi)射模 (或內(nèi)射模)I,函子I?-使上述正合列保持正合。若上述模類滿足:GF(R)=GF2(R)=GF(2)(R),則稱Gorenstein-平坦模類是穩(wěn)定的。

    2018年,Bravo等[4]引入了GorensteinAC-平坦模。稱R-模M為GorensteinAC-坦模,若存在平坦模Fi、Fi的正合列

    …→F1→F0→F0→F1→…

    受以上思想啟發(fā),本文定義了模的覆蓋GorensteinAC-平坦維數(shù),討論了覆蓋GorensteinAC-平坦維數(shù)與余純平坦維數(shù)、GorensteinAC-平坦維數(shù)和平坦維數(shù)之間的關(guān)系,給出了覆蓋GorensteinAC-平坦維數(shù)等于GorensteinAC-坦維數(shù)的一個(gè)充分條件,由此證明了在此條件下GorensteinAC-平坦模類關(guān)于擴(kuò)張封閉(投射可解),進(jìn)而GorensteinAC-平坦模類具有穩(wěn)定性,完善了文獻(xiàn)[4]中對GorensteinAC-平坦模性質(zhì)的討論。值得注意的是,文獻(xiàn)[14]證明了若R是GFAC閉環(huán),則GorensteinAC-平坦模類具有穩(wěn)定性,但沒有給出具體的環(huán)類。本文給出GFAC閉環(huán)的一個(gè)充分條件,并給出GFAC閉環(huán)一些具體的環(huán)類 (如弱整體維數(shù)有限環(huán))。

    設(shè)H是R- 模類,稱H是投射可解類,如果投射模包含在H中,并且對任意X′∈H的正合列0→X″→X→X′→0,X″∈H當(dāng)且僅當(dāng)X∈H。

    為便于討論,本文所涉及的環(huán)均是有單位元的交換結(jié)合環(huán),所涉及的模均是酉模。用GF(R)表示Gorenstein-平坦模類,GFAC(R) 表示GorensteinAC-平坦模類。

    1 預(yù)備知識

    文獻(xiàn)[15]引入了GorensteinAC-內(nèi)射維數(shù),稱為Gorenstein弱內(nèi)射維數(shù)。R-模M的GorensteinAC-內(nèi)射維數(shù)定義為:GAC-idRM=inf{n∈N|存在正合列0→M→G0…→Gn-1→Gn→0,其中Gi(0≤i≤n)是GorensteinAC-平坦模}。相應(yīng)地,如下定義R-模M的GorensteinAC-平坦維數(shù)。

    定義1設(shè)M是R-模,M的GorensteinAC-平坦維數(shù)定義為

    GAC-fdRM=inf{n∈N| 存在正合列0→Fn→Fn-1…→F0→M→0,其中Fi(0≤i≤n)是GorensteinAC-平坦模}。

    由定義,當(dāng)GAC-fdRM=0 時(shí),M是GorensteinAC-平坦模;當(dāng)GAC-idRM=0 時(shí),M是GorensteinAC-內(nèi)射模。容易看到,{平坦模}?{GorensteinAC-平坦模}?{Gorenstein平坦模},即GorensteinAC-平坦模類是介于平坦模類和Gorenstein平坦模類之間的一種模類。

    現(xiàn)定義模M的覆蓋GorensteinAC-平坦維數(shù)。

    定義2設(shè)M是R-模,n是非負(fù)整數(shù),R-模M的覆蓋GorensteinAC-平坦維數(shù)定義為CGAC-fdRM=inf{n| 存在R-模的正合列0→M→F→G→0,其中fdRF=n,G是GorensteinAC-平坦模}。如果上述集合為空集,則規(guī)定CGAC-fdRM=∞。

    命題1設(shè)M是GorensteinAC-坦模,則M+是GorensteinAC-內(nèi)射模;若R是凝聚環(huán),則反之也成立。

    證明設(shè)M是GorensteinAC-平坦模,則存在平坦模Fi、Fi的正合列

    F=…→F1→F0→F0→F1→…

    使得M?Ker(F0→F0),且對任意絕對純模I,I?F是正合的。于是又有

    (I?F)+=…→(I?F1)+→(I?F0)+→(I?F0)+→(I?F1)+→…

    是正合的。由于(Fi)+、(Fi)+是內(nèi)射模,從而有

    F+=…→(F1)+→(F0)+→(F0)+→(F1)+→…

    是內(nèi)射模的正合列,且M+?Ker((F0)+→(F0)+)。另一方面,由相伴同構(gòu)定理,有

    …→HomR(I,(F1)+)→HomR(I,(F0)+)→HomR(I,(F0)+)→HomR(I,(F1)+)→…

    是正合的。因此,M+是GorensteinAC-內(nèi)射模。

    反之,設(shè)M+是GorensteinAC-內(nèi)射模,從而也是Gorenstein內(nèi)射模。由于R是凝聚環(huán),由文獻(xiàn)[16]定理3.6知,M是GorensteinAC-平坦模。證畢。

    2 主要結(jié)果及證明

    命題2①設(shè)M是R-模,則cfdRM≤G-idRM+≤GAC-idRM+≤GAC-fdRM≤CGAC-fdRM≤fdRM;

    ②若CGAC-fdRM<∞,則cfdRM=G-idRM+=GAC-idRM+=GAC-fdRM=CGAC-fdRM。

    由于GorensteinAC-內(nèi)射模類是Gorenstein內(nèi)射模類,因此,又有:G-idRM+≤GAC-idRM+。另一方面,由命題1知,若M是GorensteinAC-平坦模,則M+是GorensteinAC-內(nèi)射模,故又有GAC-idRM+≤GAC-fdRM。

    現(xiàn)設(shè)CGAC-fdRM=n,由定義2知,存在正合列0→M→F→G→0, 其中fdRF=n,G是GorensteinAC-平坦模??紤]以下行為正合列的交換圖

    其中第1列和第3列分別是M和G的部分投射分解,Pi和P′i(0≤i≤n-1) 是投射模。由文獻(xiàn)[4]中引理4.4(3) 知,G′是GorensteinAC-平坦模。由于fdRF=n,故F′ 是平坦模。對第1行正合列,由于G′是GorensteinAC-平坦模,F(xiàn)′是平坦模,故由文獻(xiàn)[4]中引理 4.4(3)知,M′是GorensteinAC-平坦模,于是,由第1列知,GAC-fdRM≤n。

    若設(shè)fdRM=n??紤]正合列0→M→M→0, 由定義2知,CGAC-fdRM≤fdRM。

    對于一般環(huán),無法證明GorensteinAC-平坦模類關(guān)于擴(kuò)張封閉,但可以證明存在如下關(guān)系。

    命題3設(shè)0→A→B→C→0 是正合列,若A、C是GorensteinAC-平坦模,則GAC-fdRB≤1。

    證明由于C是GorensteinAC-平坦模,由文獻(xiàn)[4]中定義4.1知,存在正合列0→G→F→C→0, 其中F是平坦模,G是GorensteinAC-平坦模。考慮以下正合列的交換圖

    由于A是GorensteinAC-平坦模,由文獻(xiàn)[4]中引理4.4知,存在正合列:0→A→P→H→0,其中P是平坦模,H是GorensteinAC-平坦模。于是,又有以下正合列的交換圖

    對正合列0→P→L→F→0,由于P、F是平坦模,故L也是平坦模。由文獻(xiàn)[4]中引理4.4知G′是GorensteinAC-平坦模。于是,對正合列0→G→G′→B→0, 由于G、G′是GorensteinAC-平坦模,故GAC-fdRB≤1。證畢。

    文獻(xiàn)[1]稱Gorenstein平坦模類封閉的環(huán)為GF-閉環(huán),文獻(xiàn)[2]引入覆蓋Gorenstein平坦維數(shù),給出了GF-閉環(huán)的一個(gè)充分條件。本文稱GorensteinAC-平坦模類封閉的環(huán)為GFAC-閉環(huán),同時(shí)用覆蓋Gorenstein平坦維數(shù),給出環(huán)R是GFAC-閉環(huán)的一個(gè)充分條件。

    定理1設(shè)R是環(huán),若對任意R-模M,都有CGAC-fdRM=GAC-fdRM,則R是GFAC-閉環(huán)。

    證明設(shè)0→A→B→C→0 是正合列,其中A、C是GorensteinAC-平坦模。由命題3知,GAC-fdRB≤1<∞。故由命題2知,GAC-idRB+=GAC-fdRB。另一方面,又存在正合列0→C+→B+→A+→0,其中A+、C+是GorensteinAC-內(nèi)射模,故由文獻(xiàn)[15]中命題2.11知B+也是GorensteinAC-內(nèi)射模,因此,由上述關(guān)系有GAC-idRB+=GAC-fdRB=0,從而B是GorensteinAC-平坦模。證畢。

    …→G1→G0→G0→G1→…

    由定理1,容易得到以下2個(gè)推論。

    推論1[4]設(shè)R是環(huán),若對任意R-模M,都有CGAC-fdRM=GAC-fdRM,則GorensteinAC-平坦模類關(guān)于正向極限封閉,此時(shí),每個(gè)R-模有GorensteinAC-平坦蓋。

    推論2[4]設(shè)R是環(huán),若對任意R-模M,都有CGAC-fdRM=GAC-fdRM,則 (GFAC(R),GFAC(R)⊥)是完備的遺傳余撓理論。

    定理2[3]若R是GFAC-閉環(huán),則GorensteinAC-平坦模類是穩(wěn)定的。

    由定理2,容易得到以下推論3。

    推論3[14]設(shè)R是環(huán),若對任意R-模M,均有CGAC-fdRM=GAC-fdRM,則GorensteinAC-平坦模類是穩(wěn)定的。

    當(dāng)R是凝聚環(huán)時(shí),{GorensteinAC-平坦模}={Gorenstein平坦模},此時(shí)R是GF-閉環(huán),因而有:設(shè)R是凝聚環(huán),則GorensteinAC-平坦模類是穩(wěn)定的。此結(jié)論是文獻(xiàn)[3]的一個(gè)結(jié)果。

    由命題2,對任意R-模M,若fdRM<∞,則GAC-fdRM=CGAC-fdRM,故R是GF-閉環(huán)。于是又有:設(shè)R是環(huán),且w.gl.dim(R)<∞,則GorensteinAC-平坦模類是穩(wěn)定的。

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