基于模糊滑模控制算法的欠驅(qū)動(dòng)控制器研究*

羅文輝，張憲文，徐進(jìn)釗，邱光繁，楊達(dá)明，張建民，王天雷※

（1.五邑大學(xué)智能制造學(xué)部，廣東江門 529000；2.江門市蒙德電氣股份有限公司，廣東江門 529000；3.恩平市奧達(dá)電子科技有限公司，廣東江門 529030）

0 引言

橋式吊車是一種十分常見的裝配運(yùn)輸工具，由于具有負(fù)載能力強(qiáng)、適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，在港口、倉(cāng)庫、建筑工地等場(chǎng)所得到了廣泛的應(yīng)用。但在實(shí)際運(yùn)行過程中，其性能受負(fù)載擺動(dòng)的限制，不利于工業(yè)安全和降低吊車系統(tǒng)的工作效率。因此，使橋吊小車能快速定位并有效地消除吊具搖擺是控制領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問題之一。唐超等[1]提出了一種基于線性自抗擾控制和控制器參數(shù)優(yōu)化的欠驅(qū)動(dòng)橋式吊車控制策略，該方法不需要對(duì)吊車模型進(jìn)行任何近似解耦或線性化處理，允許模型存在一定的不確定性并且考慮了系統(tǒng)所受的摩檫力與空氣阻力等干擾。Ayhan 等[2]針對(duì)一種具有時(shí)變參數(shù)的橋式吊車，為了實(shí)現(xiàn)最小搖擺角的位置跟蹤，采用了增益調(diào)度控制方法，將載荷質(zhì)量、繩長(zhǎng)等時(shí)變參數(shù)作為調(diào)度參數(shù)，然后利用線性矩陣不等式設(shè)計(jì)了LQR 控制器。然而，這些基于線性化起重機(jī)動(dòng)力學(xué)的方法可能會(huì)失去足夠的位置和負(fù)載擺動(dòng)信息的準(zhǔn)確性，從而導(dǎo)致一些不確定的因素降低這些起重機(jī)的控制性能。

隨著非線性控制技術(shù)的發(fā)展，許多基于橋式吊車系統(tǒng)的非線性控制方法被提出，如滑?？刂芠3-4]、最優(yōu)控制[5-6]、耦合控制[7-8]、模糊控制[9-10]。其中最為典型的是滑?？刂?，其是一種魯棒非線性反饋控制方法，具有響應(yīng)速度快、不受系統(tǒng)參數(shù)和外界干擾影響的特點(diǎn)，是解決橋式吊車控制問題的良好工具。近年來，針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)滑?？刂破?，國(guó)內(nèi)外學(xué)者展開了大量的研究工作。 Lin 等[11]設(shè)計(jì)出了一種具有雙層滑模面的控制器，并且采用模糊系統(tǒng)來調(diào)節(jié)第二層滑模面的系數(shù)，雖然加強(qiáng)了系統(tǒng)的魯棒性，但使得整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性證明變得復(fù)雜。Lo 等[12]同樣也設(shè)計(jì)出了一種具有聚合式分層遞階結(jié)構(gòu)的滑模控制器，但是在理論上對(duì)于該控制器的穩(wěn)定性并沒有給出嚴(yán)密的證明，并且也沒有討論子滑模面上的各個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)的收斂性。因此，針對(duì)基于聚合式分層遞階結(jié)構(gòu)的滑模控制器，雖然已經(jīng)展開了一定的研究工作，但是對(duì)于系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方面都存在著難于嚴(yán)格證明的問題。

針對(duì)文獻(xiàn)[11-12]中存在的穩(wěn)定性問題，王偉等[13]提出了一種欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的新型滑?？刂品椒?。該方法將系統(tǒng)狀態(tài)變量線性組合來引入中間變量，然后利用中間變量定義滑動(dòng)面， 通過計(jì)算總的控制量保證在有限時(shí)間內(nèi)，中間變量能夠收斂到平衡點(diǎn)，隨后進(jìn)一步利用LaSalle 不變性原理證明該收斂域內(nèi)只有一個(gè)平衡點(diǎn)且是漸近穩(wěn)定的。該方法很好地解決了上述穩(wěn)定性問題，但是對(duì)于抖振抑制考慮卻不太充分。

針對(duì)文獻(xiàn)[13]提出的新型滑?？刂品椒ㄒ约按嬖诘亩墩駟栴}，本文提出了一種將滑?？刂品椒ㄅc模糊調(diào)節(jié)器相結(jié)合的橋式吊車防擺控制方法。通過將系統(tǒng)狀態(tài)分為兩組來引入中間變量，然后根據(jù)中間變量定義滑動(dòng)面，利用Lyapunonv直接法推導(dǎo)出系統(tǒng)的控制率，使滑模面漸進(jìn)穩(wěn)定，然后針對(duì)滑?？蛇_(dá)性與控制器增益之間的關(guān)系，設(shè)計(jì)了模糊接口系統(tǒng)來調(diào)節(jié)控制器增益。與傳統(tǒng)離散滑模控制進(jìn)行仿真對(duì)比分析，仿真結(jié)果表明了該方法的可行性與有效性。

1 橋式吊車系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型

橋式吊車動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示。負(fù)載通過吊繩與臺(tái)車相連，臺(tái)車在水平力F驅(qū)動(dòng)下在橋架上沿x方向運(yùn)動(dòng)，并受到摩檫力f的干擾，在運(yùn)動(dòng)過程中，臺(tái)車的運(yùn)動(dòng)會(huì)引起負(fù)載的擺動(dòng)。

圖1 橋式吊車動(dòng)力學(xué)模型

其中M為臺(tái)車質(zhì)量，m為負(fù)載質(zhì)量，l為吊繩長(zhǎng)度，θ為擺動(dòng)角度的大小，fr、ε、kr∈R+未知系統(tǒng)參數(shù)。在不失一般性前提下，做如下合理假設(shè)：（1）相對(duì)于吊物質(zhì)量，吊繩的質(zhì)量可以忽略不計(jì)；（2）吊繩的彈性形變忽略不計(jì)；（3）空氣阻力忽略不計(jì)。

利用拉格朗日方程得到如下橋式吊車動(dòng)力學(xué)模型：

在這里g 為重力加速度，f 為臺(tái)車與軌道之間的摩檫力，采用如下模型進(jìn)行描述[14]：

選擇狀態(tài)變量

狀態(tài)方程可進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

其中， fi，bi，ci定義具體如下：

2 模糊滑模控制器設(shè)計(jì)

2.1 滑?？刂破?/h3>

對(duì)于橋式吊車系統(tǒng)，控制目標(biāo)是在充分抑制并消除整個(gè)過程中負(fù)載的擺動(dòng)基礎(chǔ)上使臺(tái)車精確、快速地到達(dá)目標(biāo)位置xd處。因此，本文采用了一種將模糊調(diào)節(jié)器與滑?？刂葡嘟Y(jié)合的橋式吊車控制方法。首先，根據(jù)橋式吊車系統(tǒng)物理本質(zhì)，將狀態(tài)變量分為兩組，第一組（x1x3）、第二組（x2x4），再將第一組轉(zhuǎn)化為（e1e2），其中e1=x-xd，e2=θ-θd。xd為臺(tái)車到達(dá)的目標(biāo)值，θd為擺角的目標(biāo)值，定義中間變量z為e1，e2兩種狀態(tài)誤差的線性組合，如式（5）所示，設(shè)置狀態(tài)位置誤差e1、擺角誤差e2，定義中間變量z為e1，e2兩種狀態(tài)誤差的線性組合：

這里，c為正數(shù)。進(jìn)一步，將滑?？刂频幕Ｃ娑x為：

在設(shè)計(jì)滑?？刂坡蓵r(shí)，采用等效滑?？刂频姆椒?，因此，將組合滑?？刂坡啥x為：

先不考慮摩擦力，取s˙=0 ，將（4）～（5）代入得：

為了保證滑模到達(dá)條件成立，設(shè)計(jì)切換控制如下：

2.2 模糊規(guī)則

根據(jù)系統(tǒng)方程式（4）可知，當(dāng)干擾f 存在時(shí)，由式（9）可知，為保證系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)在有限時(shí)間到達(dá)滑模面，增益k的值須足以消除外界干擾等不確定項(xiàng)的影響，才能確?；４嬖跅l件ss˙＜0 。因此，如果干擾f是時(shí)刻變化的，為了削弱抖振的影響，k也應(yīng)該時(shí)刻變化?；谏鲜鏊枷耄梢栽O(shè)計(jì)一維模糊控制器，其根據(jù)ss˙的大小來實(shí)時(shí)地調(diào)整k 的大小。定義模糊邏輯調(diào)節(jié)增益k為：

模糊控制器的輸入變量為ss˙，輸出變量為Δk，描述輸入和輸出變量的語言值的模糊子集為：

式中：PB 為正大；PM 為正中；ZO 為 0；NM 為負(fù)中；NB 為負(fù)大。

圖2所示為模糊系統(tǒng)的輸入、輸出隸屬函數(shù)。

設(shè)計(jì)的模糊規(guī)則如下：

圖2 ss˙和Δk的隸屬度函數(shù)圖

2.3 穩(wěn)定性分析

定理：對(duì)于式（4） 所示的橋式吊車系統(tǒng)，按照（5）～（6）的方式通過引入中間變量定義滑模面。最后得到的控制量如（7）所示，如果控制器參數(shù)滿足c＞0，α＞0，則各系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)定性可得到保證。

證明：對(duì)于滑模面s采用李雅普諾夫函數(shù)：

則其導(dǎo)數(shù)為：

式（12）表明，所提出的控制器的輸入滿足滑模條件ss˙＜0，保證了在有限時(shí)間內(nèi)各狀態(tài)量都將到達(dá)切換面s=0。

3 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

為了驗(yàn)證本文提出的滑模控制與模糊調(diào)節(jié)器相結(jié)合的有效性，在Matlab Simulink環(huán)境下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。圖1中橋式吊車系統(tǒng)參數(shù)的值分別為M=7，m=3，l=0.8，fr=4.4，erx=0.01，krx=-0.5，重力加速度g 為9.8，x 的目標(biāo)值xd=2，θ的目標(biāo)值θd=0。

對(duì)于橋式吊車系統(tǒng)，分別采用普通滑?？刂?、模糊滑?？刂茖?duì)系統(tǒng)的防擺定位控制進(jìn)行仿真及對(duì)比分析，所設(shè)置的控制系統(tǒng)參數(shù)為a=1.15，c=8，η=1.3，k0=7。模糊調(diào)節(jié)器的參數(shù)分別為輸入調(diào)節(jié)因子為0.7，輸出調(diào)節(jié)因子為10。相同條件下2種滑模控制防擺定位效果如圖3所示。

圖3 兩種滑?？刂品罃[定位控制效果

由圖3可看出，2種滑?？刂品椒ǘ紝?shí)現(xiàn)了臺(tái)車精確、快速地到達(dá)目標(biāo)位置xd處，即位移從0 m 到2 m。圖3（a）～（b）表明，模糊滑模控制對(duì)抖振抑制的效果明顯優(yōu)于普通滑?？刂?，抖振振幅被大幅度限制，控制輸出在20 s 左右趨于0，表明了所提出的方法在減弱抖振方面的有效性。圖3（c）表明了基于模糊滑?？刂破鞯呐_(tái)車位移響應(yīng)速度快于普通滑?？刂?，大概6 s即可到達(dá)指定位置。圖3（d）表明了普通滑?？刂茖?duì)抑制擺線角度效果較好，在振幅方面，兩種方法控制擺角都在1.6°之內(nèi)，然而在控制響應(yīng)時(shí)間方面，普通滑?？刂坡詢?yōu)于模糊滑?？刂?，控制響應(yīng)時(shí)間約為11 s。

采用模糊滑?？刂扑惴?，吊車負(fù)載質(zhì)量m從3 kg變?yōu)?.7 kg，對(duì)橋式吊車系統(tǒng)進(jìn)行控制仿真，仿真效果圖如圖4所示。

圖4（a）表明負(fù)載質(zhì)量減小時(shí)，抖振抑制效果略有加強(qiáng)。由圖4（b）～（c）可看出，改變負(fù)載質(zhì)量m，防擺控制效差異不大，這有效地說明了本文提出的新型模糊滑?？刂品椒己玫聂敯粜?。

圖4 不同負(fù)載質(zhì)量防擺定位控制效果

4 結(jié)束語

本文提出了一種橋式吊車系統(tǒng)的滑模設(shè)計(jì)方法。通過設(shè)計(jì)一個(gè)模糊接口系統(tǒng)調(diào)節(jié)組合滑?？刂破鞯脑鲆妫行Ы档土饲袚Q增益，解決了普通滑模的抖振問題。同時(shí)這里采用了新的滑模面，通過研究橋式吊車系統(tǒng)的物理特性后，引入一個(gè)中間變量，即系統(tǒng)狀態(tài)的一部分的線性組合，然后在中間變量的基礎(chǔ)上，定義了滑動(dòng)面，利用李雅普諾夫方法推導(dǎo)了滑動(dòng)面控制律。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了理論分析的正確性和所設(shè)計(jì)的控制器的合理性。