一種新型兩自由度永磁電機動力學(xué)模型*

賈鵬志，張永順

（大連理工大學(xué)精密與特種加工教育部重點實驗室，遼寧大連 116024）

0 引言

在航空航天以及醫(yī)學(xué)工程等領(lǐng)域中，對可實現(xiàn)多自由度運動的高集成機器人手腕關(guān)節(jié)裝置的需求與日俱增。傳統(tǒng)上，多自由度手腕關(guān)節(jié)通常是由多個單自由度關(guān)節(jié)串聯(lián)而成，通過協(xié)調(diào)各關(guān)節(jié)多臺電機的轉(zhuǎn)動來合成多自由度手腕關(guān)節(jié)的側(cè)擺、俯仰和自轉(zhuǎn)三自由度運動。該類型手腕存在機械結(jié)構(gòu)復(fù)雜、不緊湊、運動不解耦、傳動精度低、柔順與變剛度控制困難等缺點[1]。針對上述問題，研究者渴望能夠開發(fā)直接實現(xiàn)多自由度驅(qū)動的緊湊電機裝置，以提高多自由度機器人手腕裝置的綜合性能，尤其是消除電機與減速器構(gòu)成驅(qū)動單元的反向自鎖特性，希望能夠便利地實現(xiàn)柔順與變剛度控制。隨著稀土永磁材料的不斷發(fā)展，結(jié)合球形電機結(jié)構(gòu)在多維運動方面的優(yōu)越性，多自由度永磁式球形電動機已經(jīng)成為國內(nèi)外研究熱點[2]。

英國學(xué)者威廉姆斯和萊斯維[3]設(shè)計了一種兩自由度球形電機；美國喬治亞大學(xué)的Kok-meng Lee等[4-5]基于變磁阻的思想設(shè)計了一種感應(yīng)電機，并進行了一系列的后續(xù)研究；新加坡南洋理工大學(xué)的學(xué)者[6-7]研究了一種直流球形永磁電機。

中國多自由度永磁電機的研究工作始于20世紀80年代后期，雖然相對較晚，但也取得了一些具有一定影響的研究成果。如合肥工業(yè)大學(xué)的王群京等[8]提出了一種步進式永磁球形電機；天津大學(xué)[9-10]將海爾貝克陣列性質(zhì)的永磁體引入到球形電機設(shè)計，所研制的直流永磁球形電機包含海爾貝克陣列永磁體以及三層定子線圈；北京航空航天大學(xué)[11]聯(lián)合研制了一種新型球形電機，包含8個永磁體磁極以及24個定子線圈。

迄今為止，多自由度永磁球形電機大多采用多磁極轉(zhuǎn)子和多層線圈陣列定子類型基本結(jié)構(gòu)。大量的永磁體磁極以及定子線圈所帶來的問題便是電機內(nèi)部的三維磁場環(huán)境越發(fā)復(fù)雜，精確控制難度大。多自由度永磁電機的理論和技術(shù)尚處在探索中，離實際應(yīng)用還有一定的距離。

大連理工大學(xué)膠囊機器人課題組[12]研制了雙半球欠驅(qū)動膠囊機器人，通過嵌入主動半球內(nèi)的徑向磁化永磁體與空間旋轉(zhuǎn)磁場對的旋轉(zhuǎn)軸線的隨動效應(yīng)（即雙半球欠驅(qū)動膠囊機器人的軸線會追隨空間旋轉(zhuǎn)磁場的旋轉(zhuǎn)軸線轉(zhuǎn)動并最終與其基本重合的物理現(xiàn)象）來控制機器人軸線繞定點擺動并可于任意方向懸停。受此啟發(fā)，本文將膠囊機器人軸線隨動原理應(yīng)用于永磁球形電機驅(qū)動原理，實現(xiàn)了一種新型兩自由度永磁電機的結(jié)構(gòu)設(shè)計與理論仿真，結(jié)果表明原理切實可行。

1 電機基本結(jié)構(gòu)

兩自由度永磁電機的設(shè)計主要是通過一個電機裝置完成側(cè)擺、俯仰兩個運動的輸出。原理上應(yīng)用了永磁體在旋轉(zhuǎn)磁場中的隨動效應(yīng)[13]；結(jié)構(gòu)上利用2 個十字萬向節(jié)結(jié)構(gòu)替代了球面結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)兩自由度運動的同時，避免了復(fù)雜球面的存在。

新型永磁電機的整體結(jié)構(gòu)如圖1 所示，大體可分為兩個部分。第一部分為定子部分，即三軸正交的亥姆霍茲線圈組；第二部分為轉(zhuǎn)子隨動部分，包括內(nèi)部十字萬向節(jié)（內(nèi)安裝有轉(zhuǎn)子永磁體）、外部萬向節(jié)（安裝有制動機構(gòu)、阻尼機構(gòu)、測量機構(gòu)等）以及機架。

圖1 兩自由度電機整體結(jié)構(gòu)示意圖

1.1 亥姆霍茲線圈組

定子部分由3 組相互正交的亥姆霍茲線圈組成，亥姆霍茲線圈組中各線圈相對位置如圖1所示，3對線圈軸線相互垂直且交于一點。作用是為轉(zhuǎn)子永磁體提供萬向旋轉(zhuǎn)磁場，空間萬向旋轉(zhuǎn)磁場旋轉(zhuǎn)軸線的方位與旋轉(zhuǎn)方向是通過通入3組線圈電流反相位疊加原理實現(xiàn)的[14]。

1.2 轉(zhuǎn)子隨動部分

轉(zhuǎn)子隨動部分如圖2所示，主要包括內(nèi)部十字萬向節(jié)、外部萬向節(jié)及機架。內(nèi)部十字萬向節(jié)與外部萬向節(jié)安裝于機架上，顯著特征是內(nèi)部十字萬向節(jié)和外部萬向節(jié)的轉(zhuǎn)動中心相同，并通過連接桿連接外部萬向節(jié)和內(nèi)部萬向節(jié)的輸出軸構(gòu)成電機轉(zhuǎn)動軸線，實現(xiàn)電機轉(zhuǎn)動軸線即連桿軸線繞旋轉(zhuǎn)中線的定點旋轉(zhuǎn)運動，實現(xiàn)了電機隨動部分的定點隨動。外部萬向節(jié)的運動可實現(xiàn)檢測與控制，內(nèi)部萬向節(jié)處于自由狀態(tài)，進而可以實現(xiàn)電機轉(zhuǎn)動軸線方位的控制。下面介紹外部萬向節(jié)運動的檢測與控制。

1.2.1 外部萬向節(jié)

如圖3 所示，外部萬向節(jié)主要包括內(nèi)環(huán)和外環(huán)兩部分，上方有一通用輸出端接口。同時，還包括阻尼器、制動器、編碼器，這些器件主要為了實現(xiàn)外部萬向節(jié)的運動控制，并安裝于外部萬向節(jié)。內(nèi)環(huán)為整體的環(huán)形結(jié)構(gòu)，外環(huán)為半環(huán)形結(jié)構(gòu)。

外部萬向節(jié)內(nèi)外環(huán)之間通過軸連接，軸與外環(huán)通過鍵連接，與內(nèi)環(huán)通過法蘭軸承連接，軸會隨外環(huán)轉(zhuǎn)動。內(nèi)環(huán)與機架之間同樣由軸連接，軸與機架之間通過法蘭軸承連接，與內(nèi)環(huán)通過鍵連接，軸隨萬向節(jié)內(nèi)環(huán)轉(zhuǎn)動。此種連接方式也為阻尼器、編碼器及制動器的安裝提供了方便。

外部萬向節(jié)一方面可在電機工作時承受負載，另一方面也為制動機構(gòu)、阻尼機構(gòu)及測量機構(gòu)的安裝提供了額外的空間，避免了由于線圈組而導(dǎo)致的安裝空間不足的問題。

圖2 轉(zhuǎn)子隨動部分

（1）制動機構(gòu)

制動機構(gòu)為電磁制動器，如圖3 所示安裝于外部萬向節(jié)兩旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)處，實現(xiàn)對兩個自由度的鎖定。當電機靜止時，電磁制動器實現(xiàn)對外部萬向節(jié)的鎖定，以固定轉(zhuǎn)子部分方位；當電機旋轉(zhuǎn)時，電磁制動器解除對萬向節(jié)的鎖定，以實現(xiàn)轉(zhuǎn)子部分與萬向旋轉(zhuǎn)磁場的隨動，即實現(xiàn)側(cè)擺與俯仰轉(zhuǎn)動的驅(qū)動。

圖3 外部萬向節(jié)

（2）阻尼機構(gòu)

阻尼機構(gòu)由2個阻尼器構(gòu)成，如圖3所示安裝于外部萬向節(jié)兩旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)處，在電機進行俯仰、側(cè)擺運動時提供阻尼，以便減緩側(cè)擺與俯仰姿態(tài)調(diào)整時的振動。

（3）測量機構(gòu)

測量機構(gòu)選取2個絕對編碼器，如圖3所示安裝于外部萬向節(jié)兩旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)處，實現(xiàn)對側(cè)擺與俯仰轉(zhuǎn)動2個角度的實時測量，并傳輸給控制系統(tǒng)，以實現(xiàn)對側(cè)擺與俯仰角度轉(zhuǎn)動的準確控制。

1.2.2 內(nèi)部十字萬向節(jié)

內(nèi)部十字萬向節(jié)結(jié)構(gòu)如圖4 所示，柱形殼體通過軸承安裝于內(nèi)部萬向節(jié)環(huán)形部分上，兩者共同組成一個十字萬向節(jié)。十字萬向節(jié)通過軸承安裝于機架上。中心的柱形殼體可進行側(cè)擺俯仰兩個自由度的運動。永磁體通過軸承安裝于十字萬向節(jié)的柱形殼體內(nèi)部，可進行自轉(zhuǎn)。柱形殼體分為兩部分，通過螺釘連接。柱形殼體上方安裝有連接桿，兩者通過螺釘固定，連接桿的另一端穿過外部萬向節(jié)外環(huán)，如圖2所示。

圖4 內(nèi)部十字萬向節(jié)部分

內(nèi)部萬向節(jié)的作用是在耦合磁力矩的驅(qū)動下實現(xiàn)永磁體側(cè)擺與俯仰自由轉(zhuǎn)動，并靈活地實現(xiàn)與萬向旋轉(zhuǎn)磁場的隨動，同時為永磁體提供支撐。

2 電機工作原理

電機斷電時，如圖2 所示，制動器對外部萬向節(jié)鎖定，無法進行側(cè)擺俯仰運動。電機通電工作時的步驟如下：

第一步，根據(jù)目標位置確定空間萬向旋轉(zhuǎn)磁場的軸線方向，結(jié)合圖1中三軸亥姆霍茲線圈組的結(jié)構(gòu)及磁場強度確定線圈組所需通入的電流；

第二步，向線圈組內(nèi)施加相應(yīng)電流，產(chǎn)生相應(yīng)的空間旋轉(zhuǎn)磁場，圖4 中永磁體在旋轉(zhuǎn)磁場的作用下開始進行自轉(zhuǎn)，但由于制動器對萬向節(jié)兩自由度的鎖定無法進行側(cè)擺、俯仰運動；

第三步，制動器通電取消對萬向節(jié)的鎖定，在隨動效應(yīng)下，永磁體軸線追隨旋轉(zhuǎn)磁場軸線進行側(cè)擺、俯仰運動，同時帶動雙萬向節(jié)同步運動；

第四步，通過圖3 中編碼器實時反饋位置信息，根據(jù)反饋信息，進行進一步地控制、調(diào)整；

第五步，重復(fù)第四步，當反饋信息顯示達到目標位置并穩(wěn)定或在目標位置以極小幅度振動，制動器斷電再次對萬向節(jié)鎖定，固定電機方位，線圈斷電，電機到達且固定于指定位置。

3 電機動力學(xué)模型建立及仿真

3.1 建立坐標系

如圖5 所示，Ox0y0z0為固定坐標系，其3 條軸線分別與亥姆霍茲線圈組的3條軸線重合，且Oy0軸與外部萬向節(jié)內(nèi)環(huán)旋轉(zhuǎn)軸線重合。賴柴坐標系初始時與固定坐標系Ox0y0z0重合，首先固定坐標系先繞Oy0旋轉(zhuǎn)α角度，得到中間坐標系Ox1y0z′，再將中間坐 標 系 Ox1y0z′繞 Ox1軸 旋轉(zhuǎn)β角度，得到賴柴系Ox1y1z1。

永磁體軸線始終與賴柴系的Oz1軸重合，隨賴柴系擺動且以角速度ω繞Oz1軸旋轉(zhuǎn)。坐標變換中的兩個角度α、β剛好與外部萬向節(jié)內(nèi)環(huán)同機架之間的相對轉(zhuǎn)角、外部萬向節(jié)內(nèi)外環(huán)相對轉(zhuǎn)角一致，直接對應(yīng)永磁體的側(cè)擺，俯仰角度可由編碼器直接測出。

圖5 賴柴系與固定坐標系關(guān)系

3.2 仿真分析

利用拉格朗日方程建立電機動力學(xué)模型后，通過Matlab/Simulink數(shù)值法計算姿態(tài)角α、β的動力學(xué)特性。假定電機本身無重力矩影響且所加負載視為質(zhì)點，電機動力學(xué)方程如下：

式中：α，β為2 個姿態(tài)角；Jx、Jy、Jz分別為隨轉(zhuǎn)子永磁體側(cè)擺俯仰運動部分結(jié)構(gòu)（包括永磁體，不包括外部萬向節(jié)內(nèi)環(huán)）繞賴柴系Ox1軸、Oy1軸、Oz1軸的轉(zhuǎn)動慣量；J1為永磁體繞賴柴系Oz1軸轉(zhuǎn)動慣量；Jy0為外部萬向節(jié)內(nèi)環(huán)與內(nèi)部十字萬向節(jié)環(huán)形部分繞Oy0軸轉(zhuǎn)動慣量；My0、Mx1為Oy0軸與Ox1軸上的外力矩。

系統(tǒng)仿真參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)仿真參數(shù)

當假定負載質(zhì)量m=0.1 kg，且固定于電機輸出端時，分別觀察磁矢量大小及角速度大小變化對電機運動過程中姿態(tài)角的影響。

保持B=15 mT不變，減小旋轉(zhuǎn)角速度時，如圖6所示，雖然角速度減小了，但姿態(tài)角（α，β）最終位置相差無幾。不同點在于穩(wěn)定所需時間隨角速度的減小而增加，且角速度越小，擺動的幅度也越大。由于重力矩的存在，最終穩(wěn)定位置與預(yù)設(shè)的磁場軸線方位有小幅偏移。

保持磁場旋轉(zhuǎn)角速度ω=20π rad/s 不變，改變磁矢量大小時，如圖7所示，隨著磁矢量的增大，最終穩(wěn)定位置與磁場軸線越來越接近，B=50 mT 時幾乎沒有偏移。隨著磁矢量的增大，姿態(tài)角抖動得也越快。

圖6 磁場角速度對姿態(tài)角影響

圖7 磁矢量大小對姿態(tài)角影響

圖8 阻尼對姿態(tài)角影響

除了磁矢量大小及旋轉(zhuǎn)角速度外，阻尼對于點擊的運動也有一定影響。保持磁場旋轉(zhuǎn)角速度ω=20π rad/s，磁矢量大小B=15 mT不變，改變阻尼矩系數(shù)時，如圖8所示，阻尼矩系數(shù)越大，運動過程越穩(wěn)定，且穩(wěn)定所需時間越小。從圖8中可以看出，穩(wěn)定位置與磁場軸線仍有小幅偏差，但隨著阻尼矩系數(shù)的變化，最終的穩(wěn)定位置不發(fā)生任何變化。

4 結(jié)束語

本文根據(jù)隨動效應(yīng)提出了一種新型兩自由度永磁電機樣機，介紹了電機工作原理。與多磁極永磁球形電機結(jié)構(gòu)對比，其結(jié)構(gòu)簡單，避免了復(fù)雜球面結(jié)構(gòu)，內(nèi)部磁場環(huán)境無干擾。在電機結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，建立了動力學(xué)模型，仿真得出以下結(jié)論。

（1）隨動效應(yīng)可用于多自由度電機控制，電機運動穩(wěn)定，軸線位置精度存在一定誤差，但可通過實時反饋信息進行閉環(huán)控制來提高。

（2）磁矢量強度影響電機穩(wěn)定位置與磁場軸線方位之間的偏差，磁矢量越大，偏差越小。

（3）角速度及阻尼主要影響電機運動的穩(wěn)定程度，在合適的范圍內(nèi)，角速度與阻尼系數(shù)越大，電機的運動越穩(wěn)定，達到穩(wěn)定所需時間越小。

上述結(jié)論為電機的優(yōu)化及控制奠定了基礎(chǔ)。