一類邊界退化耦合拋物方程組的近似能控性

劉亞新, 杜潤梅

(長春工業(yè)大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 長春 130012)

1 引言與預備知識

考慮如下耦合系統(tǒng)：

其中：QT=Ω×(0,T),Ω為n內(nèi)一有界域,T>0； 控制函數(shù)h∈L2(QT)；χ為特征函數(shù)；ω1,ω2是Ω的開子集,ω1∩ω2≠?； 函數(shù)滿足條件a>0,x∈Ω；b=(b1,b2,…,bn)∈W1,∞(Ω;n);d=(d1,d2,…,dn)∈W1,∞(Ω;n);cj∈L∞(QT),j=1,2. 方程(1)-(2)可用于描述一些生物模型, 如文獻[1]中由隨機運動和趨化引起細胞遷移的Keller-Segel模型. 本文討論的退化系統(tǒng)二階項系數(shù)可能在邊界處退化, 而梯度項是非退化的, 因此在做能量估計時梯度項不能被二階項控制. 為克服該困難, 本文假設(shè)

(3)

即只考慮弱退化情形. 根據(jù)文獻[2], 在弱退化情形下, 考慮如下初邊值條件：

其中y0,u0∈L2(Ω). 目前, 關(guān)于退化拋物方程組的研究已取得一些成果[3-7]. 文獻[7]研究了當b=d=0時, 耦合系統(tǒng)(1)-(2)在相應的初邊值條件下是近似能控的. 本文利用文獻[7]的方法, 證明系統(tǒng)(1)-(2)-(4)-(5)是近似能控的.

2 適定性和近似能控性

定義1如果對任意滿足

的φ,ψ∈L∞((0,T);L2(Ω))∩B, 均有

(6)

(7)

類似文獻[8]中定理3, 可證明問題(1)-(2)-(4)-(5)的適定性如下：

定理1對任意h∈L2(QT),y0,u0∈L2(Ω), 系統(tǒng)(1)-(2)-(4)-(5)有唯一解(y,u), 且滿足

其中C>0是一個僅依賴于Ω,‖b‖W1,∞(Ω;n),‖d‖W1,∞(Ω;n),‖c1‖L∞(QT),‖c2‖L∞(QT)的常數(shù). 特別地, 若則

利用H?lder不等式和Gr?nwall不等式可知

(13)

其中C>0是一個僅依賴于Ω,‖b‖W1,∞(Ω;n),‖d‖W1,∞(Ω;n),‖c1‖L∞(QT),‖c2‖L∞(QT)的常數(shù).

同理可得

(14)

由式(13)和式(14), 可得

唯一性證明類似文獻[8]中定理3. 證畢.

下面考慮問題(1)-(2)-(4)-(5)的共軛系統(tǒng)：

定義映射

其中H =L2(Ω)×L2(Ω), 范數(shù)為

定義泛函

其中〈(·,·),(·,·)〉H為H上的內(nèi)積.

證明類似文獻[7]中命題2.2, 可證：

定理2對任意ε>0, 初值y0,u0∈L2(Ω), 預期值yd,ud∈L2(Ω), 存在函數(shù)h∈L2(QT), 使得問題(1)-(2)-(4)-(5)的解(y,u)在時刻T處可近似達到(yd,ud), 即

‖y(·,T)-yd(·)‖L2(Ω)≤ε, ‖u(·,T)-ud(·)‖L2(Ω)≤ε.

(21)

證明： 因為方程(1),(2)是線性的, 且(yd,ud)是任意的, 故不失一般性可假設(shè)

y0(x)=0,u0(x)=0, a.e.x∈Ω.

(22)

‖(y(·,T)-yd(·),u(·,T)-ud(·))‖H=‖(yd,ud)‖H≤ε.

(23)

(26)

(27)

由式(23)～(27)可得

(28)

令式(28)中n→∞, 可得

由(θ0,ψ0)∈H的任意性可知式(21)成立. 證畢.