導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用

劉馨婷 深圳市育才中學(xué)

引言：作為一門十分重要的基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)在許多領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。很多研究人員需要用數(shù)學(xué)語言描述自己的理論，許多自然科學(xué)理論都可以通過數(shù)學(xué)運算與數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到，故數(shù)學(xué)在各個行業(yè)都有著廣泛的應(yīng)用。

微積分是高等數(shù)學(xué)的一個重要分支，也是經(jīng)濟數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。導(dǎo)數(shù)是微積分理論中的重要概念之一，幾乎一切研究變化率的問題都離不開導(dǎo)數(shù)。在物理學(xué)中，可以通過導(dǎo)數(shù)求解物體的速度與加速度；在化學(xué)中，可以通過導(dǎo)數(shù)計算可逆反應(yīng)速率；在生物學(xué)中，可以通過導(dǎo)數(shù)求解微生物的繁殖速度。在經(jīng)濟學(xué)中，導(dǎo)數(shù)更是有著非常廣泛的應(yīng)用。應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的知識，我們可以高效地分析經(jīng)濟問題中的多個邊際量。此外，在構(gòu)建復(fù)雜的經(jīng)濟學(xué)模型后，我們常常需要應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的知識，對模型進行求解，從而得到結(jié)果。隨著經(jīng)濟學(xué)理論的日益完善，導(dǎo)數(shù)將在經(jīng)濟學(xué)分析中發(fā)揮更重要的作用。本文簡要介紹了導(dǎo)數(shù)的概念，分析了將導(dǎo)數(shù)用于經(jīng)濟分析的重要性，并探討了導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用。

一、將導(dǎo)數(shù)用于經(jīng)濟分析的重要性

在應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決經(jīng)濟問題時，經(jīng)濟學(xué)家可以將問題簡化為數(shù)學(xué)模型，通過對模型進行求解，他們可以高效地得到可靠的結(jié)論。在應(yīng)用數(shù)學(xué)知識分析問題的過程中，經(jīng)濟學(xué)家能夠較為客觀地分析問題，避免主觀因素對結(jié)果產(chǎn)生影響。此外，經(jīng)濟學(xué)家可以借助數(shù)學(xué)模型，簡潔而準確地表達自己的觀點。可以說，數(shù)學(xué)在經(jīng)濟分析中發(fā)揮著十分重要的作用[1]。

在經(jīng)濟分析中，研究者常常需要計算當一個經(jīng)濟變量發(fā)生變化時，另一個經(jīng)濟變量將發(fā)生何種變化。應(yīng)用與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的知識，研究者可以高效地解決這類問題。導(dǎo)數(shù)是描述因變量隨自變量變化的規(guī)律的有力工具，它可以幫助經(jīng)濟學(xué)家精確地計算當一個經(jīng)濟變量（如可支配收入）產(chǎn)生微小的增量時，另一個經(jīng)濟變量（如消費）的增量。通過計算導(dǎo)數(shù)、尋找駐點，經(jīng)濟學(xué)家可以高效地確定如何使后者達到最值。可以說，導(dǎo)數(shù)是經(jīng)濟學(xué)家有力的分析工具。

二、導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用

（一）邊際分析

在企業(yè)的經(jīng)營和管理的過程中，經(jīng)營者常常需要分析生產(chǎn)和銷售情況，制定合適的經(jīng)營策略。邊際分析是研究自變量的變化會對因變量的變化產(chǎn)生何種影響的方法。企業(yè)的經(jīng)營者需要運用邊際分析，提高經(jīng)營活動的收益。如果企業(yè)的經(jīng)營者考慮提高產(chǎn)量，那么他們需要進行邊際分析，以確保在生產(chǎn)更多產(chǎn)品時，企業(yè)可以獲得更豐厚的利潤。邊際分析可以幫助企業(yè)的經(jīng)營者決定如何分配資源，從而降低成本，提高收入和利潤。

1.邊際成本

例如，一家面包店的日平均銷售量為1000個面包，平均一個面包的材料成本（除工資外的主要可變成本）為2元。目前，該面包店在正常營業(yè)時間內(nèi)的最大面包生產(chǎn)量為1200個，如果需要每天生產(chǎn)超過1200個面包，則需要額外支付員工的加班工資和交通費用。通常情況下，訂購數(shù)量不超過1200時，訂購數(shù)量越多，盈利越多。而訂購數(shù)量超過1200時，經(jīng)營者需要比較面包售價和邊際成本（此處所指的邊際成本為材料成本加額外的加班工資和交通費用）后，才能做出決定，不能簡單地認為訂購量越多越好。

2.邊際收入

3.邊際利潤

在利用導(dǎo)數(shù)求解邊際利潤時，經(jīng)濟學(xué)家可以高效地得到某種產(chǎn)品的最大利潤。設(shè)L(x)代表產(chǎn)品銷量為x的情況下的利潤，根據(jù)經(jīng)濟學(xué)常識，由L(x)=R(x)-C(x).對公式的兩邊求導(dǎo)可得，L’(x)=R’(x)-C’(x)，L’(x)即為邊際利潤。根據(jù)函數(shù)極值的相關(guān)知識，當L’(x)=0時，函數(shù)在這一點有極值，有可能是極大或者極小值。當L’’(x)＜0時，利潤函數(shù)在這一點可以取得極大值。

例如，某面粉加工廠的經(jīng)營者在對其產(chǎn)品的銷售情況進行統(tǒng)計分析后，得出其利潤為L(x) （元）與每月產(chǎn)量Q（噸）的關(guān)系為L(x)=36000x-225x2，他們希望求出產(chǎn)量在70噸、80噸、90噸時邊際利潤的數(shù)值。在解決這個問題的過程中，我們需要首先求出L(x) 對x的導(dǎo)數(shù)，應(yīng)為L’ (x)=36000-450x。將不同的產(chǎn)量分別帶入公式計算，可得出L’(70)=4500，L' (80)=0，L’ (90)=-4500。這說明，每月生產(chǎn)70噸時邊際利潤為4500元，每月生產(chǎn)80噸時邊際利潤為0元，每月生產(chǎn)90噸時邊際利潤為-4500元，也就是說，當每月生產(chǎn)量為80噸時企業(yè)可以獲得最高利潤[4]。

（二）需求價格彈性

為了增加銷售收入，企業(yè)常常采取“薄利多銷”這一銷售策略。不過，在降低價格后，企業(yè)不一定能獲得更高的收入。企業(yè)收入的變化趨勢，與商品本身的性質(zhì)和市場狀況都有一定的關(guān)系。經(jīng)濟學(xué)家常常應(yīng)用與需求定律相關(guān)的知識，確定降低價格后企業(yè)收入的變化情況。

“需求定律”是由偉大的英國經(jīng)濟學(xué)家阿爾弗雷德·馬歇爾（Alfred Marshall，1842-1924）最早提出的，是經(jīng)濟學(xué)的重要定律，被稱為“經(jīng)濟學(xué)中最著名的定律”、“經(jīng)濟學(xué)家最確定的定律”。根據(jù)“需求定律”，商品價格越高，消費者購買的商品越少。應(yīng)用這一定律，經(jīng)濟學(xué)家可以評估消費者對價格變化的敏感性，預(yù)測消費者的行為。

在日常生活中，我們可以找到許多與需求價格彈性相關(guān)的例子。替代品較少的商品，其需求價格彈性通常較低。主食就是一個很好的例子，很少有商品可以替代主食，因此，主食的需求價格彈性較低?？商娲暂^強的商品通常具有較高的彈性。因此，奢侈品的需求價格彈性通常較高[5]。

需要注意的是，同一種商品的短期及長期彈性可能不同。在短期內(nèi)，如果某一型號汽車的價格不斷逐漸上升，那么消費者可能會轉(zhuǎn)而購買其他型號的汽車，也就是說，消費者對特定型號汽車的需求可能有很高的彈性。不過，從長遠來看，由于幾乎沒有其他交通方式，農(nóng)村居民對汽車的需求可能沒有彈性。在決策的過程中，企業(yè)的經(jīng)營者應(yīng)深入分析該商品的需求價格彈性，及時調(diào)整商品的價格，從而獲得更高的銷售收入[6]。

（三）采購決策

為了更好地進行成本管理，企業(yè)的經(jīng)營者和管理者常常需要制定合適的采購策略。相關(guān)人員需要把握原料價格的變化規(guī)律，從而降低原料成本。他們常常需要應(yīng)用與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的知識，分析確定原料價格的最低值。一個工廠需要采購原料A，原料A的價格P存在季節(jié)性波動，我們?nèi)绻脁代表月份（x為整數(shù)，1≤x≤12），并將P0作為該原料在年初時的價格，可以將該原料價格變化規(guī)律總結(jié)為P(x)=P0＊(sin(x^0.7)+2)，求在幾月的時候購買該原料最劃算？

在分析這個問題的過程中，我們應(yīng)當注意原料價格的變化規(guī)律。經(jīng)過分析可知，原料的價格存在著一定的周期性變化規(guī)律，且周期逐漸變長。因此，找到原料價格在一年當中的最低點，是解決該問題的關(guān)鍵。我們可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的知識求解。P’(x)=P0＊0.7＊cos(x^0.7)/x^0.3，由三角函數(shù)的性質(zhì)可知，當1.00＜x＜1.90時，P’(x)＞0，價格隨時間的推移逐漸上升；當1.90＜x＜9.15時，P’(x)＜0，價格隨時間的推移逐漸下降；當9.15＜x＜12.00時，P’(x)＞0，價格隨時間的推移逐漸上升。因此，當x介于9和10之間時，P(x)可以取得最小值。經(jīng)計算得知，P(9)= 1.00＊P0，P(10)= 1.04＊P0＞P(9)。因此，在九月的時候，該原料的價格最低，為1.00＊P0。該工廠應(yīng)該在九月的時候采購原料A，從而節(jié)約生產(chǎn)成本。

（四）營運資金決策

三、結(jié)語

在復(fù)雜多變的經(jīng)濟環(huán)境下，經(jīng)濟學(xué)家在分析問題時，需要建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，才能更準確、高效地解決相關(guān)問題。應(yīng)用與導(dǎo)數(shù)相關(guān)的知識，經(jīng)濟學(xué)家可以高效地計算經(jīng)濟變量的最優(yōu)值，預(yù)測相關(guān)變量的變化趨勢，為決策提供可靠的依據(jù)，這有助于企業(yè)獲得更豐厚的利潤，在激烈的市場競爭中更好地生存。需要注意的是，在運用數(shù)學(xué)知識解決經(jīng)濟學(xué)問題時，經(jīng)濟學(xué)家應(yīng)當扎實地掌握相關(guān)理論知識，充分考慮到實際情況的具體特征，才能更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)在經(jīng)濟分析中的作用。